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一、先在括号里填上各组数的最小公倍数，再回答问题。
3和7(
2和6(
我发现:当两个数的公因数只有1时,它们的最小公倍数是(
3和7(
21
) 5和8(40
) 11和13(143
) 8和15(120
)2和6(
6
) 8和56(56
) 15和45(45
) 21和42(42
)我发现:当两个数的公因数只有1时,它们的最小公倍数是(
它们的乘积
);当较大数是较小数的倍数时,这两个数的最小公倍数是(较大数
)。答案
21 40 143 120 6 56 45 42
它们的乘积 较大数
它们的乘积 较大数
解析
【分析】
解题时先观察每组两个数的关系，可分为两类：一类是两个数的公因数只有1（互质关系），另一类是较大数是较小数的倍数（倍数关系）。对于互质的两个数，最小公倍数就是两数的乘积；对于存在倍数关系的两个数，最小公倍数就是较大的那个数。计算完所有组的最小公倍数后，对比两类数的计算结果就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 计算第一行互质关系的数的最小公倍数：
3和7公因数只有1，最小公倍数=3×7=21
5和8公因数只有1，最小公倍数=5×8=40
11和13公因数只有1，最小公倍数=11×13=143
8和15公因数只有1，最小公倍数=8×15=120
2. 计算第二行倍数关系的数的最小公倍数：
6是2的倍数，所以2和6的最小公倍数是6
56是8的倍数，所以8和56的最小公倍数是56
45是15的倍数，所以15和45的最小公倍数是45
42是21的倍数，所以21和42的最小公倍数是42
3. 总结规律：
对比两组计算结果可得，当两个数的公因数只有1时，它们的最小公倍数是它们的乘积；当较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。
【答案】
21 40 143 120 6 56 45 42
它们的乘积 较大数
【知识点】
最小公倍数求法；互质数特征；倍数关系性质
【点评】
本题考察两类特殊关系数的最小公倍数计算规律，熟练掌握这两类规律可以大幅提高最小公倍数的计算效率，是后续学习通分、分数四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
解题时先观察每组两个数的关系，可分为两类：一类是两个数的公因数只有1（互质关系），另一类是较大数是较小数的倍数（倍数关系）。对于互质的两个数，最小公倍数就是两数的乘积；对于存在倍数关系的两个数，最小公倍数就是较大的那个数。计算完所有组的最小公倍数后，对比两类数的计算结果就能总结出对应的规律。
【解析】
1. 计算第一行互质关系的数的最小公倍数：
3和7公因数只有1，最小公倍数=3×7=21
5和8公因数只有1，最小公倍数=5×8=40
11和13公因数只有1，最小公倍数=11×13=143
8和15公因数只有1，最小公倍数=8×15=120
2. 计算第二行倍数关系的数的最小公倍数：
6是2的倍数，所以2和6的最小公倍数是6
56是8的倍数，所以8和56的最小公倍数是56
45是15的倍数，所以15和45的最小公倍数是45
42是21的倍数，所以21和42的最小公倍数是42
3. 总结规律：
对比两组计算结果可得，当两个数的公因数只有1时，它们的最小公倍数是它们的乘积；当较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。
【答案】
21 40 143 120 6 56 45 42
它们的乘积 较大数
【知识点】
最小公倍数求法；互质数特征；倍数关系性质
【点评】
本题考察两类特殊关系数的最小公倍数计算规律，熟练掌握这两类规律可以大幅提高最小公倍数的计算效率，是后续学习通分、分数四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
二、把下面每组中的两个分数通分。
1. $\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$ $\frac{2}{3}=\frac{2×(\quad)}{3×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{3}{4}=\frac{3×(\quad)}{4×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$
2. $\frac{5}{9}$和$\frac{7}{12}$ $\frac{5}{9}=\frac{5×(\quad)}{9×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{7}{12}=\frac{7×(\quad)}{12×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$
1. $\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$ $\frac{2}{3}=\frac{2×(\quad)}{3×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{3}{4}=\frac{3×(\quad)}{4×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$
