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1 给出下列关于角的描述:① 角的边是两条线段;② 由两条射线组成的图形一定是角;③ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形;④ 角的大小与边的长短有关.其中,正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道角的概念辨析题，解题核心是准确掌握角的定义与相关性质。首先回忆角的两类定义（静态定义、动态定义），以及角的大小的影响因素，再逐一判断4个描述的正误，即可选出正确答案。
【解析】
结合角的相关概念逐一判断：
1. 根据角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线是角的边。由此可知：
①角的边是射线不是线段，故①错误；
②只有具备公共端点的两条射线组成的图形才是角，若两条射线无公共端点则不是角，故②错误；
2. 根据角的动态定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，故③正确；
3. 角的边是可无限延伸的射线，角的大小仅与两边张开的程度有关，与边的长短无关，故④错误。
综上，只有③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角的定义；角的构成；角的大小影响因素
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对角的核心概念的掌握程度，需要注意区分角的边的性质，以及角的大小的决定因素，避免混淆相近概念即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道角的概念辨析题，解题核心是准确掌握角的定义与相关性质。首先回忆角的两类定义（静态定义、动态定义），以及角的大小的影响因素，再逐一判断4个描述的正误，即可选出正确答案。
【解析】
结合角的相关概念逐一判断：
1. 根据角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线是角的边。由此可知：
①角的边是射线不是线段，故①错误；
②只有具备公共端点的两条射线组成的图形才是角，若两条射线无公共端点则不是角，故②错误；
2. 根据角的动态定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，故③正确；
3. 角的边是可无限延伸的射线，角的大小仅与两边张开的程度有关，与边的长短无关，故④错误。
综上，只有③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角的定义；角的构成；角的大小影响因素
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对角的核心概念的掌握程度，需要注意区分角的边的性质，以及角的大小的决定因素，避免混淆相近概念即可得分。
【难度系数】
0.8
2 [2025 南通]上午 9 时整,钟表的时针和分针构成的角的度数为 （
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
C
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
2. C
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先明确钟表的结构，钟表表面是一个圆周，对应周角360°，12个刻度将圆周平均分成12个大格，因此我们可以先算出每个大格对应的角度；再确定上午9时整时针和分针的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用间隔数乘每个大格的角度即可得到夹角的度数。
【解析】
首先计算钟表上每个大格对应的角度：
钟表一圈为360°，共被平均分为12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
上午9时整，时针指向刻度9，分针指向刻度12，二者之间间隔3个大格，因此构成的角的度数为 $ 3 × 30° = 90° $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是钟面角相关的基础题目，解题的核心是牢记钟表每个大格对应30°的规律，结合时针分针的位置确定间隔数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先明确钟表的结构，钟表表面是一个圆周，对应周角360°，12个刻度将圆周平均分成12个大格，因此我们可以先算出每个大格对应的角度；再确定上午9时整时针和分针的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用间隔数乘每个大格的角度即可得到夹角的度数。
【解析】
首先计算钟表上每个大格对应的角度：
钟表一圈为360°，共被平均分为12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
上午9时整，时针指向刻度9，分针指向刻度12，二者之间间隔3个大格，因此构成的角的度数为 $ 3 × 30° = 90° $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是钟面角相关的基础题目，解题的核心是牢记钟表每个大格对应30°的规律，结合时针分针的位置确定间隔数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3 如图,将图中的角用不同的方法表示出来,并填写下表:
