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(1)2025年夏天,苏超火爆全网,赛场降温成为无法回避的挑战。南京赛场放置了大量长方体冰块,每块冰的底面积是$0.36\ \mathrm{m}^2$,高是$0.2\ \mathrm{m}$,体积是(
0.072
) $\mathrm{m}^3$。答案
1.(1)0.072
解析 长方体体积=底面积×高，据此计算即可。
解析 长方体体积=底面积×高，据此计算即可。
解析
【分析】
这道题是求长方体的体积，首先要回忆长方体体积的相关计算公式。已知长方体的底面积和高，根据长方体体积的推导公式，体积等于底面积乘以高，我们只需将题目给出的底面积和高的数值代入该公式进行计算，就能得到结果。
【解析】
长方体体积公式：$V = S_{底} × h$
已知每块冰的底面积$S_{底}=0.36\ \mathrm{m}^2$，高$h=0.2\ \mathrm{m}$，代入公式可得：
$V = 0.36 × 0.2 = 0.072\ \mathrm{m}^3$
【答案】
0.072
【知识点】
长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体体积公式的基础应用，题目直接给出计算所需的底面积和高，只需准确代入公式计算即可，属于基础题型，侧重考查对公式的记忆与简单运算能力。
【难度系数】
0.9
这道题是求长方体的体积，首先要回忆长方体体积的相关计算公式。已知长方体的底面积和高，根据长方体体积的推导公式，体积等于底面积乘以高，我们只需将题目给出的底面积和高的数值代入该公式进行计算，就能得到结果。
【解析】
长方体体积公式：$V = S_{底} × h$
已知每块冰的底面积$S_{底}=0.36\ \mathrm{m}^2$，高$h=0.2\ \mathrm{m}$，代入公式可得：
$V = 0.36 × 0.2 = 0.072\ \mathrm{m}^3$
【答案】
0.072
【知识点】
长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体体积公式的基础应用，题目直接给出计算所需的底面积和高，只需准确代入公式计算即可，属于基础题型，侧重考查对公式的记忆与简单运算能力。
【难度系数】
0.9
(2)右图是一个底面积为$12\ \mathrm{dm}^2$的长方体猫砂盆,将一包$3\ \mathrm{kg}$的猫砂倒入盆中并铺平,能铺(
0.5
)dm厚。(1 kg猫砂的体积大约是$2\ \mathrm{dm}^3$)答案
1.(2)0.5
解析 猫砂的厚度即为铺成的长方体的高。3kg猫砂的体积为3×2 = 6(dm³)，厚度 = 体积÷底面积 = 6÷12 = 0.5(dm)。
解析 猫砂的厚度即为铺成的长方体的高。3kg猫砂的体积为3×2 = 6(dm³)，厚度 = 体积÷底面积 = 6÷12 = 0.5(dm)。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先求出3kg猫砂的总体积，再利用长方体的体积公式求出猫砂铺的厚度（即长方体的高）。首先，题目给出1kg猫砂的体积大约是$2\ \mathrm{dm}^3$，那么3kg猫砂的体积就是3个$2\ \mathrm{dm}^3$，用乘法计算；然后根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，变形可得“高=体积÷底面积”，用算出的猫砂体积除以猫砂盆的底面积，就能得到猫砂铺的厚度。
【解析】
1. 计算3kg猫砂的体积：
已知1kg猫砂体积为$2\ \mathrm{dm}^3$，则3kg猫砂的体积为$3×2=6\ \mathrm{dm}^3$。
2. 计算猫砂铺的厚度（即长方体的高）：
根据长方体体积公式$V=Sh$（$V$表示体积，$S$表示底面积，$h$表示高），变形得$h=V÷ S$，代入数据可得：
$h=6÷12=0.5\ \mathrm{dm}$。
【答案】
0.5
【知识点】
长方体体积公式、体积与质量的换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，需要先根据给定的质量与体积的关系求出猫砂的总体积，再利用体积公式的变形计算出高度，重点考查对公式的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先求出3kg猫砂的总体积，再利用长方体的体积公式求出猫砂铺的厚度（即长方体的高）。首先，题目给出1kg猫砂的体积大约是$2\ \mathrm{dm}^3$，那么3kg猫砂的体积就是3个$2\ \mathrm{dm}^3$，用乘法计算；然后根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，变形可得“高=体积÷底面积”，用算出的猫砂体积除以猫砂盆的底面积，就能得到猫砂铺的厚度。
