登录
六、一个最简分数,如果它的分子加上一个数,那么这个分数就等于$\frac{4}{7}$,如果它的分子减去同一个数,那么这个分数就等于$\frac{5}{14}$。原来的最简分数是多少？
答案
$\frac{13}{28}$
解析
【分析】
解题时我们首先观察题目特点：两次变化中，仅对原分数的分子加减同一个数，分母始终没有改变。将得到的两个新分数相加时，分子上加的数和减的数会相互抵消，得到的和恰好是原来最简分数的2倍。所以我们只需要先把两个新分数通分为同分母分数，计算出它们的和，再除以2就能求出原来的最简分数。
【解析】
1. 先将$\frac{4}{7}$通分，化为和$\frac{5}{14}$分母相同的分数：
$\frac{4}{7}=\frac{4×2}{7×2}=\frac{8}{14}$
2. 计算两个新分数的和：
$\frac{8}{14}+\frac{5}{14}=\frac{13}{14}$
3. 因为这个和是原分数的2倍，所以原分数为：
$\frac{13}{14}÷2=\frac{13}{14×2}=\frac{13}{28}$
4. 验证：13和28只有公因数1，$\frac{13}{28}$是最简分数，符合题意。
【答案】
$\frac{13}{28}$
【知识点】
通分、分数加减法、最简分数
【点评】
本题重点考查分数性质的灵活运用，解题的核心是发现两次变化后两个新分数的和等于原分数的2倍，熟练掌握通分和分数加减运算即可快速解答。
【难度系数】
0.6
解题时我们首先观察题目特点：两次变化中，仅对原分数的分子加减同一个数，分母始终没有改变。将得到的两个新分数相加时，分子上加的数和减的数会相互抵消，得到的和恰好是原来最简分数的2倍。所以我们只需要先把两个新分数通分为同分母分数，计算出它们的和，再除以2就能求出原来的最简分数。
【解析】
1. 先将$\frac{4}{7}$通分，化为和$\frac{5}{14}$分母相同的分数：
$\frac{4}{7}=\frac{4×2}{7×2}=\frac{8}{14}$
2. 计算两个新分数的和：
$\frac{8}{14}+\frac{5}{14}=\frac{13}{14}$
3. 因为这个和是原分数的2倍，所以原分数为：
$\frac{13}{14}÷2=\frac{13}{14×2}=\frac{13}{28}$
4. 验证：13和28只有公因数1，$\frac{13}{28}$是最简分数，符合题意。
【答案】
$\frac{13}{28}$
【知识点】
通分、分数加减法、最简分数
【点评】
本题重点考查分数性质的灵活运用，解题的核心是发现两次变化后两个新分数的和等于原分数的2倍，熟练掌握通分和分数加减运算即可快速解答。
【难度系数】
0.6
七、在樱花大道的一边栽一行小树,从第一棵到最后一棵的距离是90 m,原来每2 m栽一棵树,现在小树长大了,改为每5 m栽一棵树。如果两端不移动,中间有几棵树不用移动?
答案
8棵
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确不用移动的树的位置特点：它到第一棵树的距离必须同时是2和5的倍数，也就是2和5的公倍数，距离最小的就是它们的最小公倍数。接下来我们先算出2和5的最小公倍数，再用总长度除以最小公倍数得到有多少个这样的间隔，再结合两端的树固定不动的条件，减去两端的2棵，就能得到中间不用移动的树的数量。
【解析】
1. 求2和5的最小公倍数：
因为2和5是互质数，所以它们的最小公倍数是 $2×5=10$，即每隔10米的树不需要移动。
2. 计算90米内共有多少个10米的间隔：
$90÷10=9$（个）
3. 计算总共不需要移动的树的棵数（包含两端）：
植树问题中，两端都栽时，棵数=间隔数+1，所以总共有 $9+1=10$（棵）不用移动的树。
4. 计算中间不用移动的棵数：
题目要求两端不移动，所以减去两端的2棵，$10-2=8$（棵）
【答案】
8棵
【知识点】
最小公倍数的应用、植树问题
【点评】
