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8. 新趋势 数学文化 我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一种求圆环面积的公式：“并中、外周而半之，以径乘之，为积步。”这句话是什么意思呢？田田像推导圆的面积公式一样，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形。观察下图，圆环的面积公式可以怎么写？
答案
8. $S=(π R+π r)(R-r)$
解析:平行四边形的高是$R-r$,平行四边形的底是$π R+π r$。
解析:平行四边形的高是$R-r$,平行四边形的底是$π R+π r$。
解析
【分析】
我们可以用转化的思想解题，和推导圆面积的思路一致：把圆环剪拼成近似平行四边形后，平行四边形的面积和圆环的面积相等，只要找到平行四边形的底和高分别对应圆环的哪些量，用平行四边形面积公式就能推导出圆环的面积公式。首先看底：拼接时外圆弧和内圆弧分别凑成了平行四边形的上下边，所以底的长度是外圆周长的一半加内圆周长的一半；再看高：平行四边形的高就是外半径和内半径的差，也就是圆环的宽度。
【解析】
将圆环等分成16份拼成近似平行四边形后，平行四边形的面积与原圆环的面积相等。
1. 计算平行四边形的底：外圆周长为$2π R$，内圆周长为$2π r$，底是外圆周长的一半与内圆周长的一半之和，即$\frac{2π R}{2}+\frac{2π r}{2}=π R+π r$。
2. 确定平行四边形的高：平行四边形的高就是圆环的宽度，等于外半径减内半径，即$R-r$。
3. 推导圆环面积公式：因为平行四边形面积=底×高，所以圆环面积$S=(π R+π r)(R-r)$。
【答案】
$S=(π R+π r)(R-r)$
【知识点】
圆环面积推导、平行四边形面积计算、转化思想
【点评】
本题结合古代数学文化，通过剪拼转化的方法将陌生的圆环面积推导转化为熟悉的平行四边形面积计算，能帮助大家直观理解公式的来源，解题的关键是找准转化前后两个图形各部分之间的对应关系。
【难度系数】
0.7
我们可以用转化的思想解题，和推导圆面积的思路一致：把圆环剪拼成近似平行四边形后，平行四边形的面积和圆环的面积相等，只要找到平行四边形的底和高分别对应圆环的哪些量，用平行四边形面积公式就能推导出圆环的面积公式。首先看底：拼接时外圆弧和内圆弧分别凑成了平行四边形的上下边，所以底的长度是外圆周长的一半加内圆周长的一半；再看高：平行四边形的高就是外半径和内半径的差，也就是圆环的宽度。
【解析】
将圆环等分成16份拼成近似平行四边形后，平行四边形的面积与原圆环的面积相等。
1. 计算平行四边形的底：外圆周长为$2π R$，内圆周长为$2π r$，底是外圆周长的一半与内圆周长的一半之和，即$\frac{2π R}{2}+\frac{2π r}{2}=π R+π r$。
2. 确定平行四边形的高：平行四边形的高就是圆环的宽度，等于外半径减内半径，即$R-r$。
3. 推导圆环面积公式：因为平行四边形面积=底×高，所以圆环面积$S=(π R+π r)(R-r)$。
【答案】
$S=(π R+π r)(R-r)$
【知识点】
圆环面积推导、平行四边形面积计算、转化思想
【点评】
本题结合古代数学文化，通过剪拼转化的方法将陌生的圆环面积推导转化为熟悉的平行四边形面积计算，能帮助大家直观理解公式的来源，解题的关键是找准转化前后两个图形各部分之间的对应关系。
【难度系数】
0.7
四、用割补法求面积
9. 求下图中涂色部分的面积。
9. 求下图中涂色部分的面积。
答案
9. $(4+6)×(4+6)÷2=50(\mathrm{dm}^2)$
$6×6÷2=18(\mathrm{dm}^2)$ $3.14×4^2÷4=12.56(\mathrm{dm}^2)$
$50-18-12.56=19.44(\mathrm{dm}^2)$
$6×6÷2=18(\mathrm{dm}^2)$ $3.14×4^2÷4=12.56(\mathrm{dm}^2)$
$50-18-12.56=19.44(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
我们可以用“整体减空白”的思路解题：首先观察图形，整体是一个直角梯形，上底为4dm，下底为6dm；右侧空白三角形是含45°角的直角三角形，属于等腰直角三角形，底边长等于高6dm，因此梯形的高为4+6=10dm。我们先算出整个直角梯形的面积，再减去左侧空白的四分之一圆（半径为4dm）的面积，再减去右侧空白等腰直角三角形的面积，就能得到涂色部分的面积。
【解析】
第一步：计算直角梯形的面积
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
$(4+6)× (4+6)÷ 2=50({\mathrm{dm}}^{2})$
