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1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是(
A.$ m(a + b) = ma + mb $
B.$ a^2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 $
C.$ -4a^2 + 9b^2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) $
D.$ x + 2 = x(1 + \frac{2}{x}) $
C
)。A.$ m(a + b) = ma + mb $
B.$ a^2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 $
C.$ -4a^2 + 9b^2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) $
D.$ x + 2 = x(1 + \frac{2}{x}) $
答案
1.C
解析
【分析】
要判断式子的变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，需满足三个判定要点：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式的积的形式；③变形前后等式左右两边相等。解题时只需逐个对照上述要点分析选项即可。
【解析】
结合因式分解的定义逐一判断选项：
A选项：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的要求，故A错误；
B选项：右边的结果是$a(a-1)-2$，仍然含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合要求，故B错误；
C选项：左边是多项式$-4a^2+9b^2$，右边是两个整式$(-2a+3b)$和$(2a+3b)$的乘积，且展开右边可得$(-2a+3b)(2a+3b)=9b^2-4a^2$，与左边相等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：右边的因式$1+\frac{2}{x}$中$\frac{2}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解要求的因式必须为整式的规定，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是紧扣因式分解的三个判定要点，尤其需要注意变形后的因式必须是整式，不能含有分式，也不能保留加减运算的形式，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要判断式子的变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，需满足三个判定要点：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式的积的形式；③变形前后等式左右两边相等。解题时只需逐个对照上述要点分析选项即可。
【解析】
结合因式分解的定义逐一判断选项：
A选项：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的要求，故A错误；
B选项：右边的结果是$a(a-1)-2$，仍然含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合要求，故B错误；
C选项：左边是多项式$-4a^2+9b^2$，右边是两个整式$(-2a+3b)$和$(2a+3b)$的乘积，且展开右边可得$(-2a+3b)(2a+3b)=9b^2-4a^2$，与左边相等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：右边的因式$1+\frac{2}{x}$中$\frac{2}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解要求的因式必须为整式的规定，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是紧扣因式分解的三个判定要点，尤其需要注意变形后的因式必须是整式，不能含有分式，也不能保留加减运算的形式，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 关于x的分式方程$\frac{x - 3}{x - 1} = \frac{m}{x - 1}$有增根，则m的值是(
A.-2
B.3
C.-3
D.2
A
∧
A
)。A.-2
B.3
C.-3
D.2
A
∧
答案
2.A
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步，根据原分式方程的分母为0，确定增根的取值；第二步，将分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
∵ 分式方程有增根，
∴ 最简公分母为0，即$x-1=0$，解得$x=1$。
原方程两边同时乘$(x-1)$去分母，得：
$x - 3 = m$
将增根$x=1$代入上式，得：
$m = 1 - 3 = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根相关的基础题型，核心考查增根的两个性质，解题时只要牢牢抓住“增根使分母为0、增根满足去分母后的整式方程”这两个要点，就能快速求解，是分式方程章节的常考题目。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步，根据原分式方程的分母为0，确定增根的取值；第二步，将分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
∵ 分式方程有增根，
∴ 最简公分母为0，即$x-1=0$，解得$x=1$。
原方程两边同时乘$(x-1)$去分母，得：
$x - 3 = m$
将增根$x=1$代入上式，得：
$m = 1 - 3 = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根相关的基础题型，核心考查增根的两个性质，解题时只要牢牢抓住“增根使分母为0、增根满足去分母后的整式方程”这两个要点，就能快速求解，是分式方程章节的常考题目。
【难度系数】
0.7
3.如右图，△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC等于(
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
)。A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形的已知条件计算出底角∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
第一步：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，已知顶角∠A的度数，可利用三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABC的度数；
第二步：EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，进而得到∠ABD=∠A；