【解析】
1. 计算3kg猫砂的体积：
已知1kg猫砂体积为$2\ \mathrm{dm}^3$，则3kg猫砂的体积为$3×2=6\ \mathrm{dm}^3$。
2. 计算猫砂铺的厚度（即长方体的高）：
根据长方体体积公式$V=Sh$（$V$表示体积，$S$表示底面积，$h$表示高），变形得$h=V÷ S$，代入数据可得：
$h=6÷12=0.5\ \mathrm{dm}$。
【答案】
0.5
【知识点】
长方体体积公式、体积与质量的换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，需要先根据给定的质量与体积的关系求出猫砂的总体积，再利用体积公式的变形计算出高度，重点考查对公式的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
(3)(易错题)从下面的小棒中选12根搭成长方体框架,并在表面糊上彩纸。制作出的长方体的体积最大是(
252
) $\mathrm{cm}^3$,最小是(120
) $\mathrm{cm}^3$。答案
1.(3)252 120
解析 制作一个长方体需要3组长度分别相等的小棒，每组4根，因此2根8cm的小棒无法参与长方体的制作。
体积最大时，长、宽、高分别为7cm、6cm、6cm。体积最小时，长、宽、高分别为6cm、5cm、4cm。注意：6cm的小棒有8根，可作为2组小棒。
解析 制作一个长方体需要3组长度分别相等的小棒，每组4根，因此2根8cm的小棒无法参与长方体的制作。
体积最大时，长、宽、高分别为7cm、6cm、6cm。体积最小时，长、宽、高分别为6cm、5cm、4cm。注意：6cm的小棒有8根，可作为2组小棒。
解析
【分析】
首先明确长方体框架的棱的特征：长方体有12条棱，可分为3组，每组4根长度相等的棱，因此选择小棒时，每种长度的小棒需能凑出每组4根的组合。观察给出的小棒，8cm的只有2根，无法满足一组4根的要求，所以不能选用。
要使长方体体积最大，需优先选择较长的小棒组合：7cm的小棒有4根，可作为一组；6cm的小棒有8根，可分成两组各4根，由此组成长7cm、宽6cm、高6cm的长方体。
要使长方体体积最小，需优先选择较短的小棒组合：6cm的小棒取4根作为一组，5cm的小棒取4根作为一组，4cm的小棒取4根作为一组，由此组成长6cm、宽5cm、高4cm的长方体，最后分别计算两个长方体的体积即可。
【解析】
1. 筛选可用小棒：
长方体每组棱需要4根相同长度的小棒，8cm的小棒仅2根，无法满足一组的数量要求，故排除8cm的小棒。
2. 计算最大体积：
选取4根7cm、8根6cm（分成两组4根），此时长方体长、宽、高为7cm、6cm、6cm。
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得最大体积：
$7×6×6 = 252(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算最小体积：
选取4根6cm、4根5cm、4根4cm，此时长方体长、宽、高为6cm、5cm、4cm。
可得最小体积：
$6×5×4 = 120(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
252；120
【知识点】
长方体的特征；长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体的棱的特征与体积计算，核心是依据长方体棱的分组要求选择合适的小棒，需注意小棒的数量限制，通过合理组合小棒得到最大、最小体积，要求学生熟练掌握长方体基本特征与体积公式。
【难度系数】
0.6
首先明确长方体框架的棱的特征：长方体有12条棱，可分为3组，每组4根长度相等的棱，因此选择小棒时，每种长度的小棒需能凑出每组4根的组合。观察给出的小棒，8cm的只有2根，无法满足一组4根的要求，所以不能选用。
要使长方体体积最大，需优先选择较长的小棒组合：7cm的小棒有4根，可作为一组；6cm的小棒有8根，可分成两组各4根，由此组成长7cm、宽6cm、高6cm的长方体。
要使长方体体积最小，需优先选择较短的小棒组合：6cm的小棒取4根作为一组，5cm的小棒取4根作为一组，4cm的小棒取4根作为一组，由此组成长6cm、宽5cm、高4cm的长方体，最后分别计算两个长方体的体积即可。
【解析】
1. 筛选可用小棒：
长方体每组棱需要4根相同长度的小棒，8cm的小棒仅2根，无法满足一组的数量要求，故排除8cm的小棒。
2. 计算最大体积：