第二步：计算右侧空白等腰直角三角形的面积
三角形面积=底×高÷2
$6× 6÷ 2=18({\mathrm{dm}}^{2})$
第三步：计算左侧空白四分之一圆的面积
四分之一圆面积=圆面积÷4
$3.14× {4}^{2}÷ 4=12.56({\mathrm{dm}}^{2})$
第四步：计算涂色部分面积
涂色面积=梯形面积-三角形面积-四分之一圆面积
$50-18-12.56=19.44({\mathrm{dm}}^{2})$
【答案】
$19.44\mathrm{dm}^2$
【知识点】
梯形面积计算、三角形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是典型的组合图形面积求解问题，核心解题方法是用整体图形面积减去各空白部分面积，解题时需要准确识别各部分图形的形状，找到对应的边长、半径等数据，注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
我们可以用“整体减空白”的思路解题：首先观察图形，整体是一个直角梯形，上底为4dm，下底为6dm；右侧空白三角形是含45°角的直角三角形，属于等腰直角三角形，底边长等于高6dm，因此梯形的高为4+6=10dm。我们先算出整个直角梯形的面积，再减去左侧空白的四分之一圆（半径为4dm）的面积，再减去右侧空白等腰直角三角形的面积，就能得到涂色部分的面积。
【解析】
第一步：计算直角梯形的面积
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
$(4+6)× (4+6)÷ 2=50({\mathrm{dm}}^{2})$
第二步：计算右侧空白等腰直角三角形的面积
三角形面积=底×高÷2
$6× 6÷ 2=18({\mathrm{dm}}^{2})$
第三步：计算左侧空白四分之一圆的面积
四分之一圆面积=圆面积÷4
$3.14× {4}^{2}÷ 4=12.56({\mathrm{dm}}^{2})$
第四步：计算涂色部分面积
涂色面积=梯形面积-三角形面积-四分之一圆面积
$50-18-12.56=19.44({\mathrm{dm}}^{2})$
【答案】
$19.44\mathrm{dm}^2$
【知识点】
梯形面积计算、三角形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是典型的组合图形面积求解问题，核心解题方法是用整体图形面积减去各空白部分面积，解题时需要准确识别各部分图形的形状，找到对应的边长、半径等数据，注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
10.有一个街心花坛(如图)。图中正方形的边长为15米,正方形的顶点正好是四个圆的圆心,圆的半径是5米。这个花坛的面积是多少平方米？
答案
10. $15×15=225(\mathrm{平方米})$
$3.14×5^2×3=235.5(\mathrm{平方米})$
$225+235.5=460.5(\mathrm{平方米})$
答:这个花坛的面积是460.5平方米。
$3.14×5^2×3=235.5(\mathrm{平方米})$
$225+235.5=460.5(\mathrm{平方米})$
答:这个花坛的面积是460.5平方米。
解析
【分析】
解题时首先观察花坛的图形组成：由中间的正方形和四个位于正方形顶点的圆组成。首先思考重叠部分：因为正方形的每个内角是90°，对应圆心角90°，也就是每个圆被正方形遮挡了$\frac{1}{4}$的面积，每个圆露出的部分是$\frac{3}{4}$个圆，4个这样的部分相加刚好是3个完整圆的面积。因此花坛总面积=正方形面积+3个半径为5米的圆的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
【解析】
步骤1：计算中间正方形的面积
正方形面积=边长×边长，已知边长为15米
$15×15=225(\mathrm{平方米})$
步骤2：计算四个圆露出部分的总面积
每个圆被正方形遮挡$\frac{1}{4}$，每个圆剩余$\frac{3}{4}$，4个圆剩余部分总和：$4×\frac{3}{4}=3$（个整圆）
单个圆面积$=πr²$，半径$r=5$米，3个圆的面积：
$3.14×5²×3=3.14×25×3=235.5(\mathrm{平方米})$
步骤3：计算花坛总面积
将正方形面积和3个圆的面积相加：
$225+235.5=460.5(\mathrm{平方米})$
【答案】
460.5平方米
【知识点】