第三步：∠DBC是∠ABC与∠ABD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，
∵ EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴ $∠ ABD=∠ A=50°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的性质，通过角度的和差关系求解未知角，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合等腰三角形的已知条件计算出底角∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
第一步：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，已知顶角∠A的度数，可利用三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABC的度数；
第二步：EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，进而得到∠ABD=∠A；
第三步：∠DBC是∠ABC与∠ABD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=50°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，
∵ EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴ $∠ ABD=∠ A=50°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的性质，通过角度的和差关系求解未知角，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
4.如右图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,下列结论:
① $∠ OBE = \frac{1}{2}∠ ADO$;② $EG = EF$;③ $GF$平分$∠ AGE$;④ $EF ⊥ GE$。其中正确的是(
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
① $∠ OBE = \frac{1}{2}∠ ADO$;② $EG = EF$;③ $GF$平分$∠ AGE$;④ $EF ⊥ GE$。其中正确的是(
B
)。A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
答案
4.B
解析
【分析】
这是平行四边形背景下的多结论判断题，解题时需结合平行四边形性质、等腰三角形性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质逐个验证结论：①先由BD=2AD推导等腰△OBC，结合三线合一得角平分线，再通过平行线内错角相等推导角的数量关系；②利用中位线定理得EF和CD的关系，结合直角三角形斜边中线性质得EG和AB的关系，再通过平行四边形对边相等判断边相等；③由平行线性质和等腰三角形等边对等角推导角相等，判断角平分线；④无特殊平行四边形条件时，无法推导垂直关系，可直接排除。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，即BD=2OB。
1. 验证结论①：
已知BD=2AD，
∴OB=BC，即△OBC是等腰三角形。
∵E是OC中点，根据等腰三角形三线合一，得BE⊥AC，且BE平分∠OBC，即$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ OBC$。
∵AD//BC，
∴$∠ ADO=∠ OBC$，代入得$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ ADO$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF是△OCD的中位线，根据中位线性质得$EF=\frac{1}{2}CD$，且EF//CD。
∵BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形，G是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EG=\frac{1}{2}AB$。
∵平行四边形中AB=CD，
∴EG=EF，故②正确。
3. 验证结论③：
∵CD//AB，EF//CD，
∴EF//AB，
∴$∠ EFG=∠ AGF$。
∵EG=EF，
∴$∠ EFG=∠ EGF$，等量代换得$∠ EGF=∠ AGF$，即GF平分$∠ AGE$，故③正确。
4. 验证结论④：
题中仅给出一般平行四边形的条件，无特殊角度限制，无法推导$∠ GEF=90°$，故④错误。
综上，正确结论为①②③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查多个核心几何知识点，属于常见的四边形综合题型，解题关键是熟练掌握各类几何图形的性质，逐个推导结论，注意不要默认特殊平行四边形的额外条件，避免误判结论④。
【难度系数】
0.6
这是平行四边形背景下的多结论判断题，解题时需结合平行四边形性质、等腰三角形性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质逐个验证结论：①先由BD=2AD推导等腰△OBC，结合三线合一得角平分线，再通过平行线内错角相等推导角的数量关系；②利用中位线定理得EF和CD的关系，结合直角三角形斜边中线性质得EG和AB的关系，再通过平行四边形对边相等判断边相等；③由平行线性质和等腰三角形等边对等角推导角相等，判断角平分线；④无特殊平行四边形条件时，无法推导垂直关系，可直接排除。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，即BD=2OB。
1. 验证结论①：
已知BD=2AD，
∴OB=BC，即△OBC是等腰三角形。
∵E是OC中点，根据等腰三角形三线合一，得BE⊥AC，且BE平分∠OBC，即$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ OBC$。
∵AD//BC，
∴$∠ ADO=∠ OBC$，代入得$∠ OBE=\frac{1}{2}∠ ADO$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF是△OCD的中位线，根据中位线性质得$EF=\frac{1}{2}CD$，且EF//CD。
∵BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形，G是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EG=\frac{1}{2}AB$。
∵平行四边形中AB=CD，
∴EG=EF，故②正确。
3. 验证结论③：
∵CD//AB，EF//CD，
∴EF//AB，
∴$∠ EFG=∠ AGF$。
∵EG=EF，
∴$∠ EFG=∠ EGF$，等量代换得$∠ EGF=∠ AGF$，即GF平分$∠ AGE$，故③正确。
4. 验证结论④：