答案
3. 从左往右依次填:$∠ FCE(∠ BCE)$、$∠ β$、$∠ BAC(∠ BAE)$、$∠ 4$、$∠ ABF$
解析
【分析】
本题考查角的表示方法，解题时先明确角的4种常用表示规则：①用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，适用于所有角；②用单个大写字母表示，仅当顶点处只有1个角时可使用；③用阿拉伯数字表示；④用希腊字母表示。接下来逐个识别每个待填角的顶点和两条边，对应匹配其他表示形式即可。
【解析】
我们按从左到右的顺序逐个分析：
1. 第一个角是以点C为顶点，CE、CF（或CB）为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠FCE(∠BCE)}$；
2. 第二个角的希腊字母表示为$\boldsymbol{∠β}$；
3. 第三个角是以点A为顶点，AB、AC（或AE）为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠BAC(∠BAE)}$；
4. 第四个角用阿拉伯数字可表示为$\boldsymbol{∠4}$；
5. 第五个角是以点B为顶点，BA、BF为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠ABF}$。
【答案】
$∠ FCE(∠ BCE)$、$∠ β$、$∠ BAC(∠ BAE)$、$∠ 4$、$∠ ABF$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的不同表示方式的应用，解题的核心是准确识别每个角的顶点和两条边，需要注意：用三个大写字母表示角时，顶点字母必须放在中间；如果一个顶点处有多个角，不能单独用顶点的大写字母表示角，避免出现混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查角的表示方法，解题时先明确角的4种常用表示规则：①用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，适用于所有角；②用单个大写字母表示，仅当顶点处只有1个角时可使用；③用阿拉伯数字表示；④用希腊字母表示。接下来逐个识别每个待填角的顶点和两条边，对应匹配其他表示形式即可。
【解析】
我们按从左到右的顺序逐个分析：
1. 第一个角是以点C为顶点，CE、CF（或CB）为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠FCE(∠BCE)}$；
2. 第二个角的希腊字母表示为$\boldsymbol{∠β}$；
3. 第三个角是以点A为顶点，AB、AC（或AE）为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠BAC(∠BAE)}$；
4. 第四个角用阿拉伯数字可表示为$\boldsymbol{∠4}$；
5. 第五个角是以点B为顶点，BA、BF为边的角，用三个大写字母可表示为$\boldsymbol{∠ABF}$。
【答案】
$∠ FCE(∠ BCE)$、$∠ β$、$∠ BAC(∠ BAE)$、$∠ 4$、$∠ ABF$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的不同表示方式的应用，解题的核心是准确识别每个角的顶点和两条边，需要注意：用三个大写字母表示角时，顶点字母必须放在中间；如果一个顶点处有多个角，不能单独用顶点的大写字母表示角，避免出现混淆。
【难度系数】
0.85
4 (1) $45°39' + 65°41' = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $125°12' - 36°48' = \_\_\_\_\_\_$;
(3) $43°18' × 4 = \_\_\_\_\_\_$;
(4) $16°30' ÷ 5 = \_\_\_\_\_\_$.
(2) $125°12' - 36°48' = \_\_\_\_\_\_$;
(3) $43°18' × 4 = \_\_\_\_\_\_$;
(4) $16°30' ÷ 5 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
4. (1) $111°20'$
(2) $88°24'$
(3) $173°12'$
(4) $3°18'$
(2) $88°24'$
(3) $173°12'$
(4) $3°18'$
解析
【分析】
要解决度分秒的四则运算，首先明确度、分、秒为60进制（即$1°=60'$），运算规则为：①加法：度与度相加、分与分相加，分的结果满60就向度进1；②减法：度与度相减、分与分相减，若分不够减，就从度位借1°当作60'再减；③乘法：将度、分分别与乘数相乘，分的结果满60向度进1；④除法：先将度除以除数，余数转化为分，和原有的分合并后再除以除数，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 计算$45°39' + 65°41'$：
度相加：$45°+65°=110°$，分相加：$39'+41'=80'$
因为$80'=1°20'$，所以$110°+1°20'=111°20'$
(2) 计算$125°12' - 36°48'$：
因$12'＜48'$，从$125°$借$1°$得$60'$，则$125°12'=124°72'$
度相减：$124°-36°=88°$，分相减：$72'-48'=24'$，结果为$88°24'$
