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1. 新趋势 数学文化 在我国数学史中，记载着古人用简短的语言对圆的研究。（
A.“圆，一中同长也”
B.“圆出于方，方出于矩”
C.“没有规矩，不成方圆”
D.“径一而周三”
A
）描述的是圆心到圆上任意一点的距离都相同，（D
）描述的是圆的周长和直径的关系，（C
）描述的是画圆和正方形的工具。A.“圆，一中同长也”
B.“圆出于方，方出于矩”
C.“没有规矩，不成方圆”
D.“径一而周三”
答案
1. A D C
解析
【分析】
解题时先逐一明确每个选项的含义，再将其和题干的三个描述要求一一匹配即可：首先找对应“圆心到圆上任意一点距离都相等”的描述，再找对应“圆周长和直径关系”的描述，最后找对应“画圆和正方形的工具”的描述，排除不符合的选项就能得出答案。
【解析】
我们先逐个分析选项的含义：
1. 选项A“圆，一中同长也”：“一中”指圆只有一个中心即圆心，“同长”指圆心到圆上任意一点的距离（也就是半径）都相等，正好匹配第一个空的描述。
2. 选项D“径一而周三”：意思是圆的直径如果是1，那么它的周长大约是3，描述的就是圆的周长和直径的倍数关系，匹配第二个空的描述。
3. 选项C“没有规矩，不成方圆”：其中“规”就是画圆的工具圆规，“矩”是画正方形的直角工具，匹配第三个空的描述。
因此三个空依次填入A、D、C。
【答案】
A D C
【知识点】
圆的基本特征；圆周率常识；传统数学文化
【点评】
本题结合我国传统数学文化考查圆的基础知识点，将知识性和文化性结合，既检验了学生对圆核心概念的掌握情况，也能帮助学生了解我国古代的数学研究成果。
【难度系数】
0.8
解题时先逐一明确每个选项的含义，再将其和题干的三个描述要求一一匹配即可：首先找对应“圆心到圆上任意一点距离都相等”的描述，再找对应“圆周长和直径关系”的描述，最后找对应“画圆和正方形的工具”的描述，排除不符合的选项就能得出答案。
【解析】
我们先逐个分析选项的含义：
1. 选项A“圆，一中同长也”：“一中”指圆只有一个中心即圆心，“同长”指圆心到圆上任意一点的距离（也就是半径）都相等，正好匹配第一个空的描述。
2. 选项D“径一而周三”：意思是圆的直径如果是1，那么它的周长大约是3，描述的就是圆的周长和直径的倍数关系，匹配第二个空的描述。
3. 选项C“没有规矩，不成方圆”：其中“规”就是画圆的工具圆规，“矩”是画正方形的直角工具，匹配第三个空的描述。
因此三个空依次填入A、D、C。
【答案】
A D C
【知识点】
圆的基本特征；圆周率常识；传统数学文化
【点评】
本题结合我国传统数学文化考查圆的基础知识点，将知识性和文化性结合，既检验了学生对圆核心概念的掌握情况，也能帮助学生了解我国古代的数学研究成果。
【难度系数】
0.8
2. 右图是残缺的圆形钟面，请在钟面上“12”“1”“2”所对应的三个点中选择合适的两点连成一条线段，使其长度正好等于该圆形钟面的半径，请画出这条线段。若这条线段的两个端点分别为A，B，把这两个端点与钟面的圆心O连接围成三角形AOB，则∠AOB是(
60
)°。答案
2. 连接“12”和“2”对应的两点的线段即为该圆形钟面的半径，
，∠AOB是60°。解析
【分析】
解题时首先回忆钟面的相关特征：整个圆形钟面是周角360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的圆心角是30°。接下来思考：如果弦长等于圆的半径，那么这条弦和两条半径组成的三角形三条边都相等，是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°，说明我们要找的两个点对应的圆心角是60°，60°对应的大格数是60÷30=2个，因此在给出的三个点中找间隔2个大格的两个点即可，也就是12和2对应的点，最后就能算出∠AOB的度数。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的圆心角度数：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格的圆心角=360°÷12=30°。
2. 分析弦长等于半径的情况：圆的半径都相等，若线段AB等于半径，则OA=OB=AB，三角形AOB是等边三角形，因此∠AOB=60°。
