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8（易错题）已知∠AOB=3∠BOC，∠BOC=30°，则∠AOC的度数为 （
A.120°
B.120°或60°
C.30°
D.30°或90°
B
）A.120°
B.120°或60°
C.30°
D.30°或90°
答案
8. B
审题不细,容易漏解,需要分“射线$OC$在$∠ AOB$的内部”和“射线$OC$在$∠ AOB$的外部”两种情况讨论.
审题不细,容易漏解,需要分“射线$OC$在$∠ AOB$的内部”和“射线$OC$在$∠ AOB$的外部”两种情况讨论.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的角度倍数关系求出∠AOB的度数，由于题目未明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部，分别根据角的和差关系计算∠AOC的度数即可，避免漏解。
【解析】
首先计算∠AOB的度数：
已知∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°。
分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC=∠AOB - ∠BOC=90°-30°=60°；
2. 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC=∠AOB + ∠BOC=90°+30°=120°。
综上，∠AOC的度数为60°或120°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是注意几何题中未明确元素位置关系时，要全面考虑所有可能的情况，避免因思维定势只考虑一种位置导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的角度倍数关系求出∠AOB的度数，由于题目未明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部，分别根据角的和差关系计算∠AOC的度数即可，避免漏解。
【解析】
首先计算∠AOB的度数：
已知∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°。
分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC=∠AOB - ∠BOC=90°-30°=60°；
2. 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC=∠AOB + ∠BOC=90°+30°=120°。
综上，∠AOC的度数为60°或120°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是注意几何题中未明确元素位置关系时，要全面考虑所有可能的情况，避免因思维定势只考虑一种位置导致漏解。
【难度系数】
0.6
9 教材 P164 练习 T1 变式 请你仔细观察钟表并进行探究(填小于平角的角的度数).
(1) 8时30分时,钟表上时针与分针的夹角的度数为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
(2) 当钟表上显示12时15分时,时针与分针的夹角的度数为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
(1) 8时30分时,钟表上时针与分针的夹角的度数为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
(2) 当钟表上显示12时15分时,时针与分针的夹角的度数为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
答案
9. (1) $75°$ (2) $82.5°$
解析
【分析】
要计算钟表上时针与分针的夹角，首先需明确表盘的度数规律：钟面一周为360°，平均分成12个大格，每个大格对应360°÷12=30°；每个大格分5个小格，每个小格对应6°。分针每分钟转6°，时针每小时转30°，每分钟转0.5°。解题时先分别计算从12时整开始，时针、分针各自转过的角度，再求两个角度的差，最终取小于180°的结果即可。
【解析】
(1) 计算8时30分的夹角：
分针30分钟转过的角度：$ 30 × 6° = 180° $
时针8小时30分钟转过的角度：$ 8 × 30° + 30 × 0.5° = 240° + 15° = 255° $
两者夹角为：$ 255° - 180° = 75° $，75°小于平角，符合要求。
(2) 计算12时15分的夹角：
分针15分钟转过的角度：$ 15 × 6° = 90° $
时针15分钟转过的角度：$ 15 × 0.5° = 7.5° $
两者夹角为：$ 90° - 7.5° = 82.5° $，82.5°小于平角，符合要求。
【答案】
(1) $ 75° $；(2) $ 82.5° $
【知识点】
钟面角计算，角的度量运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是牢记时针和分针的转动速度，避免忽略时针随时间的移动而导致计算错误，熟练掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算钟表上时针与分针的夹角，首先需明确表盘的度数规律：钟面一周为360°，平均分成12个大格，每个大格对应360°÷12=30°；每个大格分5个小格，每个小格对应6°。分针每分钟转6°，时针每小时转30°，每分钟转0.5°。解题时先分别计算从12时整开始，时针、分针各自转过的角度，再求两个角度的差，最终取小于180°的结果即可。
【解析】
(1) 计算8时30分的夹角：
分针30分钟转过的角度：$ 30 × 6° = 180° $
时针8小时30分钟转过的角度：$ 8 × 30° + 30 × 0.5° = 240° + 15° = 255° $
两者夹角为：$ 255° - 180° = 75° $，75°小于平角，符合要求。
(2) 计算12时15分的夹角：
分针15分钟转过的角度：$ 15 × 6° = 90° $
时针15分钟转过的角度：$ 15 × 0.5° = 7.5° $
两者夹角为：$ 90° - 7.5° = 82.5° $，82.5°小于平角，符合要求。
【答案】
(1) $ 75° $；(2) $ 82.5° $
【知识点】
钟面角计算，角的度量运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是牢记时针和分针的转动速度，避免忽略时针随时间的移动而导致计算错误，熟练掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
10（1）如图，OA 是表示北偏东 $ 36° $ 方向的一条射线，射线 OB 表示
（2）请在图中画出表示南偏西 $ 40° $ 方向的射线 OC、东南方向的射线 OD。
北
偏西
$ 45° $ 方向（也称为西北方向）的一条射线；（2）请在图中画出表示南偏西 $ 40° $ 方向的射线 OC、东南方向的射线 OD。
答案
10. (1) 北 西 (2) 如图所示