2. $\frac{5}{9}$和$\frac{7}{12}$ $\frac{5}{9}=\frac{5×(\quad)}{9×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{7}{12}=\frac{7×(\quad)}{12×(\quad)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}$
答案
1.4 4 $\frac{8}{12}$ 3 3 $\frac{9}{12}$
2.4 4 $\frac{20}{36}$ 3 3 $\frac{21}{36}$
2.4 4 $\frac{20}{36}$ 3 3 $\frac{21}{36}$
解析
【分析】
通分的核心是先找到两个分数分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质（分子分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变），将两个分数转化为分母相同的分数。
解第一组时，先看分母3和4，二者互质，最小公倍数是3×4=12，所以把两个分数的分母都转化为12即可；解第二组时，先找分母9和12的最小公倍数，通过列举倍数可知最小公倍数是36，再把两个分数的分母都转化为36即可。
【解析】
1. 求3和4的最小公倍数：3和4互质，最小公倍数为$3×4=12$。
根据分数的基本性质：
$\frac{2}{3}$的分母要变为12，需要乘4，因此分子也乘4，即$\frac{2}{3}=\frac{2×4}{3×4}=\frac{8}{12}$；
$\frac{3}{4}$的分母要变为12，需要乘3，因此分子也乘3，即$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$。
2. 求9和12的最小公倍数：9的倍数有9、18、27、36……，12的倍数有12、24、36……，最小公倍数为36。
根据分数的基本性质：
$\frac{5}{9}$的分母要变为36，需要乘4，因此分子也乘4，即$\frac{5}{9}=\frac{5×4}{9×4}=\frac{20}{36}$；
$\frac{7}{12}$的分母要变为36，需要乘3，因此分子也乘3，即$\frac{7}{12}=\frac{7×3}{12×3}=\frac{21}{36}$。
【答案】
1. 4；4；$\frac{8}{12}$；3；3；$\frac{9}{12}$
2. 4；4；$\frac{20}{36}$；3；3；$\frac{21}{36}$
【知识点】
分数的基本性质；最小公倍数；通分方法
【点评】
本题是通分的基础练习题，解题关键是准确找到两个分母的最小公倍数，再灵活运用分数的基本性质完成变形，熟练掌握通分步骤后可快速求解。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先找到两个分数分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质（分子分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变），将两个分数转化为分母相同的分数。
解第一组时，先看分母3和4，二者互质，最小公倍数是3×4=12，所以把两个分数的分母都转化为12即可；解第二组时，先找分母9和12的最小公倍数，通过列举倍数可知最小公倍数是36，再把两个分数的分母都转化为36即可。
【解析】
1. 求3和4的最小公倍数：3和4互质，最小公倍数为$3×4=12$。
根据分数的基本性质：
$\frac{2}{3}$的分母要变为12，需要乘4，因此分子也乘4，即$\frac{2}{3}=\frac{2×4}{3×4}=\frac{8}{12}$；
$\frac{3}{4}$的分母要变为12，需要乘3，因此分子也乘3，即$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$。
2. 求9和12的最小公倍数：9的倍数有9、18、27、36……，12的倍数有12、24、36……，最小公倍数为36。
根据分数的基本性质：
$\frac{5}{9}$的分母要变为36，需要乘4，因此分子也乘4，即$\frac{5}{9}=\frac{5×4}{9×4}=\frac{20}{36}$；
$\frac{7}{12}$的分母要变为36，需要乘3，因此分子也乘3，即$\frac{7}{12}=\frac{7×3}{12×3}=\frac{21}{36}$。
【答案】
1. 4；4；$\frac{8}{12}$；3；3；$\frac{9}{12}$
2. 4；4；$\frac{20}{36}$；3；3；$\frac{21}{36}$
【知识点】
分数的基本性质；最小公倍数；通分方法
【点评】
本题是通分的基础练习题，解题关键是准确找到两个分母的最小公倍数，再灵活运用分数的基本性质完成变形，熟练掌握通分步骤后可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、选择合适的方法比较每组中两个分数的大小。
$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{13}$
$\frac{5}{16}$和$\frac{7}{12}$
$\frac{14}{15}$和$\frac{7}{9}$
$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$
$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{13}$
$\frac{5}{16}$和$\frac{7}{12}$
$\frac{14}{15}$和$\frac{7}{9}$
