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【典例1】(1)已知$f(x)$为二次函数，且$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，求函数$f(x)$的解析式；
(2)(一题多解)已知$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}$，求函数$f(x)$的解析式；
(3)已知$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x(x≠0)$，求函数$f(x)$的解析式.
解题指导 (1)设出$f(x)$的解析式，代入$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$中，根据等式求出系数即可.
(2)根据$f(\sqrt{x}+1)$求$f(x)$.方法1:换元，将括号中的式子看作$t$，进而求得$f(t)$.方法2:配凑，将括号中的式子看作一个整体，将等号右边的式子变形并用这个整体表示出来，进而求得$f(x)$.
(3)将$x$换成$\frac{1}{x}$，即可再得到一个关于$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$的方程.
答案 解:(1)设$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$.
因为$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，
所以$a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x$.
整理，得$2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x$，
所以$\begin{cases}2a=2,\\2b=-4,\\2a+2c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-1,\end{cases}$
所以$f(x)=x^2-2x-1$.
(2)(一题多解)方法1(换元法):令$t=\sqrt{x}+1$，则$x=(t-1)^2,t≥1$，所以$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1(t≥1)$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^2-1(x≥1)$.
方法2(配凑法):因为$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1-1=(\sqrt{x}+1)^2-1,\sqrt{x}+1≥1$，
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^2-1(x≥1)$.
(3)因为$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x$,① 不可忽略.
所以$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x}$.②
①$×2-$②,得$3f(x)=2x-\frac{1}{x}$,
所以$f(x)=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3x}(x≠0)$.
(2)(一题多解)已知$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}$，求函数$f(x)$的解析式；
(3)已知$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x(x≠0)$，求函数$f(x)$的解析式.
解题指导 (1)设出$f(x)$的解析式，代入$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$中，根据等式求出系数即可.
(2)根据$f(\sqrt{x}+1)$求$f(x)$.方法1:换元，将括号中的式子看作$t$，进而求得$f(t)$.方法2:配凑，将括号中的式子看作一个整体，将等号右边的式子变形并用这个整体表示出来，进而求得$f(x)$.
(3)将$x$换成$\frac{1}{x}$，即可再得到一个关于$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$的方程.
答案 解:(1)设$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$.
因为$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，
所以$a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x$.
整理，得$2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x$，
所以$\begin{cases}2a=2,\\2b=-4,\\2a+2c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-1,\end{cases}$
所以$f(x)=x^2-2x-1$.
(2)(一题多解)方法1(换元法):令$t=\sqrt{x}+1$，则$x=(t-1)^2,t≥1$，所以$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1(t≥1)$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^2-1(x≥1)$.
方法2(配凑法):因为$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1-1=(\sqrt{x}+1)^2-1,\sqrt{x}+1≥1$，
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^2-1(x≥1)$.
(3)因为$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x$,① 不可忽略.
所以$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x}$.②
①$×2-$②,得$3f(x)=2x-\frac{1}{x}$,
所以$f(x)=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3x}(x≠0)$.
