3.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ≥ 0, \\ 3 - 2x ＞ -1\end{cases}$的整数解有5个，则$a$的取值范围是 ______ 。

3.$-4 ＜ a ≤ -3$

【分析】
解决本题的思路是：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集；再根据“整数解有5个”的条件，列出所有符合条件的整数解；最后结合解集的形式，反推参数a的取值范围，推导时要单独验证端点值是否符合要求，避免出现多解或漏解的问题。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x - a ≥ 0$，移项得：$x ≥ a$；
2. 解不等式$3 - 2x ＞ -1$，移项得$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ 2$；
因此不等式组的解集为$a ≤ x ＜ 2$。
已知不等式组的整数解有5个，小于2的整数从大到小依次为1、0、-1、-2、-3，共5个，因此：
若$a ≤ -4$，则整数解会包含-4，总个数超过5个，不符合要求，故$a ＞ -4$；
若$a ＞ -3$，则整数解不包含-3，总个数少于5个，不符合要求，故$a ≤ -3$；
综上可得$a$的取值范围是$-4 ＜ a ≤ -3$。
【答案】
$-4 ＜ a ≤ -3$
【知识点】
解一元一次不等式；解一元一次不等式组；不等式组的整数解
【点评】
本题是含参数不等式组整数解的典型题型，核心解题逻辑是先确定不含参数的解集边界，再根据整数解的个数限制反向推导参数范围，易错点是端点值的取舍，需要单独验证端点是否符合题意，避免出错。
【难度系数】
0.6

1.解分式方程：$\frac{1}{x - 2} = \frac{3 - x}{2 - x} - 3$；

1.$x = 1$

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后检验根的有效性。首先观察方程的分母，发现$2-x=-(x-2)$，因此最简公分母为$x-2$；第二步给方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项-3，把分式方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程得到未知数的值；最后将求得的根代入最简公分母检验，若公分母不为0则是原方程的根，若为0则是增根，要舍去。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$1 = -(3-x) - 3(x-2)$
去括号，得：
$1 = -3 + x - 3x + 6$
合并同类项，得：
$1 = 3 - 2x$
移项，得：
$2x = 3 - 1$
$2x = 2$
系数化为1，得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
$x=1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的常规基础题，易错点为去分母时漏乘常数项、忘记检验根的有效性，解题时注意分母互为相反数的变形技巧，养成解完分式方程验根的习惯即可正确求解。
【难度系数】
0.8

2. 如右图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC = 20°，∠PCB = 30°，求∠PAB的度数。

2.$∠PAB = 40°$

【分析】
解题时首先明确点P是三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质可推出PA=PB=PC，进而得到三个等腰三角形，对应底角相等。再结合已知角的度数，将△ABC的三个内角用含待求角的式子表示，最后利用三角形内角和定理列等式求解即可。
【解析】
解：
∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点
∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB=PC
∴△PAB、△PAC、△PBC均为等腰三角形，对应底角相等，即：
∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°
设∠PAB = x，则∠PBA = x
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
其中∠BAC = ∠PAB + ∠PAC = x + 20°
∠ABC = ∠PBA + ∠PBC = x + 30°
∠ACB = ∠PCA + ∠PCB = 20° + 30° = 50°
代入等式得：
$(x + 20°) + (x + 30°) + 50° = 180°$
化简得$2x + 100° = 180°$
解得$x=40°$
【答案】
$∠ PAB=40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成等边到等角的转化，再结合三角形内角和定理建立等式求解，考查学生对基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

四、综合实践活动
为解决中小学大班额问题,某县计划对A,B两类学校进行改扩建,根据预算,改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7 800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5 400万元。
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元?
(2)该县计划改扩建A,B两类学校共10所,改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担,若国家财政拨付资金不超过11 800万元,地方财政投入资金不少于4 000万元,其中地方财政投入A,B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元,共有哪几种改扩建方案?

(1)1 200万元、1 800万元。
(2)共有3种方案。方案一:改扩建A类学校3所,B类学校7所。方案二:改扩建A类学校4所,B类学校6所。方案三:改扩建A类学校5所,B类学校5所。

【分析】
(1) 本题属于二元一次方程组的应用问题，解题关键是找准两个等量关系：①改扩建2所A类学校资金+3所B类学校资金=7800万元；②改扩建3所A类学校资金+1所B类学校资金=5400万元，设未知数列方程组求解即可。
(2) 本题属于不等式组的方案设计问题，先设改扩建A类学校a所，可得B类学校为(10-a)所，再找准两个不等关系：①国家财政拨付总资金≤11800万元（国家财政给每所A类的资金为改扩建1所A类总资金减地方投入的300万元，B类同理）；②地方财政总投入≥4000万元，列不等式组求解，取整数解即可得到所有改扩建方案。
【解析】
(1) 设改扩建1所A类学校所需资金为$x$万元，改扩建1所B类学校所需资金为$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=7800\\3x+y=5400\end{cases}$
将第二个方程两边同乘3，得$9x+3y=16200$，用该式减去第一个方程：
$9x+3y-(2x+3y)=16200-7800$
$7x=8400$，解得$x=1200$
把$x=1200$代入$3x+y=5400$，得$3×1200+y=5400$，解得$y=1800$。
(2) 设改扩建A类学校$a$所，则改扩建B类学校$(10-a)$所。
国家财政对每所A类学校投入为$1200-300=900$万元，对每所B类学校投入为$1800-500=1300$万元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}900a+1300(10-a)≤11800\\300a+500(10-a)≥4000\end{cases}$
解第一个不等式：
$900a+13000-1300a≤11800$
$-400a≤-1200$
$a≥3$
解第二个不等式：
$300a+5000-500a≥4000$
$-200a≥-1000$
$a≤5$
所以不等式组的解集为$3≤ a≤5$，因为$a$为正整数，所以$a$可取3、4、5。
对应方案如下：
当$a=3$时，$10-a=7$，即改扩建A类学校3所，B类学校7所；
当$a=4$时，$10-a=6$，即改扩建A类学校4所，B类学校6所；
当$a=5$时，$10-a=5$，即改扩建A类学校5所，B类学校5所。
【答案】
(1)改扩建1所A类学校需资金1200万元，1所B类学校需资金1800万元。
(2)共有3种改扩建方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题结合实际生活中的改扩建问题，综合考查了方程与不等式的应用，解题的核心是准确梳理题中的等量和不等关系，求解不等式组后需结合实际意义取整数解，能够有效提升学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7