3. 对应钟面大格数：60°÷30°=2个大格，观察“12”“1”“2”三个点，“12”和“2”之间正好间隔2个大格，因此连接“12”和“2”对应的点，得到的线段长度等于半径，此时∠AOB就是60°。
【答案】
连接“12”和“2”对应的两点的线段即为该圆形钟面的半径，，∠AOB是60°。
【知识点】
钟面角度计算、等边三角形特征、圆的认识
【点评】
本题结合了钟面、圆和三角形的基础知识点，需要学生将不同知识关联运用，解题的突破口是通过弦长与半径相等推导对应圆心角的度数，再结合钟面刻度的角度特征找到对应点位，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆钟面的相关特征：整个圆形钟面是周角360°，平均分成12个大格，因此每个大格对应的圆心角是30°。接下来思考：如果弦长等于圆的半径，那么这条弦和两条半径组成的三角形三条边都相等，是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°，说明我们要找的两个点对应的圆心角是60°，60°对应的大格数是60÷30=2个，因此在给出的三个点中找间隔2个大格的两个点即可，也就是12和2对应的点，最后就能算出∠AOB的度数。
【解析】
1. 计算钟面每个大格的圆心角度数：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格的圆心角=360°÷12=30°。
2. 分析弦长等于半径的情况：圆的半径都相等，若线段AB等于半径，则OA=OB=AB，三角形AOB是等边三角形，因此∠AOB=60°。
3. 对应钟面大格数：60°÷30°=2个大格，观察“12”“1”“2”三个点，“12”和“2”之间正好间隔2个大格，因此连接“12”和“2”对应的点，得到的线段长度等于半径，此时∠AOB就是60°。
【答案】
连接“12”和“2”对应的两点的线段即为该圆形钟面的半径，
，∠AOB是60°。【知识点】
钟面角度计算、等边三角形特征、圆的认识
【点评】
本题结合了钟面、圆和三角形的基础知识点，需要学生将不同知识关联运用，解题的突破口是通过弦长与半径相等推导对应圆心角的度数，再结合钟面刻度的角度特征找到对应点位，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
3. 新情境 社会生活 游乐场有一个高128米的摩天轮，下面是摩天轮的示意图，摩天轮匀速转动一周需要20分钟，思思从点P进入座舱。
（1）16分钟后，思思最接近A，B，C，P中点(
（2）思思回到点P时，摩天轮上每一个点在空中移动的距离是(
（1）16分钟后，思思最接近A，B，C，P中点(
C
)的位置。（2）思思回到点P时，摩天轮上每一个点在空中移动的距离是(
370.52
)米。答案
3.（1）C （2）370.52
解析
【分析】
（1）解决第一问先明确摩天轮转一周的总时长为20分钟，从P点出发每转到相邻的A、B、C、P点的时间相等，先算出每段路程的耗时，再判断16分钟所处的位置，找到最接近的点。
（2）解决第二问首先明确回到P点就是摩天轮转了一整圈，每个点移动的距离就是摩天轮的周长。先结合图示用总高度减去底部离地面的高度得到摩天轮的直径，再用圆的周长公式计算周长即可。
【解析】
（1）摩天轮转一周需要20分钟，共有P、A、B、C四个等分点，每两个相邻点之间的行驶时间为：$20÷4=5$分钟。
由此可得：5分钟后到达A点，10分钟后到达B点，15分钟后到达C点，20分钟后回到P点。
16分钟比15分钟多1分钟，此时刚过C点1分钟，距离回到P点还有$20-16=4$分钟，因此最接近C点。
（2）思思回到P点时，摩天轮刚好转完1周，每个点移动的距离就是摩天轮的周长。
由图可知，摩天轮最高点到地面高128米，最低点P到地面高10米，因此摩天轮的直径为：$128-10=118$米。
根据圆的周长公式$C=πd$（π取3.14），代入计算得：
$C=3.14×118=370.52$米。
【答案】
（1）C （2）370.52
【知识点】
圆的周长计算，周期问题
【点评】