选取4根7cm、8根6cm（分成两组4根），此时长方体长、宽、高为7cm、6cm、6cm。
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得最大体积：
$7×6×6 = 252(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算最小体积：
选取4根6cm、4根5cm、4根4cm，此时长方体长、宽、高为6cm、5cm、4cm。
可得最小体积：
$6×5×4 = 120(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
252；120
【知识点】
长方体的特征；长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体的棱的特征与体积计算，核心是依据长方体棱的分组要求选择合适的小棒，需注意小棒的数量限制，通过合理组合小棒得到最大、最小体积，要求学生熟练掌握长方体基本特征与体积公式。
【难度系数】
0.6
(1)下面说法正确的有(
①棱长6 cm的正方体,它的表面积和体积相等。
②棱长总和相等的两个长方体,体积一定相等。
③可以用右图分别表示$a^2$和$a^3$。
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)个。①棱长6 cm的正方体,它的表面积和体积相等。
②棱长总和相等的两个长方体,体积一定相等。
③可以用右图分别表示$a^2$和$a^3$。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.(1)B
解析 ①错误，表面积和体积是两个不同类的量，不能比较大小，所以不能说它们相等。
②错误，如长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm和6cm、4cm、2cm的长方体，棱长总和均为48cm，但体积分别为60cm³和48cm³。
③正确，a²表示2个a相乘，a³表示3个a相乘。正方形的面积 = 边长×边长 = a×a = a²，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长 = a×a×a = a³。
解析 ①错误，表面积和体积是两个不同类的量，不能比较大小，所以不能说它们相等。
②错误，如长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm和6cm、4cm、2cm的长方体，棱长总和均为48cm，但体积分别为60cm³和48cm³。
③正确，a²表示2个a相乘，a³表示3个a相乘。正方形的面积 = 边长×边长 = a×a = a²，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长 = a×a×a = a³。
解析
【分析】
要判断正确说法的个数，需逐个分析三个说法：
1. 分析①时，需明确表面积和体积的概念，表面积是物体表面的面积总和，单位为面积单位；体积是物体所占空间的大小，单位为体积单位，不同类的量无法比较大小，因此可判断①的正误。
2. 分析②时，可通过举例验证，棱长总和相等的两个长方体，长、宽、高的和相等，但长、宽、高的具体数值不同时，体积（长×宽×高）不一定相等，据此判断②的正误。
3. 分析③时，结合乘方的定义和几何图形的公式，$a^2$表示2个$a$相乘，对应正方形的面积公式；$a^3$表示3个$a$相乘，对应正方体的体积公式，和图中图形对应，以此判断③的正误，最后统计正确说法的个数得出答案。
【解析】
①错误，表面积和体积是两个不同类的量，表面积表示物体表面的总面积，单位是面积单位，体积表示物体所占空间的大小，单位是体积单位，二者意义不同，不能比较大小，所以不能说它们相等。
②错误，举例验证：长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体，棱长总和为$(5+4+3)×4=48cm$，体积为$5×4×3=60cm³$；长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm的长方体，棱长总和为$(6+4+2)×4=48cm$，体积为$6×4×2=48cm³$。可见棱长总和相等的两个长方体，体积不相等，该说法错误。
③正确，根据乘方的定义，$a^2$表示2个$a$相乘，正方形的面积公式为边长×边长$=a×a=a^2$；$a^3$表示3个$a$相乘，正方体的体积公式为棱长×棱长×棱长$=a×a×a=a^3$，与图中的图形对应，该说法正确。
综上，只有1个说法正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 表面积与体积的区别
