1 下列对等式的变形正确的是 （）

A.由$2a+3=3a$，得$2a-3a=3$
B.由$3x=3y$，得$x=y$
C.由$2x+2=4x-8$，得$2x-4x=2-8$
D.由$\frac{1}{3}x=-6$，得$x=-2$

1.B

【分析】
本题考查等式的性质及移项规则的应用，解题时需先明确等式的两个基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。同时移项时需要改变符号，再逐一判断每个选项的变形是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：由$2a+3=3a$移项，将$3a$移到左边变号，$+3$移到右边变号，应得$2a-3a=-3$，变形错误；
B选项：由$3x=3y$，根据等式的性质2，两边同时除以不为0的3，可得$x=y$，变形正确；
C选项：由$2x+2=4x-8$移项，将$4x$移到左边变号，$+2$移到右边变号，应得$2x-4x=-8-2$，变形错误；
D选项：由$\frac{1}{3}x=-6$，根据等式的性质2，两边同时乘3，可得$x=-6×3=-18$，变形错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；移项法则
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对等式性质的掌握程度，做题时要格外注意移项时的符号变化，以及乘除变形时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8

2 将$\frac{1}{3}x=1$变形为$x=3$，其方法是 （）

A.等式两边乘$\frac{1}{3}$
B.等式两边除以$\frac{1}{3}$
C.等式两边减$\frac{1}{3}$
D.等式两边加$\frac{1}{3}$

2.B

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先明确变形目标是将x的系数$\frac{1}{3}$化为1，需要用到等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。要消去系数$\frac{1}{3}$，既可以两边同时乘$\frac{1}{3}$的倒数3，也可以两边同时除以$\frac{1}{3}$，再对照选项匹配正确操作即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对于等式$\frac{1}{3}x=1$，要将x的系数化为1，在等式两边同时除以$\frac{1}{3}$：
左边：$\frac{1}{3}x ÷ \frac{1}{3} = x$
右边：$1 ÷ \frac{1}{3} = 3$
即可得到$x=3$。
逐一验证选项：
A选项，两边乘$\frac{1}{3}$得$\frac{1}{9}x=\frac{1}{3}$，不符合要求，错误；
B选项符合推导过程，正确；
C选项，两边减$\frac{1}{3}$得$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，不符合要求，错误；
D选项，两边加$\frac{1}{3}$得$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质，系数化为1
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等式性质2的理解和应用，解题核心是掌握将未知数系数化为1的操作方法，易错点是混淆乘除的选择。
【难度系数】
0.9

3 下列对等式$4a=2b-1$进行的变形正确的是（）

A.$4a-2b=1$
B.$2b=4a-1$
C.$b=2a+\dfrac{1}{2}$
D.$a=\dfrac{1}{2}b-1$

3.C

【分析】
本题考查等式的变形，核心依据是等式的基本性质。解题时先明确等式的两条性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来逐个分析选项的变形过程，判断是否符合等式性质，即可选出正确答案。
【解析】
已知原等式为$4a=2b-1$，逐一分析选项：
选项A：等式两边同时减$2b$，可得$4a-2b=-1$，而非$4a-2b=1$，故A错误；
选项B：将原等式两边同时加1，可得$2b=4a+1$，而非$2b=4a-1$，故B错误；
选项C：先将原等式变形为$2b=4a+1$，再将等式两边同时除以2，可得$b=2a+\dfrac{1}{2}$，故C正确；
选项D：将原等式两边同时除以4，可得$a=\dfrac{2b-1}{4}=\dfrac{1}{2}b-\dfrac{1}{4}$，而非$a=\dfrac{1}{2}b-1$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，代数式变形
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对等式性质的理解和应用，变形时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，移项时要注意改变符号，避免因运算疏漏出错。
【难度系数】
0.8

4（1）已知等式$4x=3x+7$，两边同时，得$x=$，依据是；
（2）已知等式$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{2}$，两边同时，得$x=$，依据是。