本题结合生活中摩天轮的实际场景，既考查了周期规律的应用，也考查了圆周长公式在实际问题中的计算，解题时要注意结合图示理解高度对应的含义，不要误将总高当成摩天轮的直径。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问先明确摩天轮转一周的总时长为20分钟，从P点出发每转到相邻的A、B、C、P点的时间相等，先算出每段路程的耗时，再判断16分钟所处的位置，找到最接近的点。
（2）解决第二问首先明确回到P点就是摩天轮转了一整圈，每个点移动的距离就是摩天轮的周长。先结合图示用总高度减去底部离地面的高度得到摩天轮的直径，再用圆的周长公式计算周长即可。
【解析】
（1）摩天轮转一周需要20分钟，共有P、A、B、C四个等分点，每两个相邻点之间的行驶时间为：$20÷4=5$分钟。
由此可得：5分钟后到达A点，10分钟后到达B点，15分钟后到达C点，20分钟后回到P点。
16分钟比15分钟多1分钟，此时刚过C点1分钟，距离回到P点还有$20-16=4$分钟，因此最接近C点。
（2）思思回到P点时，摩天轮刚好转完1周，每个点移动的距离就是摩天轮的周长。
由图可知，摩天轮最高点到地面高128米，最低点P到地面高10米，因此摩天轮的直径为：$128-10=118$米。
根据圆的周长公式$C=πd$（π取3.14），代入计算得：
$C=3.14×118=370.52$米。
【答案】
（1）C （2）370.52
【知识点】
圆的周长计算，周期问题
【点评】
本题结合生活中摩天轮的实际场景，既考查了周期规律的应用，也考查了圆周长公式在实际问题中的计算，解题时要注意结合图示理解高度对应的含义，不要误将总高当成摩天轮的直径。
【难度系数】
0.7
4. 
为两个大小不同、相互啮合的齿轮，大齿轮的半径是24 cm，小齿轮的半径是8 cm，大齿轮转动一周，小齿轮要转动（
为两个大小不同、相互啮合的齿轮，大齿轮的半径是24 cm，小齿轮的半径是8 cm，大齿轮转动一周，小齿轮要转动（3
）周。答案
4. 3
解析
【分析】
相互啮合的两个齿轮，转动过程中相同时间内齿轮边缘走过的总长度是相等的。要求大齿轮转动1周时小齿轮转动的周数，首先要分别算出大、小齿轮的周长，再用大齿轮的周长除以小齿轮的周长，得到的就是小齿轮需要转动的周数。因为圆的周长和半径成正比，也可以直接用两个齿轮的半径比来计算，简化计算过程。
【解析】
根据圆的周长公式$C=2π r$分别计算两个齿轮的周长：
大齿轮周长：$C_{大}=2×π×24=48π$（cm）
小齿轮周长：$C_{小}=2×π×8=16π$（cm）
由于啮合齿轮转动时走过的总长度相等，大齿轮转1周的长度就是大齿轮的周长，因此小齿轮转动的周数为：
$48π÷16π=3$（周）
（也可简化计算：周长比等于半径比，直接用$24÷8=3$得到结果）
【答案】
3
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 等量关系应用
【点评】
本题结合生活中常见的齿轮传动场景考查圆周长的实际应用，解题的核心是抓住“啮合齿轮转动时边缘走过的总长度相等”这一隐含条件，不需要复杂计算，掌握圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
相互啮合的两个齿轮，转动过程中相同时间内齿轮边缘走过的总长度是相等的。要求大齿轮转动1周时小齿轮转动的周数，首先要分别算出大、小齿轮的周长，再用大齿轮的周长除以小齿轮的周长，得到的就是小齿轮需要转动的周数。因为圆的周长和半径成正比，也可以直接用两个齿轮的半径比来计算，简化计算过程。
【解析】
根据圆的周长公式$C=2π r$分别计算两个齿轮的周长：
大齿轮周长：$C_{大}=2×π×24=48π$（cm）
小齿轮周长：$C_{小}=2×π×8=16π$（cm）
由于啮合齿轮转动时走过的总长度相等，大齿轮转1周的长度就是大齿轮的周长，因此小齿轮转动的周数为：
$48π÷16π=3$（周）
（也可简化计算：周长比等于半径比，直接用$24÷8=3$得到结果）
【答案】
3
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 等量关系应用
【点评】
本题结合生活中常见的齿轮传动场景考查圆周长的实际应用，解题的核心是抓住“啮合齿轮转动时边缘走过的总长度相等”这一隐含条件，不需要复杂计算，掌握圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 新情境 生活应用 苗苗测量一个圆形徽章的周长时，先把徽章放在直尺上量了量（如图），然后让徽章滚动了一周。你知道这个圆形徽章的周长是多少厘米吗？