(3) 计算$43°18' × 4$：
度乘4：$43°×4=172°$，分乘4：$18'×4=72'$
因$72'=1°12'$，所以$172°+1°12'=173°12'$
(4) 计算$16°30' ÷ 5$：
先算度：$16°÷5=3°$，余$1°$，将$1°$转化为$60'$，总分值为$60'+30'=90'$
再算分：$90'÷5=18'$，合并得$3°18'$
【答案】
(1)$111°20'$；(2)$88°24'$；(3)$173°12'$；(4)$3°18'$
【知识点】
度分秒换算、角度加减法、角度乘除法
【点评】
本题是角度度量的基础运算题，核心考查度分秒的60进制运算规则，解题关键是注意加减法的借位、进位，以及乘除法的单位转化规则，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决度分秒的四则运算，首先明确度、分、秒为60进制（即$1°=60'$），运算规则为：①加法：度与度相加、分与分相加，分的结果满60就向度进1；②减法：度与度相减、分与分相减，若分不够减，就从度位借1°当作60'再减；③乘法：将度、分分别与乘数相乘，分的结果满60向度进1；④除法：先将度除以除数，余数转化为分，和原有的分合并后再除以除数，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 计算$45°39' + 65°41'$：
度相加：$45°+65°=110°$，分相加：$39'+41'=80'$
因为$80'=1°20'$，所以$110°+1°20'=111°20'$
(2) 计算$125°12' - 36°48'$：
因$12'＜48'$，从$125°$借$1°$得$60'$，则$125°12'=124°72'$
度相减：$124°-36°=88°$，分相减：$72'-48'=24'$，结果为$88°24'$
(3) 计算$43°18' × 4$：
度乘4：$43°×4=172°$，分乘4：$18'×4=72'$
因$72'=1°12'$，所以$172°+1°12'=173°12'$
(4) 计算$16°30' ÷ 5$：
先算度：$16°÷5=3°$，余$1°$，将$1°$转化为$60'$，总分值为$60'+30'=90'$
再算分：$90'÷5=18'$，合并得$3°18'$
【答案】
(1)$111°20'$；(2)$88°24'$；(3)$173°12'$；(4)$3°18'$
【知识点】
度分秒换算、角度加减法、角度乘除法
【点评】
本题是角度度量的基础运算题，核心考查度分秒的60进制运算规则，解题关键是注意加减法的借位、进位，以及乘除法的单位转化规则，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 如图,将一块三角尺的$60°$角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合.若$∠ 1=28°$,则$∠ 2$的度数为________.
答案
5. $58°$
解析
【分析】
首先观察图形，两个三角尺在公共顶点处，一个三角尺的60°角由∠1和两个三角尺重叠的公共角组成，另一个三角尺的直角（90°）由∠2和这个公共角组成。解题时可以先求出公共角的度数，再用直角减去公共角得到∠2的度数，也可以直接推导∠2和∠1的关系计算。
【解析】
设两个三角尺重叠的公共角为∠α。
因为含60°角的三角尺的该角由∠1和∠α组成，所以：
$∠ 1 + ∠ α = 60°$
已知$∠ 1=28°$，代入得：
$∠ α = 60° - 28° = 32°$
又因为另一个三角尺的直角（90°）由∠2和∠α组成，所以：
$∠ 2 + ∠ α = 90°$
将$∠ α=32°$代入得：
$∠ 2 = 90° - 32° = 58°$
【答案】
$58°$
【知识点】
角的和差计算；三角板的角度特征
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是找到两个三角尺重叠的公共角，理清各个角之间的和差关系即可快速求解，也可以直接通过推导得到$∠ 2=90°-(60°-∠ 1)$简化计算。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，两个三角尺在公共顶点处，一个三角尺的60°角由∠1和两个三角尺重叠的公共角组成，另一个三角尺的直角（90°）由∠2和这个公共角组成。解题时可以先求出公共角的度数，再用直角减去公共角得到∠2的度数，也可以直接推导∠2和∠1的关系计算。
【解析】
设两个三角尺重叠的公共角为∠α。
因为含60°角的三角尺的该角由∠1和∠α组成，所以：
$∠ 1 + ∠ α = 60°$
已知$∠ 1=28°$，代入得：
$∠ α = 60° - 28° = 32°$
又因为另一个三角尺的直角（90°）由∠2和∠α组成，所以：
$∠ 2 + ∠ α = 90°$
将$∠ α=32°$代入得：
$∠ 2 = 90° - 32° = 58°$
【答案】
$58°$
【知识点】
角的和差计算；三角板的角度特征
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是找到两个三角尺重叠的公共角，理清各个角之间的和差关系即可快速求解，也可以直接通过推导得到$∠ 2=90°-(60°-∠ 1)$简化计算。
【难度系数】
0.8
6 新考向 探究题 归纳与猜想.
（1）如图,图①中有
（2）根据图①~③猜想:从一个角内引n条射线可组成几个角?
（1）如图,图①中有
3
个角;图②中有6
个角;图③中有10
个角.（2）根据图①~③猜想:从一个角内引n条射线可组成几个角?