2. 长方体棱长与体积的关系
3. 乘方的几何意义
【点评】
本题考查了立体图形的表面积、体积概念以及乘方的几何意义，解题关键是明确不同类量不可比较大小，理解棱长总和与体积的关系，以及乘方和几何图形公式的对应关系，考验学生的概念理解能力和举例验证的思维。
【难度系数】
0.6
要判断正确说法的个数，需逐个分析三个说法：
1. 分析①时，需明确表面积和体积的概念，表面积是物体表面的面积总和，单位为面积单位；体积是物体所占空间的大小，单位为体积单位，不同类的量无法比较大小，因此可判断①的正误。
2. 分析②时，可通过举例验证，棱长总和相等的两个长方体，长、宽、高的和相等，但长、宽、高的具体数值不同时，体积（长×宽×高）不一定相等，据此判断②的正误。
3. 分析③时，结合乘方的定义和几何图形的公式，$a^2$表示2个$a$相乘，对应正方形的面积公式；$a^3$表示3个$a$相乘，对应正方体的体积公式，和图中图形对应，以此判断③的正误，最后统计正确说法的个数得出答案。
【解析】
①错误，表面积和体积是两个不同类的量，表面积表示物体表面的总面积，单位是面积单位，体积表示物体所占空间的大小，单位是体积单位，二者意义不同，不能比较大小，所以不能说它们相等。
②错误，举例验证：长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体，棱长总和为$(5+4+3)×4=48cm$，体积为$5×4×3=60cm³$；长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm的长方体，棱长总和为$(6+4+2)×4=48cm$，体积为$6×4×2=48cm³$。可见棱长总和相等的两个长方体，体积不相等，该说法错误。
③正确，根据乘方的定义，$a^2$表示2个$a$相乘，正方形的面积公式为边长×边长$=a×a=a^2$；$a^3$表示3个$a$相乘，正方体的体积公式为棱长×棱长×棱长$=a×a×a=a^3$，与图中的图形对应，该说法正确。
综上，只有1个说法正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 表面积与体积的区别
2. 长方体棱长与体积的关系
3. 乘方的几何意义
【点评】
本题考查了立体图形的表面积、体积概念以及乘方的几何意义，解题关键是明确不同类量不可比较大小，理解棱长总和与体积的关系，以及乘方和几何图形公式的对应关系，考验学生的概念理解能力和举例验证的思维。
【难度系数】
0.6
(2)如图,一个长方体,长$a\ \mathrm{cm}$,宽$b\ \mathrm{cm}$,高$h\ \mathrm{cm}(h＞2)$。若长增加2 cm,宽和高不变,则体积增加(
A.$2ab$
B.$2bh$
C.$2ah$
D.$2abh$
B
) $\mathrm{cm}^3$;若长和宽不变,高减少2 cm,则体积减少(A
) $\mathrm{cm}^3$。A.$2ab$
B.$2bh$
C.$2ah$
D.$2abh$
答案
2.(2)B A
解析 方法一 计算原体积与变化后的体积，再比较。
如原来的体积V = abh，长增加后的体积V₁ = (a + 2)bh = abh + 2bh，比较得体积增加2bhcm³。
方法二 只计算增加或减少的长方体体积，如下图。
体积增加2bhcm³ 体积减少2abcm³
解析
【分析】
首先回忆长方体体积公式：体积=长×宽×高。对于第一个问题，长增加2cm，宽和高不变，增加的体积是一个长为2cm、宽为$b\ \mathrm{cm}$、高为$h\ \mathrm{cm}$的小长方体的体积，可直接用小长方体的长×宽×高计算；对于第二个问题，长和宽不变，高减少2cm，减少的体积是一个长为$a\ \mathrm{cm}$、宽为$b\ \mathrm{cm}$、高为2cm的小长方体的体积，同样用长×宽×高计算。也可以先计算原体积与变化后的体积，再作差得到体积变化量。
【解析】
1. 长增加2cm时的体积变化：
原长方体体积：$V = abh$
长增加2cm后的体积：$V_1=(a+2)bh=abh+2bh$
体积增加量：$V_1 - V = abh+2bh - abh=2bh$，对应选项B。
2. 高减少2cm时的体积变化：
原长方体体积：$V = abh$
高减少2cm后的体积：$V_2=ab(h-2)=abh-2ab$
体积减少量：$V - V_2 = abh-(abh-2ab)=2ab$，对应选项A。
也可直接计算变化部分的小长方体体积：
长增加2cm，增加的体积为$2× b× h=2bh$；
高减少2cm，减少的体积为$a× b×2=2ab$。
【答案】
B；A
【知识点】
