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9 学习了一元一次方程后，甲、乙两名同学分别写出了一个结论. 甲同学:若 $ x=1 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ a+bx+c=0(b≠0) $ 的解，则 $ a+b+c=0 $；乙同学:若 $ b=3a $，则关于 $ x $ 的方程 $ ax+b=0(a≠0) $ 的解为 $ x=-\frac{1}{3} $. 下列说法正确的是（
A.甲同学的结论正确
B.乙同学的结论正确
C.甲、乙两名同学的结论都正确
D.甲、乙两名同学的结论都错误
A
）A.甲同学的结论正确
B.乙同学的结论正确
C.甲、乙两名同学的结论都正确
D.甲、乙两名同学的结论都错误
答案
9.A
解析
【分析】
要判断两名同学的结论是否正确，我们可以分别验证：①验证甲的结论时，利用“方程的解代入方程等式成立”的性质，把x=1代入甲给出的方程即可判断；②验证乙的结论时，把b=3a代入乙给出的一元一次方程，结合a≠0的条件解方程，对比解是否为x=-1/3即可判断，最终结合判断结果选对应选项。
【解析】
1. 验证甲同学的结论：
已知x=1是关于x的方程a+bx+c=0（b≠0）的解，根据方程的解的定义，将x=1代入方程，左边为a + b×1 + c = a+b+c，右边为0，因此可得a+b+c=0，故甲同学的结论正确。
2. 验证乙同学的结论：
已知关于x的方程ax+b=0（a≠0），且b=3a，将b=3a代入方程得：ax + 3a = 0。
因为a≠0，根据等式的性质，等式两边同时除以a，得x + 3 = 0，解得x=-3，并非x=-1/3，故乙同学的结论错误。
综上，只有甲同学的结论正确。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是利用方程的解的含义和等式的基本性质进行推导计算，解题时注意代入计算的准确性，不要因粗心导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断两名同学的结论是否正确，我们可以分别验证：①验证甲的结论时，利用“方程的解代入方程等式成立”的性质，把x=1代入甲给出的方程即可判断；②验证乙的结论时，把b=3a代入乙给出的一元一次方程，结合a≠0的条件解方程，对比解是否为x=-1/3即可判断，最终结合判断结果选对应选项。
【解析】
1. 验证甲同学的结论：
已知x=1是关于x的方程a+bx+c=0（b≠0）的解，根据方程的解的定义，将x=1代入方程，左边为a + b×1 + c = a+b+c，右边为0，因此可得a+b+c=0，故甲同学的结论正确。
2. 验证乙同学的结论：
已知关于x的方程ax+b=0（a≠0），且b=3a，将b=3a代入方程得：ax + 3a = 0。
因为a≠0，根据等式的性质，等式两边同时除以a，得x + 3 = 0，解得x=-3，并非x=-1/3，故乙同学的结论错误。
综上，只有甲同学的结论正确。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是利用方程的解的含义和等式的基本性质进行推导计算，解题时注意代入计算的准确性，不要因粗心导致判断错误。
【难度系数】
0.8
10 设“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体.如图,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,那么“?”处应该放“●”的个数为 （
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先明确天平平衡意味着左右两侧物体的总质量相等，我们可以用字母分别表示三种物体的质量，根据前两架天平的平衡关系写出对应的等式，再利用等式的性质和等量代换，找到“■”和“●”的质量关系，最后计算出第三架天平左侧2个“■”对应的“●”的个数即可。
【解析】
设“●”的质量为$x$，“■”的质量为$y$，“▲”的质量为$z$。
根据第一架天平平衡，可得等量关系：$2x = z + y$ ①
根据第二架天平平衡，可得等量关系：$y = z$ ②
将②代入①，可得：$2x = y + y$，即$2x = 2y$，根据等式的性质，等式两边同时除以2，得$x = y$，也就是1个“■”的质量等于1个“●”的质量。
第三架天平左侧是2个“■”，总质量为$2y$，因为$y=x$，所以$2y=2x$，因此“？”处需要放2个“●”才能让天平保持平衡。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换，用字母表示数
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的应用，解题核心是通过已知的平衡关系推导出不同物体的质量等量关系，侧重对基础逻辑推理能力的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确天平平衡意味着左右两侧物体的总质量相等，我们可以用字母分别表示三种物体的质量，根据前两架天平的平衡关系写出对应的等式，再利用等式的性质和等量代换，找到“■”和“●”的质量关系，最后计算出第三架天平左侧2个“■”对应的“●”的个数即可。