4.（1）减$3x$，7，等式的性质1；（2）乘5，$-\frac{5}{2}$，等式的性质2

【分析】
本题考查等式性质的基础应用，解题时先明确每小问的目标是将x的系数化为1，再观察等式两边的结构选择对应的变形方法：（1）等式两边都含有x的一次项，需要消去右侧的3x，对应使用等式两边同时减同一个式子的变形；（2）等式左侧x的系数为分数，需要将系数变为1，对应使用等式两边同时乘系数倒数的变形，变形时要对应准确等式的两条性质。
【解析】
（1）对于等式$4x=3x+7$，目标是消去右侧含$x$的项，根据等式的性质1（等式两边加或减同一个数/式子，等式仍然成立），两边同时减$3x$：
左边：$4x-3x=x$，右边：$3x+7-3x=7$，因此得$x=7$。
（2）对于等式$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{2}$，目标是将$x$的系数化为1，根据等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），两边同时乘5：
左边：$\frac{1}{5}x×5=x$，右边：$-\frac{1}{2}×5=-\frac{5}{2}$，因此得$x=-\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）减$3x$，7，等式的性质1；（2）乘5，$-\frac{5}{2}$，等式的性质2
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对等式两条性质的理解和应用，只要准确掌握等式性质的内容，结合消项、化系数为1的目标就能快速解题，是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

5 若在等式$2026(x+3)=3(x+3)$的两边同时除以$x+3$就会得到$2026=3$，而$2026≠3$，则由此可以猜测$x+3=$。

5.0

【分析】
解题时首先回忆等式的性质2的适用条件：等式两边同时除以同一个数（或整式）时，这个数（或整式）必须不为0，否则等式不成立，且0不能作为除数。本题中对等式两边同时除以$x+3$后得到了$2026=3$的错误结论，说明我们违反了等式性质2的前提，也就是除以的$x+3$等于0，据此即可得出结果。
【解析】
解：根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
将等式$2026(x+3)=3(x+3)$两边同时除以$x+3$后得到$2026=3$，该结论明显不成立，说明除以的整式$x+3$不满足“不为0”的要求，因此$x+3=0$。
【答案】
0
【知识点】
等式的性质；0的运算性质
【点评】
本题主要考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边同除以一个整式时，该整式不能为0的前提条件，掌握等式性质的适用范围是解题的核心。
【难度系数】
0.7

6 教材 P117 练习 T1 变式 (1)若 $5a + 8b = 3b + 10$，则 $a + b = \_\_\_\_\_\_$；

6.(1)2

【分析】
本题目标是求$a+b$的值，无需单独求出$a$、$b$的具体数值，可通过等式的性质对已知等式变形求解。首先将等式中含$b$的项移到等号同侧，合并同类项后会发现$a$和$b$的系数相同，再给等式两边同时除以这个相同的系数，就能直接得到$a+b$的结果。
【解析】
已知$5a + 8b = 3b + 10$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，可得：
$5a + 8b - 3b = 3b + 10 - 3b$
合并同类项后为：$5a + 5b = 10$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，可得：
$\frac{5a + 5b}{5} = \frac{10}{5}$
化简后得：$a + b = 2$
【答案】
2
【知识点】
等式的性质；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，解题时运用整体变形的思想即可快速得到结果，不用单独求解$a$、$b$的取值，能帮助学生巩固等式变形的方法，建立整体求解的思维。
【难度系数】
0.9

(2)若$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$，则$a - b =$；
(3)若$\frac{78}{x} = y$，则$xy =$。

6.(2)6；(3)78

【分析】
第(2)题：已知等式含有分数系数，我们可先利用等式的性质2，两边同时乘3消去分母，再通过移项整理即可求出a-b的值；第(3)题：等式左边是分母为x的分式，首先x不为0，利用等式的性质2，两边同时乘x，即可直接求出xy的值。
【解析】
(2) 对等式$\frac{1}{3}b + 2 = \frac{1}{3}a$两边同时乘3，得：
$b + 6 = a$
将含b的项移到等号右侧，得：
$a - b = 6$
(3) 由$\frac{78}{x} = y$可知$x≠0$，等式两边同时乘x，得：
$78 = xy$
即$xy = 78$
【答案】
(2)6；(3)78
【知识点】
等式的性质，代数式变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时处理含分母的等式可先消去分母简化运算，涉及分式的等式要注意分母不为0的隐含前提，整体难度低，属于基础必拿分题。
【难度系数】
0.9