长方体体积公式；体积变化计算
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，解题时既可以通过计算原体积与变化后体积的差值求解，也可以直接分析变化部分的长方体尺寸来计算体积变化，后者更为简便，需要学生理解体积变化的本质是新增或减少的小长方体的体积。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方体体积公式：体积=长×宽×高。对于第一个问题，长增加2cm，宽和高不变，增加的体积是一个长为2cm、宽为$b\ \mathrm{cm}$、高为$h\ \mathrm{cm}$的小长方体的体积，可直接用小长方体的长×宽×高计算；对于第二个问题，长和宽不变，高减少2cm，减少的体积是一个长为$a\ \mathrm{cm}$、宽为$b\ \mathrm{cm}$、高为2cm的小长方体的体积，同样用长×宽×高计算。也可以先计算原体积与变化后的体积，再作差得到体积变化量。
【解析】
1. 长增加2cm时的体积变化：
原长方体体积：$V = abh$
长增加2cm后的体积：$V_1=(a+2)bh=abh+2bh$
体积增加量：$V_1 - V = abh+2bh - abh=2bh$，对应选项B。
2. 高减少2cm时的体积变化：
原长方体体积：$V = abh$
高减少2cm后的体积：$V_2=ab(h-2)=abh-2ab$
体积减少量：$V - V_2 = abh-(abh-2ab)=2ab$，对应选项A。
也可直接计算变化部分的小长方体体积：
长增加2cm，增加的体积为$2× b× h=2bh$；
高减少2cm，减少的体积为$a× b×2=2ab$。
【答案】
B；A
【知识点】
长方体体积公式；体积变化计算
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，解题时既可以通过计算原体积与变化后体积的差值求解，也可以直接分析变化部分的长方体尺寸来计算体积变化，后者更为简便，需要学生理解体积变化的本质是新增或减少的小长方体的体积。
【难度系数】
0.8
3按要求计算。
(1)计算正方体的体积。
(2)计算长方体的体积。
(3)计算围成的长方体的体积。
(1)计算正方体的体积。
(2)计算长方体的体积。
(3)计算围成的长方体的体积。
答案
3.(1)25×5 = 125(dm³)
(2)24×30 = 720(cm³)
(3)30×2 = 60(cm³)
解析 这3道题都可用“底面积×高”解决。
(2)将横截面看作“底面”，长看作“高”，如图1。
(3)以涂色部分为底面将展开图折叠，如图2。
解析
【分析】
这三道题均围绕“立体图形体积=底面积×高”的核心公式展开求解：
1. 对于正方体体积计算，已知底面积和高，直接代入公式即可，因为正方体是特殊的长方体，同样适用该公式；
2. 长方体体积计算可转换思路，将横截面看作底面，长看作高，利用底面积乘高快速计算；
3. 展开图折叠成长方体的问题，需先确定折叠后长方体的底面积和高，以涂色部分为底面，对应高为2cm，再代入公式计算。
【解析】
(1) 正方体体积 = 底面积×高，已知底面积为$25\mathrm{dm}^2$，高为$5\mathrm{dm}$，代入得：
$25×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
(2) 把长方体的横截面当作底面，长当作高，根据长方体体积公式：体积=底面积×高，已知横截面面积$24\mathrm{cm}^2$，长$30\mathrm{cm}$，代入得：
$24×30 = 720(\mathrm{cm}^3)$
(3) 将展开图以涂色部分为底面折叠成长方体，此时底面积为$30\mathrm{cm}^2$，高为$2\mathrm{cm}$，根据体积公式得：
$30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$
这3道题都可用“底面积×高”解决。
(2)将横截面看作“底面”，长看作“高”，如图1。
(3)以涂色部分为底面将展开图折叠，如图2。
【答案】
(1)$25×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
(2)$24×30 = 720(\mathrm{cm}^3)$
(3)$30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
正方体体积公式、长方体体积公式、长方体展开图应用
【点评】
本题通过不同形式考查正方体和长方体体积公式的灵活运用，既巩固了基础公式，又引导学生转换思路理解公式的通用性，还锻炼了从展开图还原立体图形并计算体积的能力，帮助学生深化对立体图形体积计算的理解。