【解析】
设“●”的质量为$x$，“■”的质量为$y$，“▲”的质量为$z$。
根据第一架天平平衡，可得等量关系：$2x = z + y$ ①
根据第二架天平平衡，可得等量关系：$y = z$ ②
将②代入①，可得：$2x = y + y$，即$2x = 2y$，根据等式的性质，等式两边同时除以2，得$x = y$，也就是1个“■”的质量等于1个“●”的质量。
第三架天平左侧是2个“■”，总质量为$2y$，因为$y=x$，所以$2y=2x$，因此“？”处需要放2个“●”才能让天平保持平衡。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换，用字母表示数
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的应用，解题核心是通过已知的平衡关系推导出不同物体的质量等量关系，侧重对基础逻辑推理能力的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11 在等式$4x - 7 = 3x + 5$的两边同时减去一个多项式可以得到等式$x = 12$，则这个多项式为
$3x-7$
.答案
11.$3x-7$
解析
【分析】
本题可利用等式的性质1来解题，等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。我们的目标是将原等式$4x - 7 = 3x + 5$变形为$x=12$，可设所求多项式为$A$，根据“原等式两边同时减$A$后得到$x=12$”的条件列式求解$A$，也可以直接对比原等式和目标等式的左右两边的差值求$A$。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可知：
原等式左边减去$A$等于目标等式的左边，即：
$4x - 7 - A = x$
移项求解$A$：
$A = 4x - 7 - x$
合并同类项得：$A = 3x - 7$
验证：将$A=3x-7$代入原等式右边，$3x + 5 - (3x - 7) = 3x + 5 - 3x + 7 = 12$，刚好等于目标等式的右边，符合要求。
【答案】
$3x-7$
【知识点】
等式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，解题核心是明确等式变形前后左右两边的对应关系，计算时要注意减去多项式时符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题可利用等式的性质1来解题，等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。我们的目标是将原等式$4x - 7 = 3x + 5$变形为$x=12$，可设所求多项式为$A$，根据“原等式两边同时减$A$后得到$x=12$”的条件列式求解$A$，也可以直接对比原等式和目标等式的左右两边的差值求$A$。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可知：
原等式左边减去$A$等于目标等式的左边，即：
$4x - 7 - A = x$
移项求解$A$：
$A = 4x - 7 - x$
合并同类项得：$A = 3x - 7$
验证：将$A=3x-7$代入原等式右边，$3x + 5 - (3x - 7) = 3x + 5 - 3x + 7 = 12$，刚好等于目标等式的右边，符合要求。
【答案】
$3x-7$
【知识点】
等式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，解题核心是明确等式变形前后左右两边的对应关系，计算时要注意减去多项式时符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
12 根据题意列方程，并用等式的性质解方程：
（1）小江买了8个莲蓬，付了50元，找回了38元，则每个莲蓬的价格为多少元？
（2）甲工厂有某种原料120 t，乙工厂有同样的原料96 t，甲工厂每天用15 t，乙工厂每天用9 t，多少天后两个工厂剩下的原料一样多？
（1）小江买了8个莲蓬，付了50元，找回了38元，则每个莲蓬的价格为多少元？
（2）甲工厂有某种原料120 t，乙工厂有同样的原料96 t，甲工厂每天用15 t，乙工厂每天用9 t，多少天后两个工厂剩下的原料一样多？
答案
12.（1）设每个莲蓬的价格为$x$元. 根据题意,列得方程$8x+38=50$,解得$x=1.5$ （2）设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多. 根据题意,列得方程$120-15x=96-9x$,解得$x=4$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要找准等量关系：8个莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数。设每个莲蓬的价格为x元，对照等量关系列出方程后，再利用等式的性质逐步变形即可求出未知数的值。