答案
解：
(1) 设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
将f(x+1)、f(x-1)代入已知等式得：
$a(x+1)^2 + b(x+1) + c + a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 2x^2 - 4x$
整理得：$2ax^2 + 2bx + 2a + 2c = 2x^2 - 4x$
由多项式相等对应系数相等可得方程组：
$\begin{cases}2a=2\\2b=-4\\2a+2c=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$因此$f(x)=x^2 - 2x - 1$。(2) 方法1（换元法）：令$t=\sqrt{x}+1$，由$\sqrt{x}≥0$得t≥1，且$x=(t-1)^2$，代入原式得：$f(t)=(t-1)^2 + 2(t-1) = t^2 - 1\ (t≥1)$将t替换为x，得$f(x)=x^2 - 1\ (x≥1)$。方法2（配凑法）：对等式右边变形：$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1 - 1=(\sqrt{x}+1)^2 - 1$由$\sqrt{x}+1≥1$，将$\sqrt{x}+1$整体替换为x，得$f(x)=x^2 - 1\ (x≥1)$。(3) 已知$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x\quad(x≠0)\quad①$，将x替换为$\frac{1}{x}$，得：$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x}\quad②①×2 - ②$，得：$3f(x)=2x - \frac{1}{x}$因此$f(x)=\frac{2}{3}x - \frac{1}{3x}\ (x≠0)$。
(1) 设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
将f(x+1)、f(x-1)代入已知等式得：
$a(x+1)^2 + b(x+1) + c + a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 2x^2 - 4x$
整理得：$2ax^2 + 2bx + 2a + 2c = 2x^2 - 4x$
由多项式相等对应系数相等可得方程组：
$\begin{cases}2a=2\\2b=-4\\2a+2c=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$因此$f(x)=x^2 - 2x - 1$。(2) 方法1（换元法）：令$t=\sqrt{x}+1$，由$\sqrt{x}≥0$得t≥1，且$x=(t-1)^2$，代入原式得：$f(t)=(t-1)^2 + 2(t-1) = t^2 - 1\ (t≥1)$将t替换为x，得$f(x)=x^2 - 1\ (x≥1)$。方法2（配凑法）：对等式右边变形：$f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1 - 1=(\sqrt{x}+1)^2 - 1$由$\sqrt{x}+1≥1$，将$\sqrt{x}+1$整体替换为x，得$f(x)=x^2 - 1\ (x≥1)$。(3) 已知$2f(x)+f(\frac{1}{x})=x\quad(x≠0)\quad①$，将x替换为$\frac{1}{x}$，得：$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x}\quad②①×2 - ②$，得：$3f(x)=2x - \frac{1}{x}$因此$f(x)=\frac{2}{3}x - \frac{1}{3x}\ (x≠0)$。
【变式1】（1）已知$f(x)$是一次函数，且$f(3x)-2f(x)=x-2$，则$f(x)$的解析式为________；
（2）已知$f(x+1)=2x-3$，且$f(a)=7$，则$a=\_\_\_\_\_\_$；
（3）已知函数$g(x)$对任意的$x$都有$2g(x)+g(-x)=2x-3$，则$g(x)$的解析式为________。
（2）已知$f(x+1)=2x-3$，且$f(a)=7$，则$a=\_\_\_\_\_\_$；
（3）已知函数$g(x)$对任意的$x$都有$2g(x)+g(-x)=2x-3$，则$g(x)$的解析式为________。
答案
(1)$f(x)=x+2$ (2)$6$ (3)$g(x)=2x-1$
(1)因为$f(x)$是一次函数,所以设$f(x)=kx+b(k≠0)$.
由$f(3x)-2f(x)=x-2$可得,$3kx+b-2(kx+b)=x-2$.
整理,得$kx-b=x-2$,所以$\begin{cases}k=1,\\-b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
故$f(x)=x+2$.
(2)令$t=x+1$,则$x=t-1$,
所以$f(x+1)=2x-3$可化为$f(t)=2(t-1)-3=2t-5$,
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=2x-5$.
因为$f(a)=7$,所以$2a-5=7$,解得$a=6$.
(3)因为对任意的$x$都有$2g(x)+g(-x)=2x-3$,
所以$2g(-x)+g(x)=-2x-3$.
由$\begin{cases}2g(x)+g(-x)=2x-3,\\2g(-x)+g(x)=-2x-3,\end{cases}$
消去$g(-x)$可得,$3g(x)=6x-3$,
所以$g(x)=2x-1$.
(1)因为$f(x)$是一次函数,所以设$f(x)=kx+b(k≠0)$.
由$f(3x)-2f(x)=x-2$可得,$3kx+b-2(kx+b)=x-2$.
整理,得$kx-b=x-2$,所以$\begin{cases}k=1,\\-b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
故$f(x)=x+2$.
(2)令$t=x+1$,则$x=t-1$,
所以$f(x+1)=2x-3$可化为$f(t)=2(t-1)-3=2t-5$,
所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=2x-5$.
因为$f(a)=7$,所以$2a-5=7$,解得$a=6$.
(3)因为对任意的$x$都有$2g(x)+g(-x)=2x-3$,
所以$2g(-x)+g(x)=-2x-3$.
由$\begin{cases}2g(x)+g(-x)=2x-3,\\2g(-x)+g(x)=-2x-3,\end{cases}$
消去$g(-x)$可得,$3g(x)=6x-3$,
所以$g(x)=2x-1$.
