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11 若$(3a - 1)x^2 + ax -7 =1$是关于x的一元一次方程，则a的值为
$\frac{1}{3}$
。答案
11. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，同时含未知数的项的系数不为0的整式方程。本题给出的方程中含$x^2$项，要使方程为一元一次方程，首先要让二次项的系数为0，消除二次项，同时还要保证剩余的一次项系数不为0，据此列等式求解即可。
【解析】
因为$(3a - 1)x^2 + ax -7 =1$是关于$x$的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
1. 二次项系数为0，即$3a-1=0$
解该式：移项得$3a=1$，系数化为1得$a=\frac{1}{3}$
2. 验证一次项系数：当$a=\frac{1}{3}$时，一次项系数$a=\frac{1}{3}≠0$，满足一元一次方程的要求。
综上，$a$的值为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题核心考查一元一次方程的判定，解题关键是牢记一元一次方程的限制条件：未知数最高次数为1，且对应最高次项的系数不能为0，避免遗漏系数限制导致出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，同时含未知数的项的系数不为0的整式方程。本题给出的方程中含$x^2$项，要使方程为一元一次方程，首先要让二次项的系数为0，消除二次项，同时还要保证剩余的一次项系数不为0，据此列等式求解即可。
【解析】
因为$(3a - 1)x^2 + ax -7 =1$是关于$x$的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
1. 二次项系数为0，即$3a-1=0$
解该式：移项得$3a=1$，系数化为1得$a=\frac{1}{3}$
2. 验证一次项系数：当$a=\frac{1}{3}$时，一次项系数$a=\frac{1}{3}≠0$，满足一元一次方程的要求。
综上，$a$的值为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题核心考查一元一次方程的判定，解题关键是牢记一元一次方程的限制条件：未知数最高次数为1，且对应最高次项的系数不能为0，避免遗漏系数限制导致出错。
【难度系数】
0.8
12（易错题）若关于$x$的方程$(m-1)x^{|m|}+4=0$是一元一次方程，则$m=$
$-1$
.答案
12. $-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的判定条件：一是方程只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含未知数的项的系数不能为0。我们可以先根据“未知数最高次数为1”列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合“系数不为0”的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
解：已知方程$(m-1)x^{|m|}+4=0$是一元一次方程，根据一元一次方程的定义：
1. 未知数的最高次数为1，可得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 含未知数的项的系数不能为0，否则方程不含一次项，不满足一元一次方程的要求，因此$m-1≠0$，即$m≠1$。
结合两个条件，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是易错题，常见错误是只考虑未知数的次数为1，忽略一次项系数不能为0的要求，从而误填$m=1$，解题时要注意同时满足一元一次方程的所有判定条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的判定条件：一是方程只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含未知数的项的系数不能为0。我们可以先根据“未知数最高次数为1”列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合“系数不为0”的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
解：已知方程$(m-1)x^{|m|}+4=0$是一元一次方程，根据一元一次方程的定义：
1. 未知数的最高次数为1，可得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 含未知数的项的系数不能为0，否则方程不含一次项，不满足一元一次方程的要求，因此$m-1≠0$，即$m≠1$。
结合两个条件，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是易错题，常见错误是只考虑未知数的次数为1，忽略一次项系数不能为0的要求，从而误填$m=1$，解题时要注意同时满足一元一次方程的所有判定条件。
【难度系数】
0.6
13 已知$x=3$是关于$x$的方程$\frac{4}{3}x - a = 1$的解，则$2a -8$的值是
$-2$
。答案
13. $-2$
解析
【分析】