（2）解决第二问的核心等量关系是：x天后甲工厂剩余原料质量=x天后乙工厂剩余原料质量。工厂剩余原料=原有原料质量-每天使用量×使用天数，设x天后两厂剩余原料相等，对照等量关系列方程，再用等式的性质求解即可。
【解析】
（1）解：设每个莲蓬的价格为$x$元。
根据题意列方程：$8x + 38 = 50$
根据等式的性质1，等式两边同时减去38，得：
$8x + 38 - 38 = 50 - 38$
化简得：$8x = 12$
根据等式的性质2，等式两边同时除以8，得：
$8x ÷ 8 = 12 ÷ 8$
解得：$x = 1.5$
（2）解：设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多。
根据题意列方程：$120 - 15x = 96 - 9x$
根据等式的性质1，等式两边同时加上$15x$，得：
$120 - 15x + 15x = 96 - 9x + 15x$
化简得：$120 = 96 + 6x$
再根据等式的性质1，等式两边同时减去96，得：
$120 - 96 = 96 + 6x - 96$
化简得：$24 = 6x$
根据等式的性质2，等式两边同时除以6，得：
$24 ÷ 6 = 6x ÷ 6$
解得：$x = 4$
【答案】
（1）设每个莲蓬的价格为$x$元，列方程为$8x+38=50$，解得$x=1.5$；
（2）设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多，列方程为$120-15x=96-9x$，解得$x=4$
【知识点】
一元一次方程的实际应用，等式的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是从题干中提取有效信息找准等量关系，列方程后严格按照等式的性质规范求解，能够锻炼学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要找准等量关系：8个莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数。设每个莲蓬的价格为x元，对照等量关系列出方程后，再利用等式的性质逐步变形即可求出未知数的值。
（2）解决第二问的核心等量关系是：x天后甲工厂剩余原料质量=x天后乙工厂剩余原料质量。工厂剩余原料=原有原料质量-每天使用量×使用天数，设x天后两厂剩余原料相等，对照等量关系列方程，再用等式的性质求解即可。
【解析】
（1）解：设每个莲蓬的价格为$x$元。
根据题意列方程：$8x + 38 = 50$
根据等式的性质1，等式两边同时减去38，得：
$8x + 38 - 38 = 50 - 38$
化简得：$8x = 12$
根据等式的性质2，等式两边同时除以8，得：
$8x ÷ 8 = 12 ÷ 8$
解得：$x = 1.5$
（2）解：设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多。
根据题意列方程：$120 - 15x = 96 - 9x$
根据等式的性质1，等式两边同时加上$15x$，得：
$120 - 15x + 15x = 96 - 9x + 15x$
化简得：$120 = 96 + 6x$
再根据等式的性质1，等式两边同时减去96，得：
$120 - 96 = 96 + 6x - 96$
化简得：$24 = 6x$
根据等式的性质2，等式两边同时除以6，得：
$24 ÷ 6 = 6x ÷ 6$
解得：$x = 4$
【答案】
（1）设每个莲蓬的价格为$x$元，列方程为$8x+38=50$，解得$x=1.5$；
（2）设$x$天后两个工厂剩下的原料一样多，列方程为$120-15x=96-9x$，解得$x=4$
【知识点】
一元一次方程的实际应用，等式的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是从题干中提取有效信息找准等量关系，列方程后严格按照等式的性质规范求解，能够锻炼学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
13 新考向 探究题 阅读下列材料：
将$0.\dot{8}$表示成分数的形式. 小明的探究过程如下:设$x=0.\dot{8}$①,所以$10x=10×0.\dot{8}$②.所以$10x=8.\dot{8}$③.所以$10x=8+0.\dot{8}$④.所以$10x=8+x$⑤.所以$9x=8$⑥.所以$x=\frac{8}{9}$⑦.
根据材料,解答问题:
(1)从步骤①到步骤②,依据是
(2)仿照上述探究过程,请你将$0.\ddot{36}$表示成分数的形式.
将$0.\dot{8}$表示成分数的形式. 小明的探究过程如下:设$x=0.\dot{8}$①,所以$10x=10×0.\dot{8}$②.所以$10x=8.\dot{8}$③.所以$10x=8+0.\dot{8}$④.所以$10x=8+x$⑤.所以$9x=8$⑥.所以$x=\frac{8}{9}$⑦.
