9 如图,数轴上点 A,O,B 分别表示数-2,0,2.现打算在此数轴上标出 P,Q 两点,且这两点表示的数 p,q 互为倒数.若点 P 在点 A 的左侧,则下列说法正确的是 ()

A.点 Q 在 AO 上,且 AQ＜QO
B.点 Q 在 AO 上,且 AQ＞QO
C.点 Q 在 OB 上,且 OQ＜QB
D.点 Q 在 OB 上,且 OQ＞QB

B

【分析】
解题时先从已知条件入手：①p、q互为倒数，可得pq=1；②点P在A左侧，A对应数为-2，因此p＜-2。第一步先根据p的取值范围推导q的取值范围，先判断q的正负确定Q所在的线段，排除错误选项；第二步再计算AQ、QO的长度，比较二者大小即可得到正确结论。
【解析】
∵p、q互为倒数，
∴pq=1，即$ q=\frac{1}{p} $。
∵点P在点A左侧，点A表示的数为-2，
∴$ p＜-2＜0 $，因此q是负数，即点Q在负半轴的AO线段上，排除C、D选项。
对不等式$ p＜-2 $，两边同时取倒数（负数取倒数不等号方向改变），得$ \frac{1}{p}＞-\frac{1}{2} $，即$ -\frac{1}{2}＜q＜0 $。
计算线段长度：
$ AQ = q - (-2) = q + 2 $，代入$ q＞-\frac{1}{2} $，得$ AQ＞-\frac{1}{2}+2=1.5 $；
$ QO = 0 - q = -q $，代入$ q＞-\frac{1}{2} $，得$ QO＜\frac{1}{2}=0.5 $。
因此$ AQ＞QO $，排除A选项，B正确。
【答案】
B
【知识点】
倒数的概念；数轴上两点距离；不等式的性质
【点评】
本题结合数轴考查倒数和不等式的基础应用，解题的关键是先根据p的范围准确推导q的取值范围，再结合数轴上线段长度的计算方法比较大小，易错点是负数取倒数时容易忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.7

10 下列说法错误的是 （）

A.任何线段都可以测量长度
B.直线无法测量，因此直线之间不能比较长短
C.利用圆规和无刻度直尺，可以比较线段的长短
D.两条射线可以测量长度并比较长短

D

【分析】
本题考查直线、射线、线段的基本性质及线段长短比较的知识，解题思路如下：首先明确三类线的长度特性：线段有两个端点，是有限长度可度量；直线无端点、射线只有一个端点，二者均无限延伸不可度量；再逐一判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 线段有两个明确的端点，长度有限，因此任何线段都可以测量长度，该说法正确，不符合题意；
B. 直线没有端点，向两端无限延伸，长度无法测量，因此直线之间不能比较长短，该说法正确，不符合题意；
C. 利用圆规和无刻度直尺可以通过叠合法等方法，将两条线段放在一起比较长短，该说法正确，不符合题意；
D. 射线只有一个端点，向另一端无限延伸，长度是无限的，无法测量长度，也不能比较长短，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直线、射线、线段的性质；线段长短比较
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是区分三类线的度量属性，牢记只有线段是有限长可度量，直线和射线均为无限长不可度量，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8

11 如图所示为线段$ m $，$ n $。按如下步骤进行尺规作图：① 在射线$ AM $上顺次截取$ AD = DB = m $，② 在射线$ AM $上截取$ BC = n $，则$ AC $的长用含$ m $，$ n $的式子表示为________。

2m-n 或 2m+n

【分析】
解题时首先根据第一步作图求出线段AB的长度，再结合射线的特点分析点C的位置：由于仅说明在射线AM上截取BC=n，点C既可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，因此需要分两种情况利用线段的和差关系计算AC的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
根据步骤①，在射线AM上顺次截取AD=DB=m，因此AB = AD + DB = m + m = 2m。
2. 分两种情况计算AC的长度：
情况1：当点C在线段AB上时，根据线段差的关系，AC = AB - BC，代入AB=2m、BC=n，得AC=2m-n；
情况2：当点C在线段AB的延长线上（点B远离A的一侧）时，根据线段和的关系，AC = AB + BC，代入AB=2m、BC=n，得AC=2m+n。
综上，AC的长为2m-n或2m+n。
【答案】
2m-n或2m+n
【知识点】
线段和差计算，尺规作图，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略点C的两种位置情况，仅写出其中一个答案。解题时要结合射线的延伸性，全面考虑点的位置，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

