1. 填空题(将正确答案填在括号里)。
(1)在24和6这两个数里，()能被()整除。()是()的因数，
()是()的倍数。
(2)有因数5，同时又是3和7的倍数的最小自然数是()。
(3)12的因数有()，24的因数有()，12和24的公因数有
()，其中最大公因数是()。
(4)$a=2×3×5$，$b=2×5×7$，$a$和$b$的最大公因数是()，最小公倍数是()。
(5)一个数的最大因数是18，这个数是()，把它分解质因数是()。

1. (1) 24 6 6 24 24 6
(2) 105
(3) 1、2、3、4、6、12
1、2、3、4、6、8、12、24
1、2、3、4、6、12 12
(4) 10 210
(5) 18 $18=2×3×3$

【分析】
1. 第(1)题：根据整除的定义，若整数a除以整数b（b≠0），商为整数且无余数，则a能被b整除。结合因数和倍数的相互关系，除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，据此判断24和6的关系。
2. 第(2)题：要求同时是3、5、7的倍数的最小自然数，即求这三个数的最小公倍数。由于3、5、7两两互质，最小公倍数为它们的乘积。
3. 第(3)题：找一个数的因数，需从1开始，依次找出能整除该数的所有数；公因数是两个数共有的因数，最大公因数则是公因数中最大的数。
4. 第(4)题：求两个数的最大公因数，取它们公有的质因数相乘；求最小公倍数，取公有的质因数与各自独有的质因数相乘。
5. 第(5)题：一个数的最大因数是它本身，据此确定该数；分解质因数是将合数写成几个质数相乘的形式。
【解析】
(1) 因为$24÷6=4$，商是整数且无余数，所以24能被6整除；根据因数和倍数的定义，6是24的因数，24是6的倍数。
(2) 3、5、7两两互质，它们的最小公倍数为$3×5×7=105$，即满足条件的最小自然数是105。
(3) 能整除12的数有1、2、3、4、6、12，即12的因数是1、2、3、4、6、12；
能整除24的数有1、2、3、4、6、8、12、24，即24的因数是1、2、3、4、6、8、12、24；
12和24共有的因数是1、2、3、4、6、12，其中最大的是12。
(4) $a$和$b$公有的质因数是2和5，所以最大公因数是$2×5=10$；
公有的质因数是2、5，$a$独有的质因数是3，$b$独有的质因数是7，最小公倍数是$2×5×3×7=210$。
(5) 一个数的最大因数是它本身，所以这个数是18；分解质因数为$18=2×3×3$。
【答案】
1. (1) 24 6 6 24 24 6
(2) 105
(3) 1、2、3、4、6、12；1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、4、6、12；12
(4) 10；210
(5) 18；$18=2×3×3$
【知识点】
因数与倍数、最大公因数与最小公倍数、分解质因数
【点评】
本题考查数论中的基础概念，涵盖整除、因数倍数、公因数公倍数、分解质因数等核心知识点，题目注重对基础定义的理解与应用，是巩固小学数论基础知识的典型题型，有助于学生夯实概念体系。
【难度系数】
0.8

2. 判断题(正确的画“√”，错误的画“×”)。
(1)自然数不是奇数，就是偶数。 ()
(2)互质的两个数没有公因数。 ()
(3)一个质数只有两个因数。 ()
(4)在自然数中，除了质数，就是合数。 ()
(5)两个合数，有可能是互质数。 ()
(6)除2以外，所有质数都是奇数。 ()