【难度系数】
0.6
这三道题均围绕“立体图形体积=底面积×高”的核心公式展开求解：
1. 对于正方体体积计算，已知底面积和高，直接代入公式即可，因为正方体是特殊的长方体，同样适用该公式；
2. 长方体体积计算可转换思路，将横截面看作底面，长看作高，利用底面积乘高快速计算；
3. 展开图折叠成长方体的问题，需先确定折叠后长方体的底面积和高，以涂色部分为底面，对应高为2cm，再代入公式计算。
【解析】
(1) 正方体体积 = 底面积×高，已知底面积为$25\mathrm{dm}^2$，高为$5\mathrm{dm}$，代入得：
$25×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
(2) 把长方体的横截面当作底面，长当作高，根据长方体体积公式：体积=底面积×高，已知横截面面积$24\mathrm{cm}^2$，长$30\mathrm{cm}$，代入得：
$24×30 = 720(\mathrm{cm}^3)$
(3) 将展开图以涂色部分为底面折叠成长方体，此时底面积为$30\mathrm{cm}^2$，高为$2\mathrm{cm}$，根据体积公式得：
$30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$
这3道题都可用“底面积×高”解决。
(2)将横截面看作“底面”，长看作“高”，如图1。
(3)以涂色部分为底面将展开图折叠，如图2。
【答案】
(1)$25×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
(2)$24×30 = 720(\mathrm{cm}^3)$
(3)$30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
正方体体积公式、长方体体积公式、长方体展开图应用
【点评】
本题通过不同形式考查正方体和长方体体积公式的灵活运用，既巩固了基础公式，又引导学生转换思路理解公式的通用性，还锻炼了从展开图还原立体图形并计算体积的能力，帮助学生深化对立体图形体积计算的理解。
【难度系数】
0.6
4 长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍,它的表面积和体积会发生什么变化? 填一填。
我发现 长方体的长、宽、高
都扩大到原来的3倍,它的表
面积扩大到原来的(
体积扩大到原来的(
我发现 长方体的长、宽、高
都扩大到原来的3倍,它的表
面积扩大到原来的(
9
)倍,体积扩大到原来的(
27
)倍。答案
4.7 1 63 27 567 729
我发现：9 27
解析 方法一 用公式进行推导，如下。
S变化后 = (3长×3宽 + 3长×3高 + 3宽×3高)×2 = 9×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 = 9S变化前
V变化后 = 3长×3宽×3高 = 27×长×宽×高 = 27V变化前
方法二 以两组数据为例计算发现规律。
长 宽 高 表面积 体积
①:2cm 0.5cm 1cm 7cm² 1cm³
↓×3 ↓×3 ↓×3 ↓×9 ↓×27
②:6cm 1.5cm 3cm 63cm² 27cm³
我发现：9 27
解析 方法一 用公式进行推导，如下。
S变化后 = (3长×3宽 + 3长×3高 + 3宽×3高)×2 = 9×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 = 9S变化前
V变化后 = 3长×3宽×3高 = 27×长×宽×高 = 27V变化前
方法二 以两组数据为例计算发现规律。
长 宽 高 表面积 体积
①:2cm 0.5cm 1cm 7cm² 1cm³
↓×3 ↓×3 ↓×3 ↓×9 ↓×27
②:6cm 1.5cm 3cm 63cm² 27cm³
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从两个角度思考：一是利用长方体表面积和体积的计算公式进行代数推导，直接得出变化倍数；二是通过计算具体长方体的表面积和体积，对比扩大前后的数值，总结规律。首先回忆长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，体积公式$V=abh$，若长、宽、高都扩大到原来的3倍，新的长、宽、高为$3a$、$3b$、$3h$，代入公式后与原公式对比即可得到倍数关系；也可以先计算出初始长方体的表面积和体积，再计算扩大3倍后的对应数值，通过除法计算倍数，验证规律。
【解析】
步骤1：计算表格中各长方体的表面积和体积
长方体①：