12 教材P159例4变式 如图，C是线段AB的中点，线段$BC=3$，D是直线AB上一点，且$AB=\dfrac{3}{2}AD$.求线段CD的长.

因为C是线段AB的中点,$BC=3$,所以$AC=BC=3$,$AB=2BC=6$.因为$AB=\frac{3}{2}AD$,所以$AD=\frac{2}{3}AB=4$.当点D在线段AB上时,$CD=AD-AC=4-3=1$.当点D在线段BA的延长线上时,$CD=AD+AC=4+3=7$.所以线段CD的长为1或7

【分析】
首先结合已知条件“C是线段AB的中点，BC=3”，利用线段中点的性质先求出AC、AB的长度；再根据AB和AD的数量关系计算出AD的长度。注意题中明确D是直线AB上的点，不是线段AB上的点，因此D的位置存在两种情况：①D在线段AB上，②D在线段BA的延长线上，需要分两种情况结合线段的和差关系计算CD的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵ C是线段AB的中点，$BC=3$，
∴ $AC=BC=3$，$AB=2BC=2×3=6$。
∵ $AB=\dfrac{3}{2}AD$，
∴ $AD=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}×6=4$。
分两种情况讨论：
①当点D在线段AB上时，$CD=AD-AC=4-3=1$；
②当点D在线段BA的延长线上时，$CD=AD+AC=4+3=7$。
【答案】
1或7
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”的前提，仅考虑点在线段上的情况导致漏解，解决此类问题时要注意分析点的所有可能位置。
【难度系数】
0.6

13 如图，C，D 是线段 AB 上的两点(点 C 在点 D 的左侧)，AB＝4 cm.
(1) 若 AD＝1.5 cm，BC＝3.5 cm，则 CD 的长为cm.
(2) 若 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的中点，则 CD 的长为cm.
(3) 若 AC：BC＝1：4，AD：BD＝2：3，求 CD 的长.
(4) 若 AC＝BD，延长线段 BA 至点 M，使 MD＝5 cm，N 是线段 CM 的中点，求 AN 的长.
(5) 若 D 是线段 AB 的三等分点，C 是线段 AD 的中点，求 CD 的长.
(6) 若 CD＝1 cm，M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BD 的中点，则当 CD 在线段 AB 上滑动时，MN 的长度会发生改变吗？请判断并说明理由.

(1) 1
(2) 1
(3) 因为$AC:BC=1:4$,$AD:BD=2:3$,所以$AC=\frac{1}{5}AB$,$AD=\frac{2}{5}AB$,则$CD=AD-AC=\frac{1}{5}AB=\frac{4}{5}$ cm
(4) 根据题意,画图如图所示.$MD=MC+CD=2NC+CD=5$ cm①,$AB=AC+BD+CD=2AC+CD=4$ cm②.①-②,得$2(NC-AC)=2AN=1$ cm,则$AN=\frac{1}{2}$ cm，作图见
(5) 分两种情况讨论:① 若$AD=\frac{1}{3}AB$,则$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{6}AB=\frac{2}{3}$ cm;② 若$AD=\frac{2}{3}AB$,则$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{3}AB=\frac{4}{3}$ cm.综上所述,$CD$的长为$\frac{2}{3}$ cm或$\frac{4}{3}$ cm
(6) 不会发生改变 理由:因为M是线段AC的中点,N是线段BD的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$DN=\frac{1}{2}BD$.所以$MN=MC+DN+CD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$(cm).所以当CD在线段AB上滑动时,MN的长度不会发生改变.