根据材料,解答问题:
(1)从步骤①到步骤②,依据是
等式的性质2
,从步骤⑤到步骤⑥,依据是等式的性质1
;(2)仿照上述探究过程,请你将$0.\ddot{36}$表示成分数的形式.
答案
13.（1）等式的性质2 等式的性质1 （2）设$0.\ddot{36}=x$,所以$100x=100×0.\ddot{36}$.所以$100x=36.\ddot{36}$.所以$100x=36+0.\ddot{36}$.所以$100x=36+x$.所以$99x=36$.所以$x=\frac{4}{11}$
解析
【分析】
（1）首先明确等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。步骤①到②是等式两边同时乘10，对应等式性质2；步骤⑤到⑥是等式两边同时减x，对应等式性质1。
（2）观察$0.\ddot{36}$的循环节为2位，参照题中1位循环小数乘10消去循环部分的思路，2位循环小数需要乘100，使乘完之后的小数部分和原循环小数完全相同，再将小数部分替换为设的未知数x，转化为一元一次方程求解，即可得到对应的分数形式。
【解析】
（1）从步骤①到步骤②，等式两边同时乘10，依据是等式的性质2；从步骤⑤到步骤⑥，等式两边同时减x，依据是等式的性质1。
（2）设$0.\ddot{36}=x$，
根据等式的性质2，两边同时乘100，得$100x=100×0.\ddot{36}$，
即$100x=36.\ddot{36}$，
因为$36.\ddot{36}=36+0.\ddot{36}$，所以$100x=36+x$，
根据等式的性质1，两边同时减x，得$99x=36$，
系数化为1，得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
（1）等式的性质2 等式的性质1
（2）设$0.\ddot{36}=x$,所以$100x=100×0.\ddot{36}$.所以$100x=36.\ddot{36}$.所以$100x=36+0.\ddot{36}$.所以$100x=36+x$.所以$99x=36$.所以$x=\frac{4}{11}$
【知识点】
等式的性质、解一元一次方程、无限循环小数化分数
【点评】
本题属于探究类新情境题，以基础知识点为载体，通过给出示例引导学生迁移方法解决新问题，既考查了对等式性质的理解和应用，也锻炼了学生的模仿迁移能力与运算能力，贴合对应用意识的考查要求。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确等式的两个基本性质：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。步骤①到②是等式两边同时乘10，对应等式性质2；步骤⑤到⑥是等式两边同时减x，对应等式性质1。
（2）观察$0.\ddot{36}$的循环节为2位，参照题中1位循环小数乘10消去循环部分的思路，2位循环小数需要乘100，使乘完之后的小数部分和原循环小数完全相同，再将小数部分替换为设的未知数x，转化为一元一次方程求解，即可得到对应的分数形式。
【解析】
（1）从步骤①到步骤②，等式两边同时乘10，依据是等式的性质2；从步骤⑤到步骤⑥，等式两边同时减x，依据是等式的性质1。
（2）设$0.\ddot{36}=x$，
根据等式的性质2，两边同时乘100，得$100x=100×0.\ddot{36}$，
即$100x=36.\ddot{36}$，
因为$36.\ddot{36}=36+0.\ddot{36}$，所以$100x=36+x$，
根据等式的性质1，两边同时减x，得$99x=36$，
系数化为1，得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
（1）等式的性质2 等式的性质1
（2）设$0.\ddot{36}=x$,所以$100x=100×0.\ddot{36}$.所以$100x=36.\ddot{36}$.所以$100x=36+0.\ddot{36}$.所以$100x=36+x$.所以$99x=36$.所以$x=\frac{4}{11}$
【知识点】
等式的性质、解一元一次方程、无限循环小数化分数
【点评】
本题属于探究类新情境题，以基础知识点为载体，通过给出示例引导学生迁移方法解决新问题，既考查了对等式性质的理解和应用，也锻炼了学生的模仿迁移能力与运算能力，贴合对应用意识的考查要求。
【难度系数】
0.7