正方形面积计算；圆的面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的典型题型，解题核心是通过转化思想，把四个不完整的圆拼接成完整的圆简化计算，需要注意区分重叠部分，避免重复或漏算面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察花坛的图形组成：由中间的正方形和四个位于正方形顶点的圆组成。首先思考重叠部分：因为正方形的每个内角是90°，对应圆心角90°，也就是每个圆被正方形遮挡了$\frac{1}{4}$的面积，每个圆露出的部分是$\frac{3}{4}$个圆，4个这样的部分相加刚好是3个完整圆的面积。因此花坛总面积=正方形面积+3个半径为5米的圆的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
【解析】
步骤1：计算中间正方形的面积
正方形面积=边长×边长，已知边长为15米
$15×15=225(\mathrm{平方米})$
步骤2：计算四个圆露出部分的总面积
每个圆被正方形遮挡$\frac{1}{4}$，每个圆剩余$\frac{3}{4}$，4个圆剩余部分总和：$4×\frac{3}{4}=3$（个整圆）
单个圆面积$=πr²$，半径$r=5$米，3个圆的面积：
$3.14×5²×3=3.14×25×3=235.5(\mathrm{平方米})$
步骤3：计算花坛总面积
将正方形面积和3个圆的面积相加：
$225+235.5=460.5(\mathrm{平方米})$
【答案】
460.5平方米
【知识点】
正方形面积计算；圆的面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的典型题型，解题核心是通过转化思想，把四个不完整的圆拼接成完整的圆简化计算，需要注意区分重叠部分，避免重复或漏算面积。
【难度系数】
0.7
一、用观察法探究捆扎瓶子的绳子长度问题
11. 新趋势 探索规律 观察下图，每个瓶子的底面直径都是8厘米，用绳子将3个、4个、5个、6个、…瓶子捆扎在一起，寻找规律，捆扎10个（瓶子放2排，每排5个）这样的瓶子一圈，需要多少厘米的绳子？（接头处忽略不计）
思路提示：观察捆扎瓶子一圈的绳子由几条弧线和几条线段组成。
11. 新趋势 探索规律 观察下图，每个瓶子的底面直径都是8厘米，用绳子将3个、4个、5个、6个、…瓶子捆扎在一起，寻找规律，捆扎10个（瓶子放2排，每排5个）这样的瓶子一圈，需要多少厘米的绳子？（接头处忽略不计）
思路提示：观察捆扎瓶子一圈的绳子由几条弧线和几条线段组成。
答案
11. $3.14×8+8×10=105.12(\mathrm{厘米})$
答:需要105.12厘米的绳子。
解析:通过观察可以发现,绳长=一个瓶子的底面周长+瓶子的底面直径×瓶子的个数。
答:需要105.12厘米的绳子。
解析:通过观察可以发现,绳长=一个瓶子的底面周长+瓶子的底面直径×瓶子的个数。
解析
【分析】
我们可以把捆扎瓶子的绳子长度拆成两部分思考：第一部分是拐角处的弧线，观察发现所有拐角的弧线拼接起来正好是1个完整的圆的周长，这部分长度是固定的，和瓶子数量无关；第二部分是直的线段，每段直线段的长度都等于瓶子的底面直径，进一步观察能发现，直线段的总段数正好等于瓶子的总个数，所以直线段总长度=底面直径×瓶子总个数。要求捆10个瓶子的绳长，把两部分长度相加即可。
【解析】
首先计算拐角弧线的总长度，也就是1个瓶子的底面周长：
$3.14×8=25.12$（厘米）
再计算直线段的总长度：
$8×10=80$（厘米）
两部分相加得到总绳长：
$25.12+80=105.12$（厘米）
【答案】
需要105.12厘米的绳子。
【知识点】
圆的周长计算、图形找规律、周长的认识
【点评】
这道题是生活中的实际应用问题，解题的关键是将不规则的绳长拆分为规则的圆弧部分和直段部分，找到其中的不变量和变化规律，即可快速求解，很好地锻炼了观察分析和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
我们可以把捆扎瓶子的绳子长度拆成两部分思考：第一部分是拐角处的弧线，观察发现所有拐角的弧线拼接起来正好是1个完整的圆的周长，这部分长度是固定的，和瓶子数量无关；第二部分是直的线段，每段直线段的长度都等于瓶子的底面直径，进一步观察能发现，直线段的总段数正好等于瓶子的总个数，所以直线段总长度=底面直径×瓶子总个数。要求捆10个瓶子的绳长，把两部分长度相加即可。
【解析】
首先计算拐角弧线的总长度，也就是1个瓶子的底面周长：
$3.14×8=25.12$（厘米）
再计算直线段的总长度：
$8×10=80$（厘米）
两部分相加得到总绳长：
$25.12+80=105.12$（厘米）
【答案】
需要105.12厘米的绳子。
【知识点】
圆的周长计算、图形找规律、周长的认识
【点评】
这道题是生活中的实际应用问题，解题的关键是将不规则的绳长拆分为规则的圆弧部分和直段部分，找到其中的不变量和变化规律，即可快速求解，很好地锻炼了观察分析和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
