1. 下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是()

A.$3$，$4$，$5$
B.$2$，$3$，$4$
C.$4$，$6$，$7$
D.$5$，$11$，$12$

A

根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为最长边），则这三条线段能组成直角三角形。
A选项：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足条件，能组成直角三角形。
B选项：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 ≠ 4^2$，不满足条件。
C选项：$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 ≠ 7^2$，不满足条件。
D选项：$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146 ≠ 12^2$，不满足条件。

2. 已知 $AD$ 为 $△ ABC$ 的中线，且 $AB = 17$，$BC = 16$，$AD = 15$，则 $AC$ 的长为()

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

C

∵AD为△ABC的中线，BC=16，∴BD=DC=8。在△ABD中，AB=17，AD=15，BD=8，∵15²+8²=225+64=289=17²，即AD²+BD²=AB²，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，∴∠ADC=180°-∠ADB=90°。在Rt△ADC中，AD=15，DC=8，由勾股定理得AC²=AD²+DC²=15²+8²=289，∴AC=17。

3. 若一个三角形三边的长分别为 $15\ \mathrm{cm}$，$20\ \mathrm{cm}$，$25\ \mathrm{cm}$，则这个三角形最长边上的高是()

A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$12\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$10\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$

A

首先，验证三角形是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，若 $15^2 + 20^2 = 25^2$ 成立，则为直角三角形。
计算得：
$15^2 = 225$，
$20^2 = 400$，
$25^2 = 625$，
$225 + 400 = 625$，
因此，该三角形是直角三角形，且直角边长为 $15\ \mathrm{cm}$ 和 $20\ \mathrm{cm}$，斜边（最长边）长为 $25\ \mathrm{cm}$。
设最长边上的高为 $h$，根据直角三角形的面积公式，面积可以用两种方式表示：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，
解这个方程，得到：
$h = 12\ (\mathrm{cm})$。

4. 《数书九章》里有这样一道题目：有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为 $5$ 里、$12$ 里、$13$ 里，问这块沙田的面积有多大？已知 $1$ 里 $= 500\ \mathrm{m}$，则该沙田的面积为()

A.$7.5\ \mathrm{km}^{2}$
B.$15\ \mathrm{km}^{2}$
C.$75\ \mathrm{km}^{2}$
D.$750\ \mathrm{km}^{2}$

A

因为$5^{2} + 12^{2}=25 + 144 = 169$，$13^{2}=169$，所以$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，该三角形是直角三角形，两直角边为$5$里和$12$里。
$1$里$=500m$，则$5$里$=5×500 = 2500m = 2.5km$，$12$里$=12×500 = 6000m = 6km$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a,b$为两直角边），可得面积$S=\frac{1}{2}×2.5×6 = 7.5km^{2}$。