解析
【分析】
解题时先回忆方向角的定义规则：方向角通常以正北、正南方向为基准，结合向东或向西偏转的角度来描述方向。
针对第（1）问：观察射线OB的位置，它在正北方向的西侧，和正北方向的夹角为45°，按照方向角命名规则即可得出结果。
针对第（2）问：画射线OC时，先找准正南方向为基准边，向西（左侧）偏转40°画出从O出发的射线即可；东南方向是固定的南偏东45°方向，以正南为基准边，向东（右侧）偏转45°画出射线OD即可。
【解析】
（1）方向角以正北/正南为基准命名，射线OB与正北方向夹角为45°，且在正北方向的西侧，因此表示北偏西45°方向。
（2）作图步骤：
① 画OC：以正南方向的轴线为起始边，向西作40°的角，画出从O点出发的另一边，标注为OC，即为南偏西40°方向的射线；
② 画OD：东南方向对应南偏东45°，以正南方向的轴线为起始边，向东作45°的角，画出从O点出发的另一边，标注为OD，即为东南方向的射线。
【答案】
(1) 北 西 (2) 如图所示
【知识点】
方向角的表示，角的作图
【点评】
本题考查方向角的基础概念和作图应用，核心是掌握方向角以南北方向为基准的命名规则，作图时注意偏转方向不要混淆即可。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆方向角的定义规则：方向角通常以正北、正南方向为基准，结合向东或向西偏转的角度来描述方向。
针对第（1）问：观察射线OB的位置，它在正北方向的西侧，和正北方向的夹角为45°，按照方向角命名规则即可得出结果。
针对第（2）问：画射线OC时，先找准正南方向为基准边，向西（左侧）偏转40°画出从O出发的射线即可；东南方向是固定的南偏东45°方向，以正南为基准边，向东（右侧）偏转45°画出射线OD即可。
【解析】
（1）方向角以正北/正南为基准命名，射线OB与正北方向夹角为45°，且在正北方向的西侧，因此表示北偏西45°方向。
（2）作图步骤：
① 画OC：以正南方向的轴线为起始边，向西作40°的角，画出从O点出发的另一边，标注为OC，即为南偏西40°方向的射线；
② 画OD：东南方向对应南偏东45°，以正南方向的轴线为起始边，向东作45°的角，画出从O点出发的另一边，标注为OD，即为东南方向的射线。
【答案】
(1) 北 西 (2) 如图所示
【知识点】
方向角的表示，角的作图
【点评】
本题考查方向角的基础概念和作图应用，核心是掌握方向角以南北方向为基准的命名规则，作图时注意偏转方向不要混淆即可。
【难度系数】
0.9
11 分类讨论思想 已知一条射线$OA$，若从点$O$再引两条射线$OB$和$OC$，使$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=30°$.求$∠ AOC$的度数.
答案
11. 如图①,当射线$OC$在$∠ AOB$的内部时,$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=80°-30°=50°$.如图②,当射线$OC$在$∠ AOB$的外部时,$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=80°+30°=110°$.所以$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
解析
【分析】
本题未给出射线OC的具体位置，因此需要分类讨论OC的两种位置情况：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部。再结合角的和差关系，分别代入已知角度计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时，对应图①：
根据角的和差关系可得$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC$，
将$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=30°$代入，
得$∠ AOC = 80° - 30° = 50°$。
2. 当射线OC在∠AOB的外部时，对应图②：
根据角的和差关系可得$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，
代入已知角度，
得$∠ AOC = 80° + 30° = 110°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$。
【答案】
如图①,当射线$OC$在$∠ AOB$的内部时,$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=80°-30°=50°$.如图②,当射线$OC$在$∠ AOB$的外部时,$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=80°+30°=110°$.所以$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于角的计算类典型易错题，易错点是容易忽略射线OC在∠AOB外部的情况，遇到无明确图形的角度计算问题时，要考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题未给出射线OC的具体位置，因此需要分类讨论OC的两种位置情况：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部。再结合角的和差关系，分别代入已知角度计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时，对应图①：
根据角的和差关系可得$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC$，
将$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=30°$代入，
得$∠ AOC = 80° - 30° = 50°$。
2. 当射线OC在∠AOB的外部时，对应图②：
根据角的和差关系可得$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，
代入已知角度，
得$∠ AOC = 80° + 30° = 110°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$。
【答案】
如图①,当射线$OC$在$∠ AOB$的内部时,$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=80°-30°=50°$.如图②,当射线$OC$在$∠ AOB$的外部时,$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=80°+30°=110°$.所以$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于角的计算类典型易错题，易错点是容易忽略射线OC在∠AOB外部的情况，遇到无明确图形的角度计算问题时，要考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
12（1）如图①，将一副直角三角尺的直角顶点重合在点O处.