答案
6. (1) 3 6 10
(2) $1+2+3+\dots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$,所以从一个角内引$n$条射线可组成$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$个角
(2) $1+2+3+\dots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$,所以从一个角内引$n$条射线可组成$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$个角
解析
【分析】
解决本题首先要掌握有序数角的方法，避免重复或漏数：我们可以采用“固定始边法”，每次以最下方的一条射线为角的始边，数出它和上方所有射线组成的角的数量，数完后去掉这条始边，再以剩下的射线中最下方的为新始边，重复上述操作，最后将所有数量相加得到总角数。先按这个方法数出前三个图的角的数量，再观察角内引的射线数量和总角数的对应规律，推导引n条射线时的总角数公式。
【解析】
（1）按有序计数法数角：
图①：角内引1条射线，顶点处共3条射线，总角数为$2+1=3$个；
图②：角内引2条射线，顶点处共4条射线，总角数为$3+2+1=6$个；
图③：角内引3条射线，顶点处共5条射线，总角数为$4+3+2+1=10$个。
（2）当从一个角内引$n$条射线时，顶点处总共有$n+2$条射线，每两条射线可以组成一个角，因此总角数是从1开始连续$n+1$个正整数的和：
$1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【答案】
(1) $3$；$6$；$10$
(2) 从一个角内引$n$条射线可组成$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$个角
【知识点】
角的计数、规律探究、等差数列求和
【点评】
本题是典型的几何规律探究题，核心是掌握有序计数的方法，通过特殊情况的计数结果归纳推导一般规律，该方法还可以迁移到线段计数、直线交点计数等同类几何计数问题中。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握有序数角的方法，避免重复或漏数：我们可以采用“固定始边法”，每次以最下方的一条射线为角的始边，数出它和上方所有射线组成的角的数量，数完后去掉这条始边，再以剩下的射线中最下方的为新始边，重复上述操作，最后将所有数量相加得到总角数。先按这个方法数出前三个图的角的数量，再观察角内引的射线数量和总角数的对应规律，推导引n条射线时的总角数公式。
【解析】
（1）按有序计数法数角：
图①：角内引1条射线，顶点处共3条射线，总角数为$2+1=3$个；
图②：角内引2条射线，顶点处共4条射线，总角数为$3+2+1=6$个；
图③：角内引3条射线，顶点处共5条射线，总角数为$4+3+2+1=10$个。
（2）当从一个角内引$n$条射线时，顶点处总共有$n+2$条射线，每两条射线可以组成一个角，因此总角数是从1开始连续$n+1$个正整数的和：
$1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【答案】
(1) $3$；$6$；$10$
(2) 从一个角内引$n$条射线可组成$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$个角
【知识点】
角的计数、规律探究、等差数列求和
【点评】
本题是典型的几何规律探究题，核心是掌握有序计数的方法，通过特殊情况的计数结果归纳推导一般规律，该方法还可以迁移到线段计数、直线交点计数等同类几何计数问题中。
【难度系数】
0.7
7 下列说法正确的是
（
A.平角就是一条直线
B.周角就是一条射线
C.平角的两条边在同一条直线上
D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数是$0°$
（
C
）A.平角就是一条直线
B.周角就是一条射线
C.平角的两条边在同一条直线上
D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数是$0°$
答案
7. C
解析
【分析】
本题考查平角、周角的基本概念，解题时先明确角是由顶点和两条边构成的，再结合平角、周角的定义逐一判断选项即可：首先回忆平角、周角的特征，再区分角和直线、射线的不同，就能快速排查错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 平角有顶点和两条边，而直线没有顶点，不符合角的构成要素，因此平角不是一条直线，该选项错误；
B. 周角有顶点和重合的始边、终边，而射线没有对应角的顶点结构，因此周角不是一条射线，该选项错误；
C. 平角的度数为180°，两条边方向相反，恰好位于同一条直线上，该选项正确；
D. 周角是射线绕顶点旋转一周形成的，终边与始边重合，度数为360°，不是0°，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平角的概念、周角的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是要明确角的基本构成，不能混淆平角和直线、周角和射线的区别，熟记平角、周角的度数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平角、周角的基本概念，解题时先明确角是由顶点和两条边构成的，再结合平角、周角的定义逐一判断选项即可：首先回忆平角、周角的特征，再区分角和直线、射线的不同，就能快速排查错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 平角有顶点和两条边，而直线没有顶点，不符合角的构成要素，因此平角不是一条直线，该选项错误；
B. 周角有顶点和重合的始边、终边，而射线没有对应角的顶点结构，因此周角不是一条射线，该选项错误；
C. 平角的度数为180°，两条边方向相反，恰好位于同一条直线上，该选项正确；
D. 周角是射线绕顶点旋转一周形成的，终边与始边重合，度数为360°，不是0°，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平角的概念、周角的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是要明确角的基本构成，不能混淆平角和直线、周角和射线的区别，熟记平角、周角的度数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
