19. 如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF。若MN＝15，求△PEF的周长。

19.△PEF的周长为15.

【分析】
要求△PEF的周长，需先明确其周长是PE+EF+PF的和。我们可以借助轴对称的性质进行线段等量转化：点P与M关于OA对称，说明OA是线段PM的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，OA上的点E到P、M的距离相等，即PE=ME；同理，点P与N关于OB对称，OB是PN的垂直平分线，OB上的点F到P、N的距离相等，即PF=FN。此时△PEF的周长即可转化为MN的长度，代入已知MN的数值就能求解。
【解析】
∵ 点P与点M关于OA对称，
∴ OA垂直平分PM，
又
∵ 点E在OA上，
∴ PE = ME（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
同理，点P与点N关于OB对称，OB垂直平分PN，点F在OB上，
∴ PF = FN。
△PEF的周长 = PE + EF + PF，
将PE=ME、PF=FN代入得：
周长 = ME + EF + FN = MN。
已知MN=15，因此△PEF的周长为15。
【答案】
△PEF的周长为15
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用轴对称的性质实现未知线段的等量转化，将三角形周长转化为已知线段的长度，充分体现了几何求解中的转化思想，解题时要注意找准对称轴对应的相等线段。
【难度系数】
0.7