2. (1) √
(2) ×
(3) √
(4) ×
(5) √
(6) √

【分析】
我们需要逐个结合数论的基础概念来判断每个说法的正误：
1. 对于(1)，根据自然数、奇数和偶数的定义，自然数包含0和正整数，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的是奇数，0属于偶数，因此所有自然数必然是奇数或偶数。
2. 对于(2)，互质数的核心定义是“公因数只有1”，并非没有公因数，所以该说法不符合定义。
3. 对于(3)，质数的定义明确是“只有1和它本身两个因数的数”，完全符合该描述，因此正确。
4. 对于(4)，自然数里的1既不属于质数也不属于合数，所以除了质数和合数外还有特殊的1，该说法遗漏了这个特殊情况。
5. 对于(5)，可以通过举例验证，比如8和9都是合数，但它们的公因数只有1，属于互质数，说明两个合数存在互质的可能。
6. 对于(6)，2是唯一的偶质数，其他质数都无法被2整除，因此都是奇数，符合质数的特性。
【解析】
(1) 自然数按能否被2整除可分为奇数和偶数两类，0是偶数，正整数也仅属于这两类，所以该说法正确，画“√”。
(2) 互质的两个数的公因数是1，并非没有公因数，该说法错误，画“×”。
(3) 质数的定义为只有1和它本身两个因数的数，符合定义，该说法正确，画“√”。
(4) 自然数中1既不是质数也不是合数，因此除了质数、合数外还有1，该说法错误，画“×”。
(5) 例如8（合数）和9（合数）的公因数只有1，是互质数，说明两个合数可能是互质数，该说法正确，画“√”。
(6) 2是唯一的偶质数，其余质数都不能被2整除，均为奇数，该说法正确，画“√”。
【答案】
(1) √；(2) ×；(3) √；(4) ×；(5) √；(6) √
【知识点】
奇数与偶数定义；质数与合数定义；互质数定义
【点评】
本题聚焦数论基础概念的辨析，需要准确掌握各类数的定义，尤其要注意0、1、2这些特殊数在概念中的特殊性，避免因概念混淆或遗漏特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.6

(1)既是合数又是奇数的最小的数是()。

A.1
B.3
C.9

3. (1) C

【分析】
要解决这道题，需先明确核心概念：奇数是不能被2整除的整数；合数是除了1和它本身外，还有其他因数的数。接着逐个分析选项：
1. 选项A：1既不是质数也不是合数，不满足“合数”的要求，直接排除；
2. 选项B：3是奇数，但它的因数只有1和3，属于质数，不符合“合数”的定义，排除；
3. 选项C：9是奇数，它的因数有1、3、9，除了1和本身外还有因数3，是合数，且是满足“既是合数又是奇数”的最小数，符合题意。
【解析】
1. 明确相关概念：
奇数：不能被2整除的整数；
合数：除了1和自身外，还有其他因数的大于1的整数。
2. 逐一分析选项：
A选项：1既不是质数也不是合数，不符合“既是合数又是奇数”的要求；
B选项：3是奇数，但它只有1和3两个因数，属于质数，不是合数，不符合要求；
C选项：9是奇数，且因数有1、3、9，满足合数的定义，同时是满足条件的最小数，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
奇数的定义、合数的定义
【点评】
本题重点考查对奇数与合数概念的理解和区分，解题关键是准确掌握质数、合数、奇数的定义，避免混淆相关概念。
【难度系数】
0.8

(2)能同时被2、3、5整除的最大两位数是()。

A.90
B.95
C.30

3. (2) A

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确能同时被2、3、5整除的数的特征：首先，能同时被2和5整除的数，个位数字必须是0；其次，这个数还要能被3整除，即各位数字之和是3的倍数。接下来我们要找最大的两位数，先从个位是0的两位数里筛选，最大的个位为0的两位数是90，验证其各位数字之和9+0=9，9是3的倍数，满足被3整除的条件。再看选项，95个位不是0，不能被2和5整除；30虽然符合条件但不是最大的两位数，因此90是符合要求的数。
【解析】
1. 明确同时被2、3、5整除的数的特征：个位数字为0，且各位数字之和是3的倍数。
2. 分析选项：
选项A：90，个位是0，9+0=9，9是3的倍数，能同时被2、3、5整除，且是两位数中最大的符合条件的数；
选项B：95，个位是5，不能被2整除，不符合要求；
选项C：30，虽然能同时被2、3、5整除，但不是最大的两位数，不符合要求。
综上，选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题综合考查2、3、5的倍数特征，解题关键是先利用2和5的倍数特征确定个位数字，再结合3的倍数特征和“最大两位数”的条件筛选答案，难度不大，需要学生熟练掌握数的整除特征。
【难度系数】
0.8