7 运用等式的性质解下列方程：
(1) $x - 5 = 12$；
(2) $\frac{1}{3}x - 1 = -7$；
(3) $10 - \frac{x}{0.25} = 8$；
(4) $-2x + 30 = -12 - 9x$。

7.(1)$x=17$ (2)$x=-18$ (3)$x=0.5$ (4)$x=-6$

【分析】
解这类方程的核心是利用等式的两个基本性质，将方程逐步变形为$x=a$（$a$为常数）的形式。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时先观察方程结构，先通过等式性质1消去一侧的常数项或含$x$的项，再通过等式性质2将$x$的系数化为1即可，注意每一步变形要保证等式两边同时做相同的运算，避免符号错误。
【解析】
(1) 对于方程$x - 5 = 12$，根据等式的性质1，两边同时加5，得：
$x - 5 + 5 = 12 + 5$
化简得$x=17$。
(2) 对于方程$\frac{1}{3}x - 1 = -7$，根据等式的性质1，两边同时加1，得：
$\frac{1}{3}x -1 +1 = -7 +1$
化简得$\frac{1}{3}x = -6$，
再根据等式的性质2，两边同时乘3，得：
$\frac{1}{3}x × 3 = -6 × 3$
化简得$x=-18$。
(3) 对于方程$10 - \frac{x}{0.25} = 8$，根据等式的性质1，两边同时减10，得：
$10 - \frac{x}{0.25} -10 = 8 -10$
化简得$-\frac{x}{0.25} = -2$，
根据等式的性质2，两边同时乘$-0.25$，得：
$(-\frac{x}{0.25}) × (-0.25) = -2 × (-0.25)$
化简得$x=0.5$。
(4) 对于方程$-2x + 30 = -12 -9x$，根据等式的性质1，两边同时加$9x$，得：
$-2x +30 +9x = -12 -9x +9x$
化简得$7x +30 = -12$，
再根据等式的性质1，两边同时减30，得：
$7x +30 -30 = -12 -30$
化简得$7x = -42$，
最后根据等式的性质2，两边同时除以7，得：
$7x ÷7 = -42 ÷7$
化简得$x=-6$。
【答案】
(1)$x=17$；(2)$x=-18$；(3)$x=0.5$；(4)$x=-6$
【知识点】
等式的性质、一元一次方程求解、系数化为1
【点评】
本题是等式性质的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握等式的两个性质，变形时注意两边同时进行相同运算，处理系数和常数项时注意符号不要出错，掌握方法后很容易得出正确结果。
【难度系数】
0.85

8 [2026 海安期中]下列各式不正确的是 （）

A.若$a=b$，则$ab=b^2$
B.若$a=b$，则$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$
C.若$ab=b^2$，则$a=b$
D.若$a+b=2b$，则$a=b$

8.C

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时需结合等式的两个性质逐一判断每个选项是否成立，注意等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0，遇到含乘积的等式变形时，要考虑特殊值0对结果的影响。首先回忆等式的性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
我们根据等式的性质逐一判断：
A选项：若$a=b$，等式两边同时乘$b$，根据等式性质2，可得$ab=b^2$，该式正确，不符合题意。
B选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0，若$a=b$，等式两边同时除以$c^2+1$，根据等式性质2，可得$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$，该式正确，不符合题意。
C选项：若$ab=b^2$，当$b=0$时，无论$a$取何值，等式左右两边都等于0，等式都成立，此时$a$不一定等于$b$，例如$a=3$，$b=0$时，$ab=0$，$b^2=0$，等式成立但$a≠ b$，因此该式不正确，符合题意。
D选项：若$a+b=2b$，等式两边同时减去$b$，根据等式性质1，左边得$a$，右边得$b$，即$a=b$，该式正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，易错点是进行等式变形时忽略除数不能为0的限制，未考虑特殊值0对等式成立的影响，遇到乘积形式的等式变形时要注意分类讨论特殊情况，避免判断错误。
【难度系数】
0.7