10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $BC = 10$，$CD = 8$，$BD = 6$.
(1) 求证：$∠ CDB = 90^{\circ}$；
(2) 求 $AC$ 的长.

(1) 在△CDB中，CD=8，BD=6，BC=10。
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即 $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ △CDB是直角三角形，且∠CDB=90°。
(2) 设AC=AB=x，则AD=AB-BD=x-6。
∵ ∠CDB=90°，∴ ∠ADC=180°-∠CDB=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，AD=x-6，CD=8，AC=x，
由勾股定理得：$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即 $(x-6)^2 + 8^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 12x + 36 + 64 = x^2$，
化简得：$-12x + 100 = 0$，
解得：$x = \frac{25}{3}$。
∴ AC的长为$\frac{25}{3}$。

1. 如图，$E$ 是正方形 $ABCD$ 内的一点，连接 $AE$，$BE$，$CE$，将 $△ ABE$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 到 $△ CBE'$ 的位置.若 $AE = 1$，$BE = 2$，$CE = 3$，则 $∠ BE'C$ 的度数为.

连接EE'。
由旋转性质得：△ABE≌△CBE'，∠EBE'=90°，
∴BE'=BE=2，CE'=AE=1。
∵∠EBE'=90°，BE=BE'=2，
∴△EBE'是等腰直角三角形，
∴EE'=√(BE²+BE'²)=√(2²+2²)=2√2，∠BE'E=45°。
在△EE'C中，CE'=1，EE'=2√2，CE=3，
∵1²+(2√2)²=1+8=9=3²，即CE'²+EE'²=CE²，
∴△EE'C是直角三角形，∠EE'C=90°。
∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°。
135°

2. 如图，在钝角三角形 $ABC$ 中，边 $AB$，$AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$，$E$，且 $BD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$.
(1) 求 $∠ BAC$ 的度数；
(2) 若 $AB = 12$，$AC = 8$，求 $△ ABC$ 的面积.

(1) 连接AD，AE。
∵D在AB垂直平分线上，∴AD=BD。
∵E在AC垂直平分线上，∴AE=CE。
∵BD²+CE²=DE²，∴AD²+AE²=DE²。
∴△ADE为直角三角形，∠DAE=90°。
设∠BAD=∠B=x，∠CAE=∠C=y，
则∠ADB=180°-2x，∠AEC=180°-2y。
∵∠ADB=∠DAE+∠AED，∠AED=180°-∠AEC=2y，
∴180°-2x=90°+2y，即x+y=45°。
∴∠BAC=180°-(x+y)=135°。
(2) S△ABC=1/2·AB·AC·sin∠BAC=1/2×12×8×sin135°=1/2×12×8×(√2/2)=24√2。
(1) 135°；(2) 24√2。