本题可按照两步思路求解：第一步，根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将x=3代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解出a的值；第二步，把求得的a的值代入代数式2a-8，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x=3$是方程$\frac{4}{3}x - a = 1$的解
∴将$x=3$代入方程，得：
$\frac{4}{3}×3 - a = 1$
化简得：$4 - a = 1$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$2a - 8$，得：
$2×3 - 8 = 6 - 8 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
方程的解的定义、解一元一次方程、代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程的解的概念的应用，掌握代入法求参数、代数式求值的基本方法即可顺利求解，主要检验学生的基础运算能力和对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.85
本题可按照两步思路求解：第一步，根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将x=3代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解出a的值；第二步，把求得的a的值代入代数式2a-8，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x=3$是方程$\frac{4}{3}x - a = 1$的解
∴将$x=3$代入方程，得：
$\frac{4}{3}×3 - a = 1$
化简得：$4 - a = 1$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$2a - 8$，得：
$2×3 - 8 = 6 - 8 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
方程的解的定义、解一元一次方程、代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程的解的概念的应用，掌握代入法求参数、代数式求值的基本方法即可顺利求解，主要检验学生的基础运算能力和对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.85
14 整式$ mx + 2n $的值随$ x $的取值不同而不同，下表是当$ x $取不同值时对应的整式值，则关于$ x $的方程$ -mx - 2n = 4 $的解为
$x=0$
。答案
14. $x=0$
解析
【分析】
要解关于$x$的方程$-mx-2n=4$，我们可以先利用等式的性质对其变形，转化为表格中给出的整式$mx+2n$等于某个值的形式，再对照表格找到对应$x$的取值即可；也可以先根据表格给出的$x$和整式的值求出参数$m$、$n$，再代入方程求解，第一种方法更为简便。
【解析】
方法一：对$-mx-2n=4$变形，等式两边同时乘$-1$，得：
$mx+2n=-4$
观察表格可知，当$mx+2n=-4$时，对应的$x$的值为$0$，因此方程$-mx-2n=4$的解为$x=0$。
方法二：根据表格，当$x=0$时，$mx+2n=2n=-4$，解得$n=-2$；
当$x=-1$时，$mx+2n=-m+2n=0$，把$n=-2$代入得：$-m+2×(-2)=0$，解得$m=-4$；
把$m=-4$，$n=-2$代入方程$-mx-2n=4$，得：
$-(-4)x -2×(-2)=4$
化简得：$4x+4=4$
解得$x=0$。
【答案】
$x=0$
【知识点】
等式的性质，方程的解，代数式求值
【点评】
本题解题方法灵活，既可以通过转化直接利用表格信息快速求解，也可以先求出参数再解方程，考查对基础概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
要解关于$x$的方程$-mx-2n=4$，我们可以先利用等式的性质对其变形，转化为表格中给出的整式$mx+2n$等于某个值的形式，再对照表格找到对应$x$的取值即可；也可以先根据表格给出的$x$和整式的值求出参数$m$、$n$，再代入方程求解，第一种方法更为简便。
【解析】
方法一：对$-mx-2n=4$变形，等式两边同时乘$-1$，得：
$mx+2n=-4$
观察表格可知，当$mx+2n=-4$时，对应的$x$的值为$0$，因此方程$-mx-2n=4$的解为$x=0$。
方法二：根据表格，当$x=0$时，$mx+2n=2n=-4$，解得$n=-2$；
当$x=-1$时，$mx+2n=-m+2n=0$，把$n=-2$代入得：$-m+2×(-2)=0$，解得$m=-4$；
把$m=-4$，$n=-2$代入方程$-mx-2n=4$，得：
$-(-4)x -2×(-2)=4$
化简得：$4x+4=4$
解得$x=0$。
【答案】
$x=0$
【知识点】
等式的性质，方程的解，代数式求值
【点评】
本题解题方法灵活，既可以通过转化直接利用表格信息快速求解，也可以先求出参数再解方程，考查对基础概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
15 已知方程$(|m|-2)x^2-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程.
（1）求$m$的值；
（2）判断$x=-\dfrac{3}{2}$是不是该方程的解.
（1）求$m$的值；
（2）判断$x=-\dfrac{3}{2}$是不是该方程的解.
