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7. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，有下列结论：①$BC=DE$；②直线$l$垂直平分$BD$；③$∠ BAE=∠ DAC$；④$BC$与$DE$的延长线的交点一定落在直线$l$上.其中正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
7.A
解析
【分析】
本题可根据轴对称的性质逐一判断各结论：首先成轴对称的两个图形全等，可判断对应边是否相等；其次对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，可判断直线l和BD的关系；再结合全等三角形对应角相等，通过角的和差关系判断角是否相等；最后根据成轴对称的图形对应线段（或延长线）的交点在对称轴上，判断最后一个结论即可。
【解析】
∵△ABC和△ADE关于直线l对称，
∴△ABC≌△ADE，直线l为两个三角形的对称轴。
①由全等三角形对应边相等，可得BC=DE，故①正确；
②点B和点D是一组对应点，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，因此直线l垂直平分BD，故②正确；
③由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠DAE，等式两边同时加∠CAE，可得∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠DAC，故③正确；
④根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应线段（或其延长线）如果相交，交点一定在对称轴上，BC和DE是一组对应线段，因此它们的延长线的交点一定落在直线l上，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握成轴对称的图形的相关性质，逐一验证结论即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可根据轴对称的性质逐一判断各结论：首先成轴对称的两个图形全等，可判断对应边是否相等；其次对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，可判断直线l和BD的关系；再结合全等三角形对应角相等，通过角的和差关系判断角是否相等；最后根据成轴对称的图形对应线段（或延长线）的交点在对称轴上，判断最后一个结论即可。
【解析】
∵△ABC和△ADE关于直线l对称，
∴△ABC≌△ADE，直线l为两个三角形的对称轴。
①由全等三角形对应边相等，可得BC=DE，故①正确；
②点B和点D是一组对应点，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，因此直线l垂直平分BD，故②正确；
③由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠DAE，等式两边同时加∠CAE，可得∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠DAC，故③正确；
④根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应线段（或其延长线）如果相交，交点一定在对称轴上，BC和DE是一组对应线段，因此它们的延长线的交点一定落在直线l上，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握成轴对称的图形的相关性质，逐一验证结论即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
8.如图，P是∠AOB内任意一点，OP=6 cm，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点.若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是 （
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
）A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
8.B
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小的问题，需利用轴对称将折线段转化为直线段，结合“两点之间线段最短”确定周长最小时的图形关系：首先分别作点P关于OB、OA的对称点，利用轴对称性质将PM、PN替换为对称点到M、N的线段，此时△PMN的周长就等于两个对称点之间的线段长度，也就是周长的最小值。再结合已知的OP长度和最小周长判断三角形形状，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OB的对称点$P_1$，关于射线OA的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OB、OA于点M、N，再连接$OP_1$、$OP_2$。
根据轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=6\mathrm{cm}$，$∠ P_1OB=∠ POB$，$∠ P_2OA=∠ POA$。
此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N=P_1P_2$，由两点之间线段最短可知，此时的周长就是最小值，即$P_1P_2=6\mathrm{cm}$。
2. 因为$OP_1=OP_2=P_1P_2=6\mathrm{cm}$，所以$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$∠ P_1OP_2=60°$。