这道题将公倍数的应用和植树问题结合起来，解题的核心是先判断出不用移动的树的位置是两个间隔距离的公倍数，再结合植树问题中棵数和间隔数的关系计算，需要注意区分总棵数和中间棵数，避免忘记减去两端的固定树木。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确不用移动的树的位置特点：它到第一棵树的距离必须同时是2和5的倍数，也就是2和5的公倍数，距离最小的就是它们的最小公倍数。接下来我们先算出2和5的最小公倍数，再用总长度除以最小公倍数得到有多少个这样的间隔，再结合两端的树固定不动的条件，减去两端的2棵，就能得到中间不用移动的树的数量。
【解析】
1. 求2和5的最小公倍数：
因为2和5是互质数，所以它们的最小公倍数是 $2×5=10$，即每隔10米的树不需要移动。
2. 计算90米内共有多少个10米的间隔：
$90÷10=9$（个）
3. 计算总共不需要移动的树的棵数（包含两端）：
植树问题中，两端都栽时，棵数=间隔数+1，所以总共有 $9+1=10$（棵）不用移动的树。
4. 计算中间不用移动的棵数：
题目要求两端不移动，所以减去两端的2棵，$10-2=8$（棵）
【答案】
8棵
【知识点】
最小公倍数的应用、植树问题
【点评】
这道题将公倍数的应用和植树问题结合起来，解题的核心是先判断出不用移动的树的位置是两个间隔距离的公倍数，再结合植树问题中棵数和间隔数的关系计算，需要注意区分总棵数和中间棵数，避免忘记减去两端的固定树木。
【难度系数】
0.7
一天,物理学家阿尔·海坦不小心将一位大嫂卖的一筐鸡蛋打碎了,
这位大嫂告诉他说:“鸡蛋太多,我数了6遍也没有数清,只知道数量在
300个到350个之间,且按每次2个、3个、4个、5个、6个去数,都余1个,
只有按每次7个去数,才能正好数完。”聪明的小朋友,你知道这筐鸡蛋有
多少个吗?
这位大嫂告诉他说:“鸡蛋太多,我数了6遍也没有数清,只知道数量在
300个到350个之间,且按每次2个、3个、4个、5个、6个去数,都余1个,
只有按每次7个去数,才能正好数完。”聪明的小朋友,你知道这筐鸡蛋有
多少个吗?
答案
301个
解析
【分析】
解题时首先要理解余数的含义：按2、3、4、5、6数都余1，说明鸡蛋总数减去1之后，能同时被2、3、4、5、6整除，也就是总数减1是这五个数的公倍数。我们可以先求出这几个数的最小公倍数，再结合鸡蛋数量在300~350的范围，找出符合的公倍数，加1得到候选数，最后验证候选数是否能被7整除即可。
【解析】
1. 求2、3、4、5、6的最小公倍数：
通过列举法或分解质因数法可得，2、3、4、5、6的最小公倍数是60。
2. 确定鸡蛋总数的形式：
因为总数除以2、3、4、5、6都余1，所以鸡蛋总数=60×整数 + 1。
3. 结合范围筛选候选数：
鸡蛋数在300~350之间，计算得：
60×5=300，300+1=301；
60×6=360，360+1=361，361＞350，不符合范围，所以候选数只有301。
4. 验证是否能被7整除：
301÷7=43，刚好整除，符合条件。
【答案】
301个
【知识点】
公倍数应用；最小公倍数计算；整除判定
【点评】
这道题结合生活实际场景，考察公倍数的灵活应用，需要先将余数条件转化为公倍数问题，再结合数值范围筛选，最后验证即可，解题时要注意范围限制，避免多算漏算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解余数的含义：按2、3、4、5、6数都余1，说明鸡蛋总数减去1之后，能同时被2、3、4、5、6整除，也就是总数减1是这五个数的公倍数。我们可以先求出这几个数的最小公倍数，再结合鸡蛋数量在300~350的范围，找出符合的公倍数，加1得到候选数，最后验证候选数是否能被7整除即可。
【解析】
1. 求2、3、4、5、6的最小公倍数：
通过列举法或分解质因数法可得，2、3、4、5、6的最小公倍数是60。
2. 确定鸡蛋总数的形式：
因为总数除以2、3、4、5、6都余1，所以鸡蛋总数=60×整数 + 1。
3. 结合范围筛选候选数：
鸡蛋数在300~350之间，计算得：
60×5=300，300+1=301；
60×6=360，360+1=361，361＞350，不符合范围，所以候选数只有301。
4. 验证是否能被7整除：
301÷7=43，刚好整除，符合条件。
【答案】
301个
【知识点】
公倍数应用；最小公倍数计算；整除判定
【点评】
这道题结合生活实际场景，考察公倍数的灵活应用，需要先将余数条件转化为公倍数问题，再结合数值范围筛选，最后验证即可，解题时要注意范围限制，避免多算漏算。
【难度系数】
0.7