答案
5. $7.5-5=2.5(\mathrm{cm})$ $3.14×2.5=7.85(\mathrm{cm})$
答:这个圆形徽章的周长是7.85 cm。
答:这个圆形徽章的周长是7.85 cm。
解析
【分析】
要计算圆形徽章的周长，首先需要获取徽章的直径。观察测量图示，徽章的左端对齐直尺的5cm刻度，右端对齐7.5cm刻度，由于测量不是从0刻度开始，因此用右端刻度减去左端刻度就能得到徽章的直径。再根据圆的周长公式“圆的周长=π×直径”，代入直径数值即可算出周长。
【解析】
第一步：计算圆形徽章的直径
$7.5-5=2.5(\mathrm{cm})$
第二步：根据圆的周长公式计算周长，π取3.14
$3.14×2.5=7.85(\mathrm{cm})$
【答案】
这个圆形徽章的周长是7.85 cm。
【知识点】
长度测量、圆的周长计算
【点评】
本题结合生活实际测量场景，既考查了非零起始刻度的长度读数方法，又考查了圆周长公式的应用，需要学生将所学知识结合实际情境灵活运用。
【难度系数】
0.75
要计算圆形徽章的周长，首先需要获取徽章的直径。观察测量图示，徽章的左端对齐直尺的5cm刻度，右端对齐7.5cm刻度，由于测量不是从0刻度开始，因此用右端刻度减去左端刻度就能得到徽章的直径。再根据圆的周长公式“圆的周长=π×直径”，代入直径数值即可算出周长。
【解析】
第一步：计算圆形徽章的直径
$7.5-5=2.5(\mathrm{cm})$
第二步：根据圆的周长公式计算周长，π取3.14
$3.14×2.5=7.85(\mathrm{cm})$
【答案】
这个圆形徽章的周长是7.85 cm。
【知识点】
长度测量、圆的周长计算
【点评】
本题结合生活实际测量场景，既考查了非零起始刻度的长度读数方法，又考查了圆周长公式的应用，需要学生将所学知识结合实际情境灵活运用。
【难度系数】
0.75
6. 张叔叔骑车去湿地公园游玩，途中需要骑车通过一座长1800米的大桥，如果车轮平均每分钟转80圈，那么他10分钟能通过这座大桥吗？（自行车的长忽略不计）
答案
6. $3.14×0.75=2.355(\mathrm{米})$
$2.355×80×10=1884(\mathrm{米})$ $1884＞1800$
答:他10分钟能通过这座大桥。
$2.355×80×10=1884(\mathrm{米})$ $1884＞1800$
答:他10分钟能通过这座大桥。
解析
【分析】
要判断10分钟能否通过大桥，核心是比较张叔叔10分钟骑行的总路程和大桥长度的大小关系。解题思路如下：首先车轮转动1圈前进的距离就是车轮的周长，可通过圆的周长公式先算出车轮周长；再用周长乘每分钟转的圈数得到每分钟骑行的距离；再乘10得到10分钟的总骑行路程；最后将总路程和桥长1800米对比，总路程更长就能通过，反之则不能。
【解析】
1. 计算车轮的周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入直径$d=0.75米：$3.14×0.75=2.355$（米）2. 计算10分钟骑行的总路程：$2.355×80×10=1884$（米）3. 路程对比：$1884＞1800，说明10分钟骑行的路程超过了大桥长度。
答：他10分钟能通过这座大桥。
【答案】
他10分钟能通过这座大桥。
【知识点】
圆的周长计算、行程问题应用、数的大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，把圆周长知识和行程计算结合，解题关键是理解车轮转一圈前进的距离等于自身周长，计算过程中注意小数点的位置，避免运算出错。
【难度系数】
0.75
要判断10分钟能否通过大桥，核心是比较张叔叔10分钟骑行的总路程和大桥长度的大小关系。解题思路如下：首先车轮转动1圈前进的距离就是车轮的周长，可通过圆的周长公式先算出车轮周长；再用周长乘每分钟转的圈数得到每分钟骑行的距离；再乘10得到10分钟的总骑行路程；最后将总路程和桥长1800米对比，总路程更长就能通过，反之则不能。
【解析】
1. 计算车轮的周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入直径$d=0.75米：$3.14×0.75=2.355$（米）2. 计算10分钟骑行的总路程：$2.355×80×10=1884$（米）3. 路程对比：$1884＞1800，说明10分钟骑行的路程超过了大桥长度。