① ∠AOD与∠BOC的数量关系是
② ∠AOC与∠BOD的数量关系是
（2）若将这副直角三角尺按如图②所示的方式摆放，使三角尺的直角顶点重合在点O处. ∠AOD与∠BOC有什么数量关系？∠AOC与∠BOD又有什么数量关系？请分别说明理由.
① ∠AOD与∠BOC的数量关系是
$∠ AOD=∠ BOC$
；② ∠AOC与∠BOD的数量关系是
$∠ AOC+∠ BOD=180°$
.（2）若将这副直角三角尺按如图②所示的方式摆放，使三角尺的直角顶点重合在点O处. ∠AOD与∠BOC有什么数量关系？∠AOC与∠BOD又有什么数量关系？请分别说明理由.
答案
12. (1) ① $∠ AOD=∠ BOC$ ② $∠ AOC+∠ BOD=180°$
(2) $∠ AOD=∠ BOC$ 理由:因为$∠ AOB=∠ DOC=90°$,所以$∠ AOB-∠ BOD=∠ DOC-∠ BOD$,即$∠ AOD=∠ BOC$.
$∠ AOC+∠ BOD=180°$ 理由:因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$,$∠ BOD=∠ DOC-∠ BOC$,所以$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ BOC+(∠ DOC-∠ BOC)=∠ AOB+∠ BOC+∠ DOC-∠ BOC=∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$.
(2) $∠ AOD=∠ BOC$ 理由:因为$∠ AOB=∠ DOC=90°$,所以$∠ AOB-∠ BOD=∠ DOC-∠ BOD$,即$∠ AOD=∠ BOC$.
$∠ AOC+∠ BOD=180°$ 理由:因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$,$∠ BOD=∠ DOC-∠ BOC$,所以$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ BOC+(∠ DOC-∠ BOC)=∠ AOB+∠ BOC+∠ DOC-∠ BOC=∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$.
解析
【分析】
首先明确已知条件：两个直角三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。探究角的数量关系时，优先通过角的和差拆分角的组成，结合公共部分推导结论：
1. 对于（1）①，观察∠AOD和∠BOC，两者都包含公共角∠BOD，剩余部分均为90°的直角，可推导二者相等；
2. 对于（1）②，将∠AOC与∠BOD相加，拆分后公共部分可组合为第二个直角，总和为两个直角的和；
3. 对于（2）的重叠摆放情况，思路和（1）一致：相等关系可通过“同角减去相等的部分差相等”推导，和的关系拆分后重叠部分抵消，总和仍为两个直角的和。
【解析】
(1) ① 已知∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB + ∠BOD = ∠COD + ∠BOD，
即∠AOD = ∠BOC。
②
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠COD = 90° + 90° = 180°。
(2) ∠AOD=∠BOC，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
① 推导∠AOD=∠BOC：
∵ ∠AOB=∠DOC=90°，
∴ ∠AOB - ∠BOD = ∠DOC - ∠BOD，
即∠AOD=∠BOC。
② 推导∠AOC+∠BOD=180°：
∵ ∠AOC=∠AOB + ∠BOC，∠BOD=∠DOC - ∠BOC，
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠BOC + (∠DOC - ∠BOC) = ∠AOB + ∠DOC = 90° + 90° = 180°。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$；② $\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
角的和差运算；直角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题核心是准确识别角的和差组成，利用公共角或重叠角的关系推导数量关系，熟练掌握角的拆分方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：两个直角三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。探究角的数量关系时，优先通过角的和差拆分角的组成，结合公共部分推导结论：
1. 对于（1）①，观察∠AOD和∠BOC，两者都包含公共角∠BOD，剩余部分均为90°的直角，可推导二者相等；
2. 对于（1）②，将∠AOC与∠BOD相加，拆分后公共部分可组合为第二个直角，总和为两个直角的和；
3. 对于（2）的重叠摆放情况，思路和（1）一致：相等关系可通过“同角减去相等的部分差相等”推导，和的关系拆分后重叠部分抵消，总和仍为两个直角的和。
【解析】
(1) ① 已知∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB + ∠BOD = ∠COD + ∠BOD，
即∠AOD = ∠BOC。
②
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠COD = 90° + 90° = 180°。
(2) ∠AOD=∠BOC，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
① 推导∠AOD=∠BOC：
∵ ∠AOB=∠DOC=90°，
∴ ∠AOB - ∠BOD = ∠DOC - ∠BOD，
即∠AOD=∠BOC。
② 推导∠AOC+∠BOD=180°：
∵ ∠AOC=∠AOB + ∠BOC，∠BOD=∠DOC - ∠BOC，
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB + ∠BOC + (∠DOC - ∠BOC) = ∠AOB + ∠DOC = 90° + 90° = 180°。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$；② $\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
角的和差运算；直角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题核心是准确识别角的和差组成，利用公共角或重叠角的关系推导数量关系，熟练掌握角的拆分方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