【分析】
本题是线段的综合计算题，解题核心是利用线段的和差关系、中点性质、比例分配求解，各小问思路如下：
(1) 观察可知AD+BC的长度等于AB与CD长度之和，用AD与BC的和减去AB即可得到CD的长；
(2) 先根据中点定义求出AD的长度，再利用C是AD中点，求出CD为AD的一半即可；
(3) 先根据比例把AC、AD分别表示为AB的几分之几，再用AD减去AC得到CD的长度；
(4) 结合AC=BD的条件和N是CM中点的性质，分别列出MD和AB的表达式，两式相减消去公共部分即可推导出AN的长度；
(5) D是AB的三等分点，需分两种情况讨论：AD占AB的$\frac{1}{3}$、AD占AB的$\frac{2}{3}$，再结合C是AD中点分别计算CD即可；
(6) 把MN拆为MC、CD、DN三部分的和，利用中点性质将MC和DN用AC、BD表示，再将AC+BD替换为AB-CD，代入数值后发现结果为定值，即可判断MN长度不变。
【解析】
(1) 由线段和差关系得：$AD+BC=AC+CD+CD+BD=AB+CD$，已知$AD=1.5\mathrm{cm}$，$BC=3.5\mathrm{cm}$，$AB=4\mathrm{cm}$，因此$CD=AD+BC-AB=1.5+3.5-4=1\mathrm{cm}$；
(2) 因为D是AB中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，又因为C是AD中点，所以$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$；
(3) 已知$AC:BC=1:4$，总份数为$1+4=5$，故$AC=\frac{1}{5}AB$；$AD:BD=2:3$，总份数为$2+3=5$，故$AD=\frac{2}{5}AB$，因此$CD=AD-AC=\frac{2}{5}AB-\frac{1}{5}AB=\frac{1}{5}AB=\frac{1}{5}×4=\frac{4}{5}\mathrm{cm}$；
(4) 由$AC=BD$，N是CM中点得$NC=\frac{1}{2}CM$。$MD=MC+CD=2NC+CD=5\mathrm{cm}$①，$AB=AC+CD+BD=2AC+CD=4\mathrm{cm}$②；用①减②得：$2NC+CD-(2AC+CD)=5-4$，化简得$2(NC-AC)=1$，而$NC-AC=AN$，因此$2AN=1$，即$AN=\frac{1}{2}\mathrm{cm}$，作图如下：
(5) D是AB的三等分点，分两种情况讨论：
① 当$AD=\frac{1}{3}AB$时，$AD=\frac{1}{3}×4=\frac{4}{3}\mathrm{cm}$，C是AD中点，故$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\mathrm{cm}$；
② 当$AD=\frac{2}{3}AB$时，$AD=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}\mathrm{cm}$，C是AD中点，故$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\mathrm{cm}$；
综上，CD的长为$\frac{2}{3}\mathrm{cm}$或$\frac{4}{3}\mathrm{cm}$；
(6) MN的长度不会发生改变，理由如下：
因为M是AC中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；N是BD中点，所以$DN=\frac{1}{2}BD$；
则$MN=MC+CD+DN=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$；
又$AC+BD=AB-CD$，代入得$MN=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD$；
将$AB=4\mathrm{cm}$，$CD=1\mathrm{cm}$代入得$MN=\frac{1}{2}×4+\frac{1}{2}×1=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，为定值，因此MN的长度不会改变。
【答案】
(1) $1$
(2) $1$
(3) $\frac{4}{5}\mathrm{cm}$
(4) $\frac{1}{2}\mathrm{cm}$，作图见
(5) $\frac{2}{3}\mathrm{cm}$或$\frac{4}{3}\mathrm{cm}$
(6) 不会发生改变，理由见解析
【知识点】
1.线段和差计算
2.线段中点性质
3.分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的相关计算展开，从基础的和差、中点应用，到比例计算、分类讨论、定值推导，难度逐步提升，能够有效考查对线段相关性质的掌握程度和逻辑推导能力，解题时需注意三等分点等存在多解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65