答：他10分钟能通过这座大桥。
【答案】
他10分钟能通过这座大桥。
【知识点】
圆的周长计算、行程问题应用、数的大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，把圆周长知识和行程计算结合，解题关键是理解车轮转一圈前进的距离等于自身周长，计算过程中注意小数点的位置，避免运算出错。
【难度系数】
0.75
三、圆的面积计算公式的推导及实际应用
7. 如图，将一个圆沿着半径平均分成若干份，然后剪拼成一个近似的长方形。长方形的周长是49.68 cm，圆的直径是多少厘米？面积是多少平方厘米？
7. 如图，将一个圆沿着半径平均分成若干份，然后剪拼成一个近似的长方形。长方形的周长是49.68 cm，圆的直径是多少厘米？面积是多少平方厘米？
答案
7. $49.68÷(2+3.14×2)=6(\mathrm{cm})$ $6×2=12(\mathrm{cm})$
$3.14×6^2=113.04(\mathrm{cm}^2)$
答:圆的直径是12 cm,面积是$113.04\ \mathrm{cm}^2$。
解析:根据题图,可以知道长方形的周长就是圆的周长与2条半径长度的总和。由此可以求出这个圆的半径,进而求出圆的直径和面积。
$3.14×6^2=113.04(\mathrm{cm}^2)$
答:圆的直径是12 cm,面积是$113.04\ \mathrm{cm}^2$。
解析:根据题图,可以知道长方形的周长就是圆的周长与2条半径长度的总和。由此可以求出这个圆的半径,进而求出圆的直径和面积。
解析
【分析】
首先回忆圆剪拼成近似长方形的对应关系：近似长方形的宽等于圆的半径r，近似长方形的长等于圆周长的一半，也就是πr。长方形的周长公式是（长+宽）×2，代入对应关系可得：长方形周长=（πr + r）×2 = 2πr + 2r，也就是长方形周长等于圆的周长加上2条半径的长度之和。已知长方形周长是49.68cm，我们可以先求出半径r，再根据直径=2×半径、圆的面积=πr²分别计算直径和面积即可。
【解析】
设圆的半径为r cm，根据圆剪拼成近似长方形的对应关系：
长方形的长=圆周长的一半=3.14r，长方形的宽=r
长方形周长=(3.14r + r)×2 = 49.68
整理得：r×(3.14×2 + 2) = 49.68
计算括号内的值：3.14×2+2=8.28
则半径r=49.68÷8.28=6(cm)
圆的直径：6×2=12(cm)
圆的面积：3.14×6²=3.14×36=113.04(cm²)
【答案】
圆的直径是12 cm，面积是113.04 cm²。
【知识点】
圆面积推导原理，圆的周长计算，圆的面积计算
【点评】
本题是圆面积公式推导相关的典型题型，解题关键是理清圆剪拼成近似长方形后，长方形的周长、边长与圆的半径、周长的对应关系，掌握该对应关系就能快速求解相关量。
【难度系数】
0.7
首先回忆圆剪拼成近似长方形的对应关系：近似长方形的宽等于圆的半径r，近似长方形的长等于圆周长的一半，也就是πr。长方形的周长公式是（长+宽）×2，代入对应关系可得：长方形周长=（πr + r）×2 = 2πr + 2r，也就是长方形周长等于圆的周长加上2条半径的长度之和。已知长方形周长是49.68cm，我们可以先求出半径r，再根据直径=2×半径、圆的面积=πr²分别计算直径和面积即可。
【解析】
设圆的半径为r cm，根据圆剪拼成近似长方形的对应关系：
长方形的长=圆周长的一半=3.14r，长方形的宽=r
长方形周长=(3.14r + r)×2 = 49.68
整理得：r×(3.14×2 + 2) = 49.68
计算括号内的值：3.14×2+2=8.28
则半径r=49.68÷8.28=6(cm)
圆的直径：6×2=12(cm)
圆的面积：3.14×6²=3.14×36=113.04(cm²)
【答案】
圆的直径是12 cm，面积是113.04 cm²。
【知识点】
圆面积推导原理，圆的周长计算，圆的面积计算
【点评】
本题是圆面积公式推导相关的典型题型，解题关键是理清圆剪拼成近似长方形后，长方形的周长、边长与圆的半径、周长的对应关系，掌握该对应关系就能快速求解相关量。
【难度系数】
0.7