$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$
答案
$\frac{3}{7}＜\frac{7}{13}$ $\frac{5}{16}＜\frac{7}{12}$ $\frac{14}{15}＞\frac{7}{9}$ $\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$
解析
【分析】
比较异分母分数的大小，我们通常采用通分的方法：首先找到两个分数分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，把两个分数转化为以公分母为分母的同分母分数，同分母分数比较大小时，分子越大的分数就越大，最后通过比较分子的大小即可判断原分数的大小关系。
【解析】
1. 比较$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{13}$
分母7和13互质，最小公倍数为$7×13=91$
$\frac{3}{7}=\frac{3×13}{7×13}=\frac{39}{91}$，$\frac{7}{13}=\frac{7×7}{13×7}=\frac{49}{91}$
因为$39＜49$，所以$\frac{3}{7}＜\frac{7}{13}$
2. 比较$\frac{5}{16}$和$\frac{7}{12}$
分母16和12的最小公倍数是48
$\frac{5}{16}=\frac{5×3}{16×3}=\frac{15}{48}$，$\frac{7}{12}=\frac{7×4}{12×4}=\frac{28}{48}$
因为$15＜28$，所以$\frac{5}{16}＜\frac{7}{12}$
3. 比较$\frac{14}{15}$和$\frac{7}{9}$
分母15和9的最小公倍数是45
$\frac{14}{15}=\frac{14×3}{15×3}=\frac{42}{45}$，$\frac{7}{9}=\frac{7×5}{9×5}=\frac{35}{45}$
因为$42＞35$，所以$\frac{14}{15}＞\frac{7}{9}$
4. 比较$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$
分母9和10互质，最小公倍数为$9×10=90$
$\frac{2}{9}=\frac{2×10}{9×10}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{3×9}{10×9}=\frac{27}{90}$
因为$20＜27$，所以$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$
【答案】
$\frac{3}{7}＜\frac{7}{13}$ $\frac{5}{16}＜\frac{7}{12}$ $\frac{14}{15}＞\frac{7}{9}$ $\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$
【知识点】
异分母分数大小比较、通分、分数的基本性质
【点评】
本题是分数大小比较的基础题型，核心是通过通分将异分母分数转化为同分母分数再比较大小，熟练掌握最小公倍数的求法和分数的基本性质，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
比较异分母分数的大小，我们通常采用通分的方法：首先找到两个分数分母的最小公倍数作为公分母，再根据分数的基本性质，把两个分数转化为以公分母为分母的同分母分数，同分母分数比较大小时，分子越大的分数就越大，最后通过比较分子的大小即可判断原分数的大小关系。
【解析】
1. 比较$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{13}$
分母7和13互质，最小公倍数为$7×13=91$
$\frac{3}{7}=\frac{3×13}{7×13}=\frac{39}{91}$，$\frac{7}{13}=\frac{7×7}{13×7}=\frac{49}{91}$
因为$39＜49$，所以$\frac{3}{7}＜\frac{7}{13}$
2. 比较$\frac{5}{16}$和$\frac{7}{12}$
分母16和12的最小公倍数是48
$\frac{5}{16}=\frac{5×3}{16×3}=\frac{15}{48}$，$\frac{7}{12}=\frac{7×4}{12×4}=\frac{28}{48}$
因为$15＜28$，所以$\frac{5}{16}＜\frac{7}{12}$
3. 比较$\frac{14}{15}$和$\frac{7}{9}$
分母15和9的最小公倍数是45
$\frac{14}{15}=\frac{14×3}{15×3}=\frac{42}{45}$，$\frac{7}{9}=\frac{7×5}{9×5}=\frac{35}{45}$
因为$42＞35$，所以$\frac{14}{15}＞\frac{7}{9}$
4. 比较$\frac{2}{9}$和$\frac{3}{10}$
分母9和10互质，最小公倍数为$9×10=90$
$\frac{2}{9}=\frac{2×10}{9×10}=\frac{20}{90}$，$\frac{3}{10}=\frac{3×9}{10×9}=\frac{27}{90}$
因为$20＜27$，所以$\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$
【答案】