答案
15. (1) 由题意,得$|m|-2=0,m+2≠0$,解得$m=2$ (2) 由(1)知,原方程为$-4x-6=0$. 将$x=-\frac{3}{2}$代入方程,左边$=-4×(-\frac{3}{2})-6=0$,左边=右边,所以$x=-\frac{3}{2}$是该方程的解
解析
【分析】
（1）求m的值需要结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1、且未知数的系数不为0。本题中原方程带有二次项，要满足一元一次方程的要求，首先二次项系数必须为0，即$|m|-2=0$；同时一次项系数不能为0，即$m+2≠0$，联立两个条件就能求出m的取值。
（2）判断一个数是不是方程的解，核心方法是代入验证：将该数值代入方程左右两边，若计算后左边等于右边，则该数是方程的解，反之则不是。先把第（1）问求出的m代入原方程得到具体的一元一次方程，再将$x=-\dfrac{3}{2}$代入计算，对比左右两边结果即可判断。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，可列条件：
$\begin{cases}|m|-2=0 \\m+2≠0\end{cases}$
解$|m|-2=0$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
结合$m+2≠0$，即$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原方程，化简得：
$-4x-6=0$
把$x=-\dfrac{3}{2}$代入方程左边计算：
左边$=-4×(-\dfrac{3}{2})-6=6-6=0$，和右边数值相等，因此$x=-\dfrac{3}{2}$是该方程的解。
【答案】
(1) $m=2$；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$是该方程的解
【知识点】
一元一次方程的定义，方程的解的检验，绝对值的运算
【点评】
本题属于一元一次方程的基础题型，解题的易错点是容易遗漏一次项系数不为0的条件，导致多解。代入检验方程解的方法是方程类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
（1）求m的值需要结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1、且未知数的系数不为0。本题中原方程带有二次项，要满足一元一次方程的要求，首先二次项系数必须为0，即$|m|-2=0$；同时一次项系数不能为0，即$m+2≠0$，联立两个条件就能求出m的取值。
（2）判断一个数是不是方程的解，核心方法是代入验证：将该数值代入方程左右两边，若计算后左边等于右边，则该数是方程的解，反之则不是。先把第（1）问求出的m代入原方程得到具体的一元一次方程，再将$x=-\dfrac{3}{2}$代入计算，对比左右两边结果即可判断。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，可列条件：
$\begin{cases}|m|-2=0 \\m+2≠0\end{cases}$
解$|m|-2=0$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
结合$m+2≠0$，即$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原方程，化简得：
$-4x-6=0$
把$x=-\dfrac{3}{2}$代入方程左边计算：
左边$=-4×(-\dfrac{3}{2})-6=6-6=0$，和右边数值相等，因此$x=-\dfrac{3}{2}$是该方程的解。
【答案】
(1) $m=2$；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$是该方程的解
【知识点】
一元一次方程的定义，方程的解的检验，绝对值的运算
【点评】
本题属于一元一次方程的基础题型，解题的易错点是容易遗漏一次项系数不为0的条件，导致多解。代入检验方程解的方法是方程类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
16 已知关于$x$的方程$(m+5)x^{|m|-4}+18=0$是一元一次方程.求：
(1) $m$的值；
(2) 代数式$5x-3m$的值.
(1) $m$的值；
(2) 代数式$5x-3m$的值.
答案
16. (1) 由题意,得$|m|-4=1,m+5≠0$,解得$m=5$ (2) 当$m=5$时,方程为$10x+18=0$,所以$5x=-9$. 所以$5x-3m=-9-3×5=-24$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程。
（1）求m的值时，需要同时满足两个条件：一是未知数x的次数等于1，即$|m|-4=1$；二是x的系数不能为0，即$m+5≠0$，联立两个条件就能求出m的取值。
（2）求代数式$5x-3m$的值时，先把求得的m代入原方程，解出$5x$的值（不需要单独求x，整体代入更简便），再把$5x$和m的值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|-4=1 \\m+5≠ 0\end{cases}$
解$|m|-4=1$，得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$。
又因为$m+5≠ 0$，即$m≠ -5$，所以$m=5$。
(2) 将$m=5$代入原方程，得：
$(5+5)x +18=0$，即$10x+18=0$。
等式两边同时除以2，得$5x=-9$。
将$5x=-9$，$m=5$代入$5x-3m$，得：
$5x-3m=-9 - 3×5 = -9-15=-24$。
【答案】
(1) $m=5$；(2) $-24$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，解题时需注意一次项系数不为0是容易忽略的隐含条件，第二问采用整体代入的方法计算$5x-3m$，可以简化运算步骤，提高正确率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程。
（1）求m的值时，需要同时满足两个条件：一是未知数x的次数等于1，即$|m|-4=1$；二是x的系数不能为0，即$m+5≠0$，联立两个条件就能求出m的取值。
（2）求代数式$5x-3m$的值时，先把求得的m代入原方程，解出$5x$的值（不需要单独求x，整体代入更简便），再把$5x$和m的值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|-4=1 \\m+5≠ 0\end{cases}$
解$|m|-4=1$，得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$。
又因为$m+5≠ 0$，即$m≠ -5$，所以$m=5$。
(2) 将$m=5$代入原方程，得：
$(5+5)x +18=0$，即$10x+18=0$。
等式两边同时除以2，得$5x=-9$。
将$5x=-9$，$m=5$代入$5x-3m$，得：
$5x-3m=-9 - 3×5 = -9-15=-24$。
【答案】
(1) $m=5$；(2) $-24$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，解题时需注意一次项系数不为0是容易忽略的隐含条件，第二问采用整体代入的方法计算$5x-3m$，可以简化运算步骤，提高正确率。
【难度系数】
0.8
17 如图所示为2026年1月的月历.
（1）任意选取一横行上相邻的三个数（如涂色部分所示），如果设最小的数为x，那么另外两个数分别为
（2）设这三个数的和为63，列出符合题意的方程；
（3）在数19,20,21,22中有一个数是（2）中所列方程的解，请找出这个数，并检验.