(3)$10÷4=2.5$表示()。

A.10能被4整除
B.10能被4除尽
C.10不能被4除尽

3. (3) B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确“整除”和“除尽”的概念区别：
1. 整除的定义：整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，才叫a能被b整除。
2. 除尽的定义：只要被除数除以除数，商是有限小数或整数，没有余数，就叫除尽。
接下来看题目中的算式10÷4=2.5，商是有限小数，不符合整除要求（商不是整数），但满足除尽的条件，所以要选择对应的选项。
【解析】
1. 明确概念：
整除：要求被除数、除数、商均为整数，且余数为0；
除尽：只要商是有限小数或整数，不存在无限循环或无限不循环的情况，即可判定为除尽。
2. 分析算式：10÷4=2.5，商2.5是有限小数，不满足整除的条件，但符合除尽的定义。
因此，10能被4除尽，选B。
【答案】
B
【知识点】
整除与除尽的概念
【点评】
本题核心考查对整除和除尽概念的区分，是数论中的基础知识点，准确理解两者的差异是解题关键，避免因概念混淆选错答案。
【难度系数】
0.8

(4)两个质数的积一定是()。

A.质数
B.合数
C.奇数

3. (4) B

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确质数、合数、奇数的核心定义，再通过定义分析两个质数乘积的性质，同时举反例排除错误选项：
1. 先回忆概念：质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身还有其他因数的数；奇数是不能被2整除的整数。
2. 分析两个质数的积：假设两个质数分别为p和q（p、q均为大于1的自然数），它们的积为pq。此时pq的因数有1、p、q、pq，共至少4个因数，满足合数的定义。
3. 排除错误选项：
选项A：质数只有两个因数，而pq的因数多于两个，所以不可能是质数；
选项C：比如质数2和3的积是6，6是偶数不是奇数，说明两个质数的积不一定是奇数。
综上，两个质数的积一定是合数。
【解析】
1. 明确相关定义：
质数：只有1和它本身两个因数的自然数；
合数：除了1和它本身还有其他因数的自然数；
奇数：不能被2整除的整数。
2. 分析两个质数的乘积：
设两个质数为$ p $、$ q $（$ p＞1 $，$ q＞1 $），它们的积为$ m = p × q $。
则$ m $的因数有：1、$ p $、$ q $、$ m $，共至少4个因数，符合合数的定义。
3. 举反例验证错误选项：
若选A：$ m $的因数多于2个，不符合质数定义，排除；
若选C：取质数2和3，$ 2 × 3 = 6 $，6是偶数，说明积不一定是奇数，排除。
因此，两个质数的积一定是合数。
【答案】
B
【知识点】
质数与合数的定义、奇数的定义
【点评】
本题主要考查对质数、合数、奇数概念的理解与应用，解题关键是通过定义分析乘积的因数特征，同时学会用举反例的方法排除错误选项，避免因概念混淆而选错。
【难度系数】
0.8

4. 写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
12和36 5和13 45和75

4. 12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36；
5和13的最大公因数是1，最小公倍数是65；
45和75的最大公因数是15，最小公倍数是225。

【分析】
我们可以根据每组数的关系，选择对应的方法来求最大公因数和最小公倍数：
1. 对于12和36，观察发现36是12的倍数，根据倍数关系的两个数的性质，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
2. 对于5和13，它们都是质数且只有公因数1，属于互质关系，互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
3. 对于45和75，它们是一般关系，我们可以通过分解质因数的方法，最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。
【解析】
1. 12和36：
因为36÷12=3，即36是12的倍数，所以它们的最大公因数是较小数12，最小公倍数是较大数36。
2. 5和13：
5和13都是质数，且它们的公因数只有1，属于互质数，因此最大公因数是1，最小公倍数是5×13=65。
3. 45和75：
先分解质因数：45=3×3×5，75=3×5×5。
最大公因数是公有质因数的乘积：3×5=15；
最小公倍数是公有质因数和各自独有质因数的乘积：3×5×3×5=225。
【答案】
12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36；
5和13的最大公因数是1，最小公倍数是65；
45和75的最大公因数是15，最小公倍数是225。
【知识点】
最大公因数求法、最小公倍数求法、互质关系应用
【点评】
本题涵盖了求最大公因数和最小公倍数的三种典型情况：倍数关系、互质关系、一般关系，通过不同方法求解，帮助学生巩固不同数的关系下的解题技巧，提升对因数和倍数概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8