15. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,过点D作DF⊥BC于点F,且BD=BC=AD,则∠CDF的度数为。

15.18°

【分析】
解题时先利用等腰三角形等边对等角的性质，将图中相等的边转化为相等的角，再结合三角形外角的性质、三角形内角和为180°求出∠C的度数，最后在直角△DFC中利用直角三角形两锐角互余计算∠CDF的度数。具体思考步骤：第一步设∠A为未知数，根据等腰三角形底角相等以及外角性质，用含未知数的式子表示出∠C；第二步利用△ABC内角和列方程求出∠C；第三步结合DF⊥BC的垂直条件求∠CDF。
【解析】
设∠A=x，
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=x，
∵ ∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
又
∵ BD=BC，AB=AC，
∴ ∠C=∠BDC=2x，∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
代入得：$x + 2x + 2x = 180°$，解得$x=36°$，
∴ $∠ C=2x=72°$，
∵ DF⊥BC，
∴ $∠ DFC=90°$，
在Rt△DFC中，$∠ CDF + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ CDF=90° - 72°=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心是通过设未知数，利用角度之间的等量关系列方程求解，能够很好地考察等腰三角形、三角形内外角相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65

16.(1)如图1，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴l；(2)如图2，请在图中作出与△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A'B'C'。

16.解:(1)如图1,直线l即为所求作.
(2)如图2,△A'B'C'即为所求作.

【分析】
(1)要作两个成轴对称的图形的对称轴，根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，因此只需找到两组对应点，作出对应点连线的垂直平分线，或连接两组对应点的中点，所得直线即为对称轴。
(2)要作△ABC关于直线MN的轴对称图形，只需分别作出△ABC三个顶点A、B、C关于直线MN的对称点，再顺次连接三个对称点，即可得到所求的轴对称图形。作点关于直线的对称点时，过点作直线的垂线，在垂线上垂足的另一侧截取与该点到垂足距离相等的线段，另一端点就是对称点。
【解析】
(1)①观察图形确定△ABC和△DEF的对应点：点A对应点D，点C对应点F；
②连接AD、CF，分别找到两条线段的中点；
③过两个中点作直线l，该直线就是△ABC与△DEF的对称轴，作图需保留痕迹。
(2)①过点A作MN的垂线，垂足为P，在MN另一侧的垂线上截取PA'=PA，得到点A的对称点A'；
②用相同方法分别作出点B、C关于直线MN的对称点B'、C'；
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是所求的轴对称图形，作图需保留痕迹。
【答案】
16.解:(1)如图1,直线l即为所求作.
(2)如图2,△A'B'C'即为所求作.

【知识点】
轴对称的性质，对称轴的画法，作轴对称图形
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查轴对称性质的应用，解题关键是理解“成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分”这一性质，作图时要注意规范，保留必要的作图痕迹。
【难度系数】
0.8

17.在数学活动课上，王老师要求学生将如图1所示的$3×3$的正方形方格纸剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉的部分).
请在图3中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂上阴影(每个$3×3$的正方形方格中画一种，例图除外).

17.解:如图所示.

【分析】
解题时首先明确两个核心要求：一是剪掉两个方格后剩余的图形是轴对称图形，即存在一条直线，沿该直线折叠后直线两侧的部分能完全重合；二是旋转后能重合的图形视为同一种方案，且不能使用题目给出的例图方案。思考时先确定3×3方格的所有对称轴，包括水平中线、竖直中线、两条对角线，再选择两个关于某条对称轴对称的方格作为要剪掉的部分，设计完成后检查方案是否和已有方案旋转后重合，排除重复的方案，最终得到4种符合要求的不同方案。
【解析】
1. 明确轴对称图形定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
2. 确定3×3方格的对称轴：共4条，分别是水平方向过中心的直线、竖直方向过中心的直线、左上至右下的对角线、右上至左下的对角线。
3. 设计符合要求的方案：
方案1：剪掉第一行第一列和第三行第三列的方格，剩余图形沿左上-右下对角线对称，符合轴对称要求。
方案2：剪掉第一行第一列和第二行第二列的方格，剩余图形沿左上-右下对角线对称，且和方案1旋转后不重合。
方案3：剪掉第二行第一列和第二行第二列的方格，剩余图形沿水平中线对称，和前两个方案旋转后不重合。
方案4：剪掉第二行第一列和第二行第三列的方格，剩余图形沿竖直中线对称，和前三个方案旋转后不重合。
注：方案不唯一，满足轴对称、与例图不同、旋转后不重合的要求即可。
【答案】

【知识点】
轴对称图形，图形的旋转，图案设计
【点评】
本题结合动手操作考查轴对称和旋转的相关概念，需要学生在掌握轴对称图形判定方法的基础上，注意题目中“旋转重合视为同一种”的限定，有利于提升空间想象能力和创新设计能力。
【难度系数】
0.6

18.【跨学科】已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和的最小值问题.
(1)实践运用
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后，再到点B宿营，请问怎样走才能使总路程最短？画出最短路径.
(2)拓展延伸
如图2，P，Q是△ABC的边AC，AB上的两个定点，请同学们在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短(要求：尺规作图，不写作图过程，保留作图痕迹).

18.解:(1)如图1,从点A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取点A'使得A'D=AD,连接A'B,与河岸相交于点C,则点C就是使路径最短的饮马的地方.

(2)所求作如图2.

【分析】
(1) 要在河流l上找一点C使总路程AC+BC最短，直接连接AB不经过l，因此利用轴对称的性质，将点A对称到l的另一侧得到A'，此时AC与A'C长度相等，AC+BC就转化为A'C+BC，根据“两点之间线段最短”，当A'、C、B三点共线时，A'C+BC的和最小，对应的点C就是所求的饮马点。
(2) △PQR的周长为PQ+QR+PR，其中P、Q是定点，PQ长度固定，因此只需让QR+PR的和最小即可。同理，作点P关于BC的对称点，将PR转化为对称点到R的距离，连接对称点与Q，与BC的交点即为R，此时QR+PR的和最小，△PQR周长最短。
【解析】
(1) 第一步：过点A作AD垂直于直线l，垂足为D，延长AD到点A'，使A'D=AD，得到点A关于l的对称点A'；第二步：连接A'B，与直线l交于点C；第三步：连接AC，路径A→C→B即为最短路径。
(2) 作点P关于BC所在直线的对称点，连接该对称点与点Q，与BC交于点R，连接PR、QR，此时△PQR周长最短，保留尺规作图痕迹即可。
【答案】
(1) 如图1,从点A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取点A'使得A'D=AD,连接A'B,与河岸相交于点C,则点C就是使路径最短的饮马的地方.

(2) 所求作如图2.

【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是经典的最短路径应用类题型，核心是利用转化思想，通过轴对称将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，同时考查了尺规作图的实操能力，贴合生活场景，能有效锻炼知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7