3. 又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OB+∠ POB+∠ POA+∠ P_2OA=2(∠ POB+∠ POA)=2∠ AOB$，所以$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题属于典型的最短路径类题型，解题核心是通过轴对称将三角形周长的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解角度，要求学生熟练掌握轴对称的应用，能灵活转化线段和角的关系。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小的问题，需利用轴对称将折线段转化为直线段，结合“两点之间线段最短”确定周长最小时的图形关系：首先分别作点P关于OB、OA的对称点，利用轴对称性质将PM、PN替换为对称点到M、N的线段，此时△PMN的周长就等于两个对称点之间的线段长度，也就是周长的最小值。再结合已知的OP长度和最小周长判断三角形形状，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OB的对称点$P_1$，关于射线OA的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交OB、OA于点M、N，再连接$OP_1$、$OP_2$。
根据轴对称的性质可得：$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$OP_1=OP=OP_2=6\mathrm{cm}$，$∠ P_1OB=∠ POB$，$∠ P_2OA=∠ POA$。
此时$△ PMN$的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N=P_1P_2$，由两点之间线段最短可知，此时的周长就是最小值，即$P_1P_2=6\mathrm{cm}$。
2. 因为$OP_1=OP_2=P_1P_2=6\mathrm{cm}$，所以$△ P_1OP_2$是等边三角形，因此$∠ P_1OP_2=60°$。
3. 又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OB+∠ POB+∠ POA+∠ P_2OA=2(∠ POB+∠ POA)=2∠ AOB$，所以$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题属于典型的最短路径类题型，解题核心是通过轴对称将三角形周长的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解角度，要求学生熟练掌握轴对称的应用，能灵活转化线段和角的关系。
【难度系数】
0.6
9.如图，弹性小球从点P出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。小球第1次碰到长方形的边时，触碰点为Q；第2次碰到长方形的边时，触碰点为M……第2024次碰到长方形的边时，触碰点为图中的（
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
C
）A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
答案
9.C
解析
【分析】
这是一道规律探究题，解题思路是先根据反弹时反射角等于入射角的规则，依次列举出前几次小球碰到长方形边的触碰点，找到触碰点的循环周期，再用总次数除以周期，通过余数对应周期内的点即可得到结果。
【解析】
按照反弹规则依次列举触碰点：
第1次碰到长方形的边，触碰点为Q；
第2次碰到长方形的边，触碰点为M；
第3次碰到长方形的边，触碰点为N；
第4次碰到长方形的边，触碰点为Q；
……
可发现触碰点每3次为一个循环周期，周期内顺序为Q、M、N。
计算2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明第2024次的触碰点和周期内第2次的触碰点相同，即为点M。
【答案】
C
【知识点】
周期规律探究，反射的性质
【点评】
本题侧重考察规律探索能力，解题核心是先通过枚举找到循环周期，再结合带余除法定位对应位置，只要认真梳理前几次的触碰点，很容易找到规律求解。
【难度系数】
0.7
这是一道规律探究题，解题思路是先根据反弹时反射角等于入射角的规则，依次列举出前几次小球碰到长方形边的触碰点，找到触碰点的循环周期，再用总次数除以周期，通过余数对应周期内的点即可得到结果。
【解析】
按照反弹规则依次列举触碰点：
第1次碰到长方形的边，触碰点为Q；
第2次碰到长方形的边，触碰点为M；
第3次碰到长方形的边，触碰点为N；
第4次碰到长方形的边，触碰点为Q；
……
可发现触碰点每3次为一个循环周期，周期内顺序为Q、M、N。
计算2024除以3的余数：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明第2024次的触碰点和周期内第2次的触碰点相同，即为点M。
【答案】
C
【知识点】
周期规律探究，反射的性质
【点评】
本题侧重考察规律探索能力，解题核心是先通过枚举找到循环周期，再结合带余除法定位对应位置，只要认真梳理前几次的触碰点，很容易找到规律求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图，正方形ABCD的边长为8 cm，则图中阴影部分的面积为
第10题图 第11题图 第12题图
32
cm². 第10题图 第11题图 第12题图答案
10.32
解析
【分析】
观察图形可知，正方形ABCD的对角线AC是正方形的一条对称轴，根据轴对称的性质，可将AC一侧的阴影部分对称到另一侧空白处，最终所有阴影部分可拼接成正方形面积的一半，因此只需先计算正方形的面积，再除以2即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
首先计算正方形ABCD的面积：