（1）任意选取一横行上相邻的三个数（如涂色部分所示），如果设最小的数为x，那么另外两个数分别为
$x+1,x+2$
；（2）设这三个数的和为63，列出符合题意的方程；
（3）在数19,20,21,22中有一个数是（2）中所列方程的解，请找出这个数，并检验.
答案
17. (1) $x+1,x+2$ (2) 由(1),得$x+(x+1)+(x+2)=63$ (3) 20是(2)中方程的解. 检验: 当$x=20$时,方程的左边$=20+(20+1)+(20+2)=20+21+22=63$,右边$=63$,方程左、右两边的值相等,所以$x=20$是所列方程的解
解析
【分析】
1. 解决第(1)问首先观察月历横行数字的规律：同一横行相邻两个数相差1，最小的数为x，后一个数比前一个数大1，即可推出另外两个数的表达式；
2. 第(2)问根据三个数的和为63的等量关系，将三个数相加等于63，即可列出方程；
3. 第(3)问可将给出的4个数依次代入方程左边计算，若计算结果等于右边的63，这个数就是方程的解，再按照方程解的检验步骤验证即可。
【解析】
(1) 观察月历可知，同一横行相邻两数的差是1，设最小的数为x，则中间的数比x大1，为$x+1$，最大的数比x大2，为$x+2$；
(2) 已知三个数的和为63，将三个数相加可列方程：$x+(x+1)+(x+2)=63$；
(3) 我们依次将19、20、21、22代入方程左边计算：
当$x=19$时，左边$=19+20+21=60≠63$，不是方程的解；
当$x=20$时，左边$=20+21+22=63$，与右边相等；
当$x=21$时，左边$=21+22+23=66≠63$，不是方程的解；
当$x=22$时，左边$=22+23+24=69≠63$，不是方程的解。
检验：把$x=20$代入方程，左边$=20+(20+1)+(20+2)=63$，右边$=63$，左右两边的值相等，因此$x=20$是所列方程的解。
【答案】
(1) $x+1,x+2$
(2) $x+(x+1)+(x+2)=63$
(3) 20是(2)中方程的解。检验: 当$x=20$时,方程的左边$=20+(20+1)+(20+2)=20+21+22=63$,右边$=63$,方程左、右两边的值相等,所以$x=20$是所列方程的解
【知识点】
月历数字规律、列一元一次方程、方程的解的检验
【点评】
本题结合生活中的月历场景出题，既考察了对数字规律的观察总结能力，又考察了一元一次方程列写和方程解检验的基础知识点，题型新颖易懂，注重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
1. 解决第(1)问首先观察月历横行数字的规律：同一横行相邻两个数相差1，最小的数为x，后一个数比前一个数大1，即可推出另外两个数的表达式；
2. 第(2)问根据三个数的和为63的等量关系，将三个数相加等于63，即可列出方程；
3. 第(3)问可将给出的4个数依次代入方程左边计算，若计算结果等于右边的63，这个数就是方程的解，再按照方程解的检验步骤验证即可。
【解析】
(1) 观察月历可知，同一横行相邻两数的差是1，设最小的数为x，则中间的数比x大1，为$x+1$，最大的数比x大2，为$x+2$；
(2) 已知三个数的和为63，将三个数相加可列方程：$x+(x+1)+(x+2)=63$；
(3) 我们依次将19、20、21、22代入方程左边计算：
当$x=19$时，左边$=19+20+21=60≠63$，不是方程的解；
当$x=20$时，左边$=20+21+22=63$，与右边相等；
当$x=21$时，左边$=21+22+23=66≠63$，不是方程的解；
当$x=22$时，左边$=22+23+24=69≠63$，不是方程的解。
检验：把$x=20$代入方程，左边$=20+(20+1)+(20+2)=63$，右边$=63$，左右两边的值相等，因此$x=20$是所列方程的解。
【答案】
(1) $x+1,x+2$
(2) $x+(x+1)+(x+2)=63$
(3) 20是(2)中方程的解。检验: 当$x=20$时,方程的左边$=20+(20+1)+(20+2)=20+21+22=63$,右边$=63$,方程左、右两边的值相等,所以$x=20$是所列方程的解
【知识点】
月历数字规律、列一元一次方程、方程的解的检验
【点评】
本题结合生活中的月历场景出题，既考察了对数字规律的观察总结能力，又考察了一元一次方程列写和方程解检验的基础知识点，题型新颖易懂，注重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