题中仅给出一般平行四边形的条件，无特殊角度限制，无法推导$∠ GEF=90°$，故④错误。
综上，正确结论为①②③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查多个核心几何知识点，属于常见的四边形综合题型，解题关键是熟练掌握各类几何图形的性质，逐个推导结论，注意不要默认特殊平行四边形的额外条件，避免误判结论④。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则它的边数为
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则它的边数为
6或六
。答案
1.6或六
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形的基本性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目给出的“内角和是外角和的2倍”，先计算出该多边形的内角和；再利用多边形内角和公式，设边数为n列方程，求解即可得到边数。
【解析】
首先，任意多边形的外角和恒为$360°$，根据题意可得该多边形的内角和为：
$2×360°=720°$
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，列方程：
$(n-2)×180°=720°$
解方程：
$n-2=720°÷180°=4$
$n=4+2=6$
【答案】
6或六
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是牢记多边形外角和为固定值、熟练掌握内角和公式，代入计算即可得到结果，易错点是记错内角和公式的表达形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形的基本性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目给出的“内角和是外角和的2倍”，先计算出该多边形的内角和；再利用多边形内角和公式，设边数为n列方程，求解即可得到边数。
【解析】
首先，任意多边形的外角和恒为$360°$，根据题意可得该多边形的内角和为：
$2×360°=720°$
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，列方程：
$(n-2)×180°=720°$
解方程：
$n-2=720°÷180°=4$
$n=4+2=6$
【答案】
6或六
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是牢记多边形外角和为固定值、熟练掌握内角和公式，代入计算即可得到结果，易错点是记错内角和公式的表达形式。
【难度系数】
0.8
2. 如右图，一次函数 $ y_1 = ax - 9(a ≠ 0) $ 与 $ y_2 = bx - 3(b ≠ 0) $ 的图象交于点 $ P $，与 $ y $ 轴分别交于点 $ A $、$ B $，若 $ S_{△ ABP} = 12 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ bx + 6 ＞ ax $ 的解集是
$ bx + 6 ＞ ax $ 的解集是 $x ＜ 4$
。答案
2.$x ＜ 4$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先根据一次函数表达式求出与y轴交点A、B的坐标，算出线段AB的长度；第二步，结合△ABP的面积公式，求出两个函数交点P的横坐标；第三步，把待解的不等式变形为两个一次函数值比较大小的形式，结合两个函数的增减性和交点坐标，利用数形结合思想即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于$y_1 = ax - 9$，令$x=0$，得$y=-9$，故A点坐标为$(0,-9)$；
对于$y_2 = bx - 3$，令$x=0$，得$y=-3$，故B点坐标为$(0,-3)$。
2. 计算AB的长度：
$AB = \vert -3 - (-9) \vert = 6$。
3. 求交点P的横坐标：
设点P的横坐标为$m$，因为AB在y轴上，△ABP的高就是点P到y轴的距离$\vert m \vert$，由图可知P在y轴右侧，故$m＞0$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × m$，代入$S_{△ ABP}=12$、$AB=6$得：
$\frac{1}{2} × 6 × m = 12$，解得$m=4$，即交点P的横坐标为4。
4. 求解不等式：
将不等式$bx + 6 ＞ ax$移项变形，得$bx - 3 ＞ ax - 9$，即$y_2 ＞ y_1$。
由图像可知：$y_1$是递增的一次函数，$y_2$是递减的一次函数，两者交点的横坐标为4，因此当$x＜4$时，$y_2$的图象在$y_1$上方，满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$x＜4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数的综合应用类题目，核心是利用三角形面积求出交点横坐标，再通过数形结合思想将不等式转化为函数图象的位置关系判断，不需要求出函数的具体解析式即可快速解题，能很好地考查学生对函数与不等式关系的掌握程度。
【难度系数】
0.6
解题时可按三步思考：第一步，先根据一次函数表达式求出与y轴交点A、B的坐标，算出线段AB的长度；第二步，结合△ABP的面积公式，求出两个函数交点P的横坐标；第三步，把待解的不等式变形为两个一次函数值比较大小的形式，结合两个函数的增减性和交点坐标，利用数形结合思想即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于$y_1 = ax - 9$，令$x=0$，得$y=-9$，故A点坐标为$(0,-9)$；
对于$y_2 = bx - 3$，令$x=0$，得$y=-3$，故B点坐标为$(0,-3)$。
2. 计算AB的长度：
$AB = \vert -3 - (-9) \vert = 6$。
3. 求交点P的横坐标：
设点P的横坐标为$m$，因为AB在y轴上，△ABP的高就是点P到y轴的距离$\vert m \vert$，由图可知P在y轴右侧，故$m＞0$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × m$，代入$S_{△ ABP}=12$、$AB=6$得：
$\frac{1}{2} × 6 × m = 12$，解得$m=4$，即交点P的横坐标为4。
4. 求解不等式：
将不等式$bx + 6 ＞ ax$移项变形，得$bx - 3 ＞ ax - 9$，即$y_2 ＞ y_1$。
由图像可知：$y_1$是递增的一次函数，$y_2$是递减的一次函数，两者交点的横坐标为4，因此当$x＜4$时，$y_2$的图象在$y_1$上方，满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$x＜4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数的综合应用类题目，核心是利用三角形面积求出交点横坐标，再通过数形结合思想将不等式转化为函数图象的位置关系判断，不需要求出函数的具体解析式即可快速解题，能很好地考查学生对函数与不等式关系的掌握程度。
【难度系数】
0.6