正方形面积 = 边长×边长 = $8 × 8 = 64\ \mathrm{cm^2}$
由轴对称的性质可得，阴影部分的面积之和等于正方形面积的一半，因此：
阴影部分面积 = $64 ÷ 2 = 32\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
32
【知识点】
正方形的性质；轴对称的应用；面积计算
【点评】
本题无需分别计算各阴影部分的面积，通过轴对称的性质将零散的阴影部分拼接成规则图形，可大幅简化计算，是求解不规则图形面积的常用思路。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，正方形ABCD的对角线AC是正方形的一条对称轴，根据轴对称的性质，可将AC一侧的阴影部分对称到另一侧空白处，最终所有阴影部分可拼接成正方形面积的一半，因此只需先计算正方形的面积，再除以2即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
首先计算正方形ABCD的面积：
正方形面积 = 边长×边长 = $8 × 8 = 64\ \mathrm{cm^2}$
由轴对称的性质可得，阴影部分的面积之和等于正方形面积的一半，因此：
阴影部分面积 = $64 ÷ 2 = 32\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
32
【知识点】
正方形的性质；轴对称的应用；面积计算
【点评】
本题无需分别计算各阴影部分的面积，通过轴对称的性质将零散的阴影部分拼接成规则图形，可大幅简化计算，是求解不规则图形面积的常用思路。
【难度系数】
0.7
11.小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是
10:51
。答案
11.10:51
解析
【分析】
镜子中的图像与实际物体关于竖直方向的镜面成轴对称，特点是左右相反。要得到电子钟的实际时刻，我们可以利用轴对称的性质，用最直观的翻看法求解：将印有该镜面读数的纸张左右翻转，从背面观察到的读数就是实际时刻，这种方法不容易出错，适合快速解题。
【解析】
解：根据轴对称的性质，镜面中的电子钟读数和实际读数关于竖直直线对称，左右方向相反。
将题图中显示的“12:01”沿竖直方向左右翻转，翻转后数字顺序反向，其中数字“2”左右对称后变为“5”，数字“1”和“0”左右对称后形状不变，冒号位置不变，最终得到的读数为10:51，也就是电子钟的实际时刻。
【答案】
10:51
【知识点】
1.轴对称的应用
2.镜面对称问题
【点评】
这道题是轴对称知识在生活中的实际应用，解题核心是理解镜面成像左右相反的特点，使用翻看法可以快速得出结果，属于结合生活场景的基础题型。
【难度系数】
0.7
镜子中的图像与实际物体关于竖直方向的镜面成轴对称，特点是左右相反。要得到电子钟的实际时刻，我们可以利用轴对称的性质，用最直观的翻看法求解：将印有该镜面读数的纸张左右翻转，从背面观察到的读数就是实际时刻，这种方法不容易出错，适合快速解题。
【解析】
解：根据轴对称的性质，镜面中的电子钟读数和实际读数关于竖直直线对称，左右方向相反。
将题图中显示的“12:01”沿竖直方向左右翻转，翻转后数字顺序反向，其中数字“2”左右对称后变为“5”，数字“1”和“0”左右对称后形状不变，冒号位置不变，最终得到的读数为10:51，也就是电子钟的实际时刻。
【答案】
10:51
【知识点】
1.轴对称的应用
2.镜面对称问题
【点评】
这道题是轴对称知识在生活中的实际应用，解题核心是理解镜面成像左右相反的特点，使用翻看法可以快速得出结果，属于结合生活场景的基础题型。
【难度系数】
0.7
12.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=
30
°.答案
12.30
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“BC的垂直平分线”入手，根据垂直平分线的性质可得FB=FC，进而推出∠B=∠FCB；再结合△AFC是等边三角形的条件，得到∠AFC=60°，最后利用三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合∠B和∠FCB的等量关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵EF是BC的垂直平分线，
∴点F在BC的垂直平分线上，可得FB=FC，
根据等边对等角，得∠B=∠FCB。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°。
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCB=2∠B，
∴∠B=60°÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过图形性质推导角的等量关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键，这类题是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“BC的垂直平分线”入手，根据垂直平分线的性质可得FB=FC，进而推出∠B=∠FCB；再结合△AFC是等边三角形的条件，得到∠AFC=60°，最后利用三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合∠B和∠FCB的等量关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵EF是BC的垂直平分线，
∴点F在BC的垂直平分线上，可得FB=FC，
根据等边对等角，得∠B=∠FCB。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°。
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCB=2∠B，
