【典例2】（1）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x - \dfrac{3}{x}, & x ＞ 0, \\ x^2 + 2, & x ≤ 0, \end{cases} $ 则 $ f(f(-1)) = \_\_\_\_\_\_; $
（2）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} f(x+1), & x ≤ 0, \\ x^2 - 3x - 4, & x ＞ 0, \end{cases} $ 则 $ f(f(-4)) = \_\_\_\_\_\_. $
解题指导 由内到外逐层代入求解，注意每层代入时自变量的取值。
解析 (1)根据题意可得，$ f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3 $，则 $ f(f(-1)) = f(3) = 3 - 1 = 2. $
(2)根据题意可得，$ f(-4) = f(-3) = f(-2) = f(-1) = f(0) = f(1) = 1^2 - 3 - 4 = -6 $，则 $ f(f(-4)) = f(-6) = f(1) = -6. $
答案 (1)2 (2)-6

(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-6}$

解：
(1) 因为$-1 ≤ 0$，代入对应分段表达式得：
$f(-1)=(-1)^2 + 2 = 3$
又因为$3＞0$，代入对应分段表达式得：
$f(3)=3 - \frac{3}{3}=2$
因此$f(f(-1))=2$。
(2) 当$x ≤ 0$时，$f(x)=f(x+1)$，逐层递推得：
$f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)$
因为$1＞0$，代入对应分段表达式得：
$f(1)=1^2 - 3×1 -4=-6$
即$f(-4)=-6$
同理可得$f(-6)=f(-5)=\dots=f(1)=-6$
因此$f(f(-4))=f(-6)=-6$。

【变式2】已知函数$f(x)=\begin{cases}f(x+1),&x＜0,\\x^2+2x-3,&x≥0,\end{cases}$则$f[f(-2)+f(2)]=(\quad)$

A.－6
B.5
C.2
D.－3

B 由题意可得,$f(-2)=f(-1)=f(0)=-3$,
$f(2)=2^2+2×2-3=5$,
所以$f(-2)+f(2)=-3+5=2$,
所以$f[f(-2)+f(2)]=f(2)=5$.

【典例3】已知函数$f(x)=\begin{cases}0, & x＜1, \\x+1, & 1≤ x＜2, \\-x^2+5, & x≥2,\end{cases}$若$f(a)=1$,则$a=$（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1
解题指导 由“$f(a)=1$”,想到对$a$进行分类讨论,然后代入对应解析式即可表示出$f(a)$,进而列方程求解.
解析 当$a＜1$时,$f(a)=0$,不符合题意,故舍去;当$1≤ a＜2$时,$f(a)=a+1=1$,解得$a=0$,不符合范围条件,故舍去;当$a≥2$时,$f(a)=-a^2+5=1$,解得$a=2$或$a=-2$.因为$a≥2$,所以$a=2$.综上所述,$a=2$.
答案C

C

对a的取值范围分三类讨论：
1. 当$a＜1$时，$f(a)=0≠1$，不符合题意，舍去；
2. 当$1≤ a＜2$时，令$a+1=1$，解得$a=0$，不满足$1≤ a＜2$的范围要求，舍去；
3. 当$a≥2$时，令$-a^2+5=1$，解得$a=2$或$a=-2$，结合$a≥2$的条件，舍去$a=-2$，得$a=2$。
综上，$a=2$。

【变式3】已知函数$f(x)=\begin{cases}2x^2+1, & x＜1, \\ x+2, & x≥1,\end{cases}$若$f(a)=9$,则$a$的值是（ ）

A.－2或2
B.－2或2或7
C.－2或7
D.2或7

C 若$a＜1$,则$f(a)=2a^2+1=9$,解得$a=-2$或$a=2$(舍去);
若$a≥1$,则$f(a)=a+2=9$,解得$a=7$.
综上,$a$的值是$-2$或$7$.

1.某同学晚饭后计划出门散步，用圆心O表示该同学家的位置(如图所示).若该同学从家里出发，沿箭头所指的路线以一定的速度散步，则离家的距离与时间之间的函数图象可能是（）

1.D 由题意可知,该同学速度一定,则当刚从家出发时,离家的距离均匀增加;当到达扇形的弧上时,离家的距离不变;当最后一段沿扇形的半径往家的方向走时,离家的距离均匀减小.故只有D选项符合题意.