表面积：$2×(2×0.5 + 2×1 + 0.5×1)=2×(1+2+0.5)=7\ \mathrm{cm}^2$
体积：$2×0.5×1=1\ \mathrm{cm}^3$
长方体②：
表面积：$2×(6×1.5 + 6×3 + 1.5×3)=2×(9+18+4.5)=63\ \mathrm{cm}^2$
体积：$6×1.5×3=27\ \mathrm{cm}^3$
长方体③：
表面积：$2×(18×4.5 + 18×9 + 4.5×9)=2×(81+162+40.5)=567\ \mathrm{cm}^2$
体积：$18×4.5×9=729\ \mathrm{cm}^3$
步骤2：通过公式推导验证规律
设原长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$h$：
原表面积：$S_{\mathrm{原}}=2(ab+ah+bh)$
扩大后的表面积：$S_{\mathrm{新}}=2(3a×3b + 3a×3h + 3b×3h)=2×9(ab+ah+bh)=9S_{\mathrm{原}}$，即表面积扩大到原来的9倍。
原体积：$V_{\mathrm{原}}=abh$
扩大后的体积：$V_{\mathrm{新}}=3a×3b×3h=27abh=27V_{\mathrm{原}}$，即体积扩大到原来的27倍。
步骤3：总结规律
通过计算对比可知，长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。
【答案】
表格填写：①7、1；②63、27；③567、729
我发现：9、27
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、积的变化规律
【点评】
本题通过具体数值计算和公式推导两种方法探究规律，既巩固了长方体表面积与体积的计算方法，又深化了对积的变化规律的理解，两种方法相互验证，能帮助学生更清晰地掌握几何图形的变化规律。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以从两个角度思考：一是利用长方体表面积和体积的计算公式进行代数推导，直接得出变化倍数；二是通过计算具体长方体的表面积和体积，对比扩大前后的数值，总结规律。首先回忆长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，体积公式$V=abh$，若长、宽、高都扩大到原来的3倍，新的长、宽、高为$3a$、$3b$、$3h$，代入公式后与原公式对比即可得到倍数关系；也可以先计算出初始长方体的表面积和体积，再计算扩大3倍后的对应数值，通过除法计算倍数，验证规律。
【解析】
步骤1：计算表格中各长方体的表面积和体积
长方体①：
表面积：$2×(2×0.5 + 2×1 + 0.5×1)=2×(1+2+0.5)=7\ \mathrm{cm}^2$
体积：$2×0.5×1=1\ \mathrm{cm}^3$
长方体②：
表面积：$2×(6×1.5 + 6×3 + 1.5×3)=2×(9+18+4.5)=63\ \mathrm{cm}^2$
体积：$6×1.5×3=27\ \mathrm{cm}^3$
长方体③：
表面积：$2×(18×4.5 + 18×9 + 4.5×9)=2×(81+162+40.5)=567\ \mathrm{cm}^2$
体积：$18×4.5×9=729\ \mathrm{cm}^3$
步骤2：通过公式推导验证规律
设原长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$h$：
原表面积：$S_{\mathrm{原}}=2(ab+ah+bh)$
扩大后的表面积：$S_{\mathrm{新}}=2(3a×3b + 3a×3h + 3b×3h)=2×9(ab+ah+bh)=9S_{\mathrm{原}}$，即表面积扩大到原来的9倍。
原体积：$V_{\mathrm{原}}=abh$
扩大后的体积：$V_{\mathrm{新}}=3a×3b×3h=27abh=27V_{\mathrm{原}}$，即体积扩大到原来的27倍。
步骤3：总结规律
通过计算对比可知，长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。
【答案】
表格填写：①7、1；②63、27；③567、729
我发现：9、27
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、积的变化规律
【点评】
本题通过具体数值计算和公式推导两种方法探究规律，既巩固了长方体表面积与体积的计算方法，又深化了对积的变化规律的理解，两种方法相互验证，能帮助学生更清晰地掌握几何图形的变化规律。
【难度系数】
0.7