∴∠B=60°÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过图形性质推导角的等量关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键，这类题是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图是$4×4$的正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色.现在要从其余白色小方格中选一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有
3
个.答案
13.3
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。我们可以先梳理所有可能让黑色部分构成轴对称图形的对称轴，再根据对称轴找到对应需要涂黑的白色方格位置，统计所有符合要求的方格数量即可，思考时要注意覆盖所有可能的对称轴，避免漏算。
【解析】
结合轴对称图形的定义，逐一排查白色方格：
1. 将从上数第一行、左数第一列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿左上到右下的对角线对折后完全重合，符合要求；
2. 将从上数第三行、左数第二列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿竖直方向的中线（第2、3列之间的直线）对折后完全重合，符合要求；
3. 将从上数第四行、左数第四列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿右上到左下的对角线对折后完全重合，符合要求。
综上，符合条件的白色小方格共有3个。
【答案】
3
【知识点】
轴对称图形的定义；网格轴对称应用
【点评】
本题重点考查轴对称图形特征的灵活运用，解题的核心是要全面考虑不同方向的对称轴，避免遗漏可能的涂色位置，属于几何概念的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。我们可以先梳理所有可能让黑色部分构成轴对称图形的对称轴，再根据对称轴找到对应需要涂黑的白色方格位置，统计所有符合要求的方格数量即可，思考时要注意覆盖所有可能的对称轴，避免漏算。
【解析】
结合轴对称图形的定义，逐一排查白色方格：
1. 将从上数第一行、左数第一列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿左上到右下的对角线对折后完全重合，符合要求；
2. 将从上数第三行、左数第二列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿竖直方向的中线（第2、3列之间的直线）对折后完全重合，符合要求；
3. 将从上数第四行、左数第四列的白色方格涂黑，此时黑色图形可沿右上到左下的对角线对折后完全重合，符合要求。
综上，符合条件的白色小方格共有3个。
【答案】
3
【知识点】
轴对称图形的定义；网格轴对称应用
【点评】
本题重点考查轴对称图形特征的灵活运用，解题的核心是要全面考虑不同方向的对称轴，避免遗漏可能的涂色位置，属于几何概念的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
14.【情境题】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读.如图，把一张长方形的纸折叠后，B，D两点分别落在点$B'$，$D'$处.若$∠ AOB' = 80°$，则$∠ B'OG$的度数为
50°
.答案
14.50°
解析
【分析】
解决这道题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得$∠ BOG=∠ B'OG$；其次AB为直线，根据平角的定义，平角为$180°$，即$∠ AOB'+∠ BOG+∠ B'OG=180°$，已知$∠ AOB'$的度数，将等量关系代入即可计算出$∠ B'OG$的度数。
【解析】
根据折叠的性质可知，折叠后对应角相等，因此$∠ BOG=∠ B'OG$。
因为AB是直线，由平角的定义可得：$∠ AOB'+∠ BOG+∠ B'OG=180°$。
已知$∠ AOB'=80°$，代入得：
$∠ BOG+∠ B'OG=180°-80°=100°$。
又因为$∠ BOG=∠ B'OG$，所以$∠ B'OG=100°÷2=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角度计算
【点评】
本题结合传统折纸艺术考查几何图形的基础运算，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征建立角度的等量关系，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得$∠ BOG=∠ B'OG$；其次AB为直线，根据平角的定义，平角为$180°$，即$∠ AOB'+∠ BOG+∠ B'OG=180°$，已知$∠ AOB'$的度数，将等量关系代入即可计算出$∠ B'OG$的度数。
【解析】
根据折叠的性质可知，折叠后对应角相等，因此$∠ BOG=∠ B'OG$。
因为AB是直线，由平角的定义可得：$∠ AOB'+∠ BOG+∠ B'OG=180°$。
已知$∠ AOB'=80°$，代入得：
$∠ BOG+∠ B'OG=180°-80°=100°$。
又因为$∠ BOG=∠ B'OG$，所以$∠ B'OG=100°÷2=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角度计算
【点评】
本题结合传统折纸艺术考查几何图形的基础运算，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征建立角度的等量关系，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