12. 新趋势 思维过程 如图，墙角O处有一根木桩，其上拴着一只羊，拴羊的绳子长4 m，墙角两边的墙均长2 m。如果墙周围是一块足够大的草地，那么这只羊能吃到草的面积是多少？
思路提示：画出示意图，分析所求组合图形的面积是由哪几部分的面积组成的。
思路提示：画出示意图，分析所求组合图形的面积是由哪几部分的面积组成的。
答案
12. $3.14×4^2÷4+3.14×(4-2)^2÷2=18.84(\mathrm{m}^2)$
答:这只羊能吃到草的面积是$18.84\ \mathrm{m}^2$。
解析:先画出羊吃草的范围(如图
)。由图可知,羊能吃到草的面积是由三部分的面积组成的,一部分是半径为4 m的$\frac{1}{4}$圆;另外两部分都是半径为$4-2=2(\mathrm{m})$的$\frac{1}{4}$圆,这两部分合起来正好是半径为2 m的半圆。解析
【分析】
解题时首先要明确羊的活动范围：1. 羊被拴在墙角O点，两堵墙互相垂直且长度均为2m，拴羊绳长4m。首先在两堵墙夹角的无遮挡区域，羊可以以O为圆心、4m为半径活动，形成圆心角为90°的扇形，也就是1/4个半径4m的圆。2. 当羊沿着任意一堵墙走到墙的端点时，剩余绳长为4-2=2m，此时羊可绕该墙端点在墙的外侧活动，每堵墙外侧都能形成1个圆心角90°、半径2m的扇形，两个这样的扇形刚好可以拼成1个半径2m的半圆。最后将两部分面积相加，就能得到羊能吃到草的总面积。
【解析】
第一步：计算半径为4m的1/4圆的面积：
$S_1=3.14×4^2÷4=3.14×16÷4=12.56(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算小扇形的半径为$4-2=2(\mathrm{m})$，两个小扇形合为半径2m的半圆，计算半圆面积：
$S_2=3.14×2^2÷2=3.14×4÷2=6.28(\mathrm{m}^2)$
第三步：总面积为两部分面积之和：
$S=S_1+S_2=12.56+6.28=18.84(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$3.14×4^2÷4+3.14×(4-2)^2÷2=18.84(\mathrm{m}^2)$
答:这只羊能吃到草的面积是$18.84\ \mathrm{m}^2$。
解析:先画出羊吃草的范围(如图)。由图可知,羊能吃到草的面积是由三部分的面积组成的,一部分是半径为4 m的$\frac{1}{4}$圆;另外两部分都是半径为$4-2=2(\mathrm{m})$的$\frac{1}{4}$圆,这两部分合起来正好是半径为2 m的半圆。
【知识点】
圆的面积计算，扇形面积计算，组合图形面积
【点评】
本题结合生活实际场景，需要先通过空间想象明确羊的活动范围，将不规则的吃草面积转化为若干个规则的扇形面积之和进行计算，解题关键是正确拆分组合图形，避免遗漏或多算活动区域。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确羊的活动范围：1. 羊被拴在墙角O点，两堵墙互相垂直且长度均为2m，拴羊绳长4m。首先在两堵墙夹角的无遮挡区域，羊可以以O为圆心、4m为半径活动，形成圆心角为90°的扇形，也就是1/4个半径4m的圆。2. 当羊沿着任意一堵墙走到墙的端点时，剩余绳长为4-2=2m，此时羊可绕该墙端点在墙的外侧活动，每堵墙外侧都能形成1个圆心角90°、半径2m的扇形，两个这样的扇形刚好可以拼成1个半径2m的半圆。最后将两部分面积相加，就能得到羊能吃到草的总面积。
【解析】
第一步：计算半径为4m的1/4圆的面积：
$S_1=3.14×4^2÷4=3.14×16÷4=12.56(\mathrm{m}^2)$
第二步：计算小扇形的半径为$4-2=2(\mathrm{m})$，两个小扇形合为半径2m的半圆，计算半圆面积：
$S_2=3.14×2^2÷2=3.14×4÷2=6.28(\mathrm{m}^2)$
第三步：总面积为两部分面积之和：
$S=S_1+S_2=12.56+6.28=18.84(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$3.14×4^2÷4+3.14×(4-2)^2÷2=18.84(\mathrm{m}^2)$
答:这只羊能吃到草的面积是$18.84\ \mathrm{m}^2$。
解析:先画出羊吃草的范围(如图
)。由图可知,羊能吃到草的面积是由三部分的面积组成的,一部分是半径为4 m的$\frac{1}{4}$圆;另外两部分都是半径为$4-2=2(\mathrm{m})$的$\frac{1}{4}$圆,这两部分合起来正好是半径为2 m的半圆。【知识点】
圆的面积计算，扇形面积计算，组合图形面积
【点评】
本题结合生活实际场景，需要先通过空间想象明确羊的活动范围，将不规则的吃草面积转化为若干个规则的扇形面积之和进行计算，解题关键是正确拆分组合图形，避免遗漏或多算活动区域。
【难度系数】
0.6