$\frac{3}{7}＜\frac{7}{13}$ $\frac{5}{16}＜\frac{7}{12}$ $\frac{14}{15}＞\frac{7}{9}$ $\frac{2}{9}＜\frac{3}{10}$
【知识点】
异分母分数大小比较、通分、分数的基本性质
【点评】
本题是分数大小比较的基础题型，核心是通过通分将异分母分数转化为同分母分数再比较大小，熟练掌握最小公倍数的求法和分数的基本性质，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
四、幼儿园的李老师把一袋糖果平均分给小朋友们，无论是分给16个小朋友，还是分给20个小朋友，都剩余5颗，这袋糖果至少有多少颗？
答案
85颗
解析
【分析】
解题时首先明确题目逻辑：糖果分给16个或20个小朋友都剩余5颗，说明糖果总数减去5颗之后，得到的数既能被16整除，也能被20整除，即这个数是16和20的公倍数。题目要求“至少有多少颗”，因此我们需要先求出16和20的最小公倍数，再加上剩余的5颗，就能得到糖果的最少总数。
【解析】
1. 求16和20的最小公倍数：
用短除法计算，先对16和20同时除以公因数2，得到商8和10；再对8和10同时除以公因数2，得到商4和5，此时4和5互为质数，停止计算。
最小公倍数=所有除数×最终互质的商=2×2×4×5=80
2. 计算糖果总数量：
糖果总数=最小公倍数+剩余的5颗=80+5=85（颗）
【答案】
85颗
【知识点】
1. 最小公倍数计算
2. 公倍数实际应用
【点评】
这是公倍数在实际场景中的典型应用题型，解题核心是将“均分后剩余相同数量”的问题转化为求公倍数的问题，抓住题干“至少”的要求明确需要求最小公倍数，最后不要遗漏加上剩余的数量即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目逻辑：糖果分给16个或20个小朋友都剩余5颗，说明糖果总数减去5颗之后，得到的数既能被16整除，也能被20整除，即这个数是16和20的公倍数。题目要求“至少有多少颗”，因此我们需要先求出16和20的最小公倍数，再加上剩余的5颗，就能得到糖果的最少总数。
【解析】
1. 求16和20的最小公倍数：
用短除法计算，先对16和20同时除以公因数2，得到商8和10；再对8和10同时除以公因数2，得到商4和5，此时4和5互为质数，停止计算。
最小公倍数=所有除数×最终互质的商=2×2×4×5=80
2. 计算糖果总数量：
糖果总数=最小公倍数+剩余的5颗=80+5=85（颗）
【答案】
85颗
【知识点】
1. 最小公倍数计算
2. 公倍数实际应用
【点评】
这是公倍数在实际场景中的典型应用题型，解题核心是将“均分后剩余相同数量”的问题转化为求公倍数的问题，抓住题干“至少”的要求明确需要求最小公倍数，最后不要遗漏加上剩余的数量即可。
【难度系数】
0.7
五、小优用一些长 14 cm、宽 12 cm 的小长方形拼成一个大正方形。
1. 至少要用多少个这样的小长方形？
五年级
2. 这个大正方形的面积最小是多少平方厘米？
1. 至少要用多少个这样的小长方形？
五年级
2. 这个大正方形的面积最小是多少平方厘米？
答案
1. 42个 2. 7056 cm²
解析
【分析】
要使用最少的小长方形拼成大正方形，大正方形的边长必须同时是小长方形长14cm、宽12cm的倍数，因此边长最小为14和12的最小公倍数。先求出最小公倍数得到大正方形的最小边长，再分别计算边长里包含几个长、几个宽，二者相乘就是需要的小长方形总个数；再用边长乘边长即可求出最小的大正方形面积。
【解析】
1. 求14和12的最小公倍数：
分解质因数可得：$12=2×2×3$，$14=2×7$
因此14和12的最小公倍数是$2×2×3×7=84$，即最小的大正方形边长为84cm。
沿长的方向需要小长方形数量：$84÷14=6$（个）
沿宽的方向需要小长方形数量：$84÷12=7$（个）
总数量：$6×7=42$（个）
2. 大正方形的面积：$84×84=7056$（$cm^2$）
【答案】
1. 42个 2. 7056 $cm^2$
【知识点】
最小公倍数应用，正方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼组和公倍数知识，解题核心是理解拼成最小正方形的边长就是长方形长、宽的最小公倍数，再结合基础运算和面积公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
要使用最少的小长方形拼成大正方形，大正方形的边长必须同时是小长方形长14cm、宽12cm的倍数，因此边长最小为14和12的最小公倍数。先求出最小公倍数得到大正方形的最小边长，再分别计算边长里包含几个长、几个宽，二者相乘就是需要的小长方形总个数；再用边长乘边长即可求出最小的大正方形面积。
【解析】
1. 求14和12的最小公倍数：
分解质因数可得：$12=2×2×3$，$14=2×7$
因此14和12的最小公倍数是$2×2×3×7=84$，即最小的大正方形边长为84cm。
沿长的方向需要小长方形数量：$84÷14=6$（个）
沿宽的方向需要小长方形数量：$84÷12=7$（个）
总数量：$6×7=42$（个）
2. 大正方形的面积：$84×84=7056$（$cm^2$）
【答案】
1. 42个 2. 7056 $cm^2$
【知识点】
最小公倍数应用，正方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼组和公倍数知识，解题核心是理解拼成最小正方形的边长就是长方形长、宽的最小公倍数，再结合基础运算和面积公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
