三、综合实践活动
实践发现:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展开;连接AN。
(1)如图1,直线BM (填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线;请判断图中△ABN是什么特殊三角形?答:。进一步计算出∠MNE = 。
(2)如图2,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸片展开,连接AA'交ST于点O,连接AT。求证:四边形 SA-TA'是菱形。
(3)如图3,矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交AB边于点T,交AD边于点S,把纸片展平。同学们经过小组讨论后,得出线段AT的长度有4,5,7,9。请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值。

(1)是 等边三角形 $60°$；
(2)四边形 $SATA'$是菱形。
(3)7,9。

【分析】
(1) 根据折叠的对称性，折痕是对应点连线的垂直平分线，可判断BM与AN的关系；EF是AD、BC对折的折痕，因此EF是AB的垂直平分线，可得AN=BN，结合折叠后AB=BN，可推出△ABN三边相等，即为等边三角形；再结合等边三角形内角性质、折叠后对应角相等，即可求出∠MNE的度数。
(2) 要证四边形SATA'是菱形，先由折叠性质得AA'被ST垂直平分，再结合矩形对边平行的性质，证明△ASO和△A'TO全等，可得ST也被AA'平分，即对角线互相垂直平分，即可判定为菱形。
(3) 设AT=x，由折叠性质得A'T=x，BT=10-x，在Rt△A'BT中根据斜边大于直角边得x＞5，再结合T在AB边上，AT长度不超过AB长10，即可确定AT的取值范围，筛选出符合条件的数值。
【解析】
(1) ①由折叠的性质可知，点A和点N关于折痕BM对称，因此BM是线段AN的垂直平分线，填“是”；
②
∵EF是AD与BC对折得到的折痕，
∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，又由折叠可得AB=BN，
∴AB=AN=BN，即△ABN是等边三角形；
③
∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，在Rt△BEN中，∠BNE=90°-60°=30°，由折叠可知∠BNM=∠A=90°，
∴∠MNE=90°-30°=60°。
(2) 证明：由折叠的性质可得，点A与点A'关于折痕ST对称，因此ST垂直平分AA'，即AO=A'O，AA'⊥ST。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠ASO=∠A'TO。
在△ASO和△A'TO中：
$\{\begin{array}{l}∠ ASO=∠ A'TO\\ ∠ AOS=∠ A'OT\\ AO=A'O\end{array} $
∴△ASO≌△A'TO（AAS），
∴SO=TO。
∴四边形SATA'的对角线互相垂直平分，因此四边形SATA'是菱形。
(3) 设AT的长度为x，由折叠性质可得A'T=AT=x，
∵AB=10，
∴BT=10-x。
∵点A'在BC边上，∠B=90°，
∴Rt△A'BT中，A'T＞BT（直角三角形斜边大于直角边），即$x＞10-x$，解得$x＞5$。
又
∵点T在AB边上，
∴AT≤AB=10，即$x≤10$，因此AT的取值范围是$5＜x≤10$。
给出的4个数值中，符合范围的是7、9。
【答案】
(1) 是；等边三角形；$60°$
(2) 四边形$SATA'$是菱形，证明见解析。
(3) 7,9
【知识点】
折叠的性质；菱形的判定；勾股定理应用
【点评】
本题以矩形折叠为载体，综合考查了轴对称的性质、特殊三角形判定、菱形证明及参数范围求解，核心是抓住折叠前后图形的对称性解题，第三问需要结合几何图形的隐含限制条件分析，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6