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12.已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$均为整数，且$a,b$满足$\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+b^2-4b+4=0$，求边长$c$的值.
答案
12.解:由题意,得$\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+(b-2)^2=0$.
$\because \sqrt{a-3}≥0,\sqrt{3-a}≥0,(b-2)^2≥0$,
$\therefore a-3=0,3-a=0,b-2=0$,
$\therefore a=3,b=2$.
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边长,
$\therefore 3-2＜c＜3+2$,即$1＜c＜5$.
$\because c$为整数,$\therefore c=2$或3或4.
$\because \sqrt{a-3}≥0,\sqrt{3-a}≥0,(b-2)^2≥0$,
$\therefore a-3=0,3-a=0,b-2=0$,
$\therefore a=3,b=2$.
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边长,
$\therefore 3-2＜c＜3+2$,即$1＜c＜5$.
$\because c$为整数,$\therefore c=2$或3或4.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，等式中包含二次根式和完全平方式，首先利用二次根式有意义的条件（被开方数非负）确定a的取值，再结合“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求出a、b的具体值；接下来根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”列出关于c的不等式，求出c的取值范围，最后结合c是整数的限制筛选出符合条件的c的值即可。
【解析】
首先对原式变形可得：$\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+(b-2)^2=0$
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此：
$\begin{cases}a-3≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解得$a=3$。
又因为$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{3-a}≥0$，$(b-2)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，因此：
$b-2=0$，解得$b=2$。
已知a、b、c是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系可得：
$a-b ＜ c ＜ a+b$
代入$a=3$，$b=2$得：$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，即$1 ＜ c ＜ 5$。
又因为c为整数，因此c的取值为2或3或4。
【答案】
c的值为2或3或4
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式、非负数性质与三角形三边关系结合考察，解题的核心是先通过非负性确定两条边长，再结合三边范围和整数限制求第三边，解题时注意不要漏记c的整数要求导致多解或漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式的结构，等式中包含二次根式和完全平方式，首先利用二次根式有意义的条件（被开方数非负）确定a的取值，再结合“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求出a、b的具体值；接下来根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”列出关于c的不等式，求出c的取值范围，最后结合c是整数的限制筛选出符合条件的c的值即可。
【解析】
首先对原式变形可得：$\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+(b-2)^2=0$
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此：
$\begin{cases}a-3≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解得$a=3$。
又因为$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{3-a}≥0$，$(b-2)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，因此：
$b-2=0$，解得$b=2$。
已知a、b、c是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系可得：
$a-b ＜ c ＜ a+b$
代入$a=3$，$b=2$得：$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，即$1 ＜ c ＜ 5$。
又因为c为整数，因此c的取值为2或3或4。
【答案】
c的值为2或3或4
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式、非负数性质与三角形三边关系结合考察，解题的核心是先通过非负性确定两条边长，再结合三边范围和整数限制求第三边，解题时注意不要漏记c的整数要求导致多解或漏解。
【难度系数】
0.7
13. 观察下列各式：
①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；…….
(1)请观察规律,并写出第④个等式:
(2)请用含$n(n≥1)$的式子写出你猜想的规律:
(3)请证明(2)中的结论.
①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；…….
(1)请观察规律,并写出第④个等式:
$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
；(2)请用含$n(n≥1)$的式子写出你猜想的规律:
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
；(3)请证明(2)中的结论.
答案
13.解:(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3)证明: $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$.
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3)证明: $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$.
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：1. 写第④个等式：观察已知3个等式，根号内整数项依次为1、2、3，分数分子恒为1、分母依次为1+2=3、2+2=4、3+2=5；等号右侧系数依次为1+1=2、2+1=3、3+1=4，根号内分数和左侧根号内分数完全一致，按此规律即可写出第④个等式。2. 推导含n的通用规律：将变化的数值用n（n≥1）替换，整数项为n，分数分母为n+2，右侧系数为n+1，即可得到通用表达式。3. 证明规律：先对根号内的式子通分合并，再用完全平方公式对分子因式分解，最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$化简，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 按照规律，第④个等式的整数项为4，分数分母为$4+2=6$，右侧系数为$4+1=5$，因此等式为$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$。
(2) 结合变量的对应关系，n≥1时，猜想的规律为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
(3) 证明：
先对根号内的式子通分合并：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n(n+2)}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}$
对分子因式分解得$\frac{n^2+2n+1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$，
因为n≥1，所以n+1＞0，根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3) 证明：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
【知识点】
规律探究，二次根式化简，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究与二次根式运算考查归纳推理能力，解题核心是从已知等式中分离出不变量和变化量总结通用规律，再通过代数运算验证猜想，有助于提升观察归纳能力与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思考：1. 写第④个等式：观察已知3个等式，根号内整数项依次为1、2、3，分数分子恒为1、分母依次为1+2=3、2+2=4、3+2=5；等号右侧系数依次为1+1=2、2+1=3、3+1=4，根号内分数和左侧根号内分数完全一致，按此规律即可写出第④个等式。2. 推导含n的通用规律：将变化的数值用n（n≥1）替换，整数项为n，分数分母为n+2，右侧系数为n+1，即可得到通用表达式。3. 证明规律：先对根号内的式子通分合并，再用完全平方公式对分子因式分解，最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$化简，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 按照规律，第④个等式的整数项为4，分数分母为$4+2=6$，右侧系数为$4+1=5$，因此等式为$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$。
(2) 结合变量的对应关系，n≥1时，猜想的规律为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
(3) 证明：
先对根号内的式子通分合并：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n(n+2)}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}$
对分子因式分解得$\frac{n^2+2n+1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$，
因为n≥1，所以n+1＞0，根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3) 证明：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
【知识点】
规律探究，二次根式化简，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究与二次根式运算考查归纳推理能力，解题核心是从已知等式中分离出不变量和变化量总结通用规律，再通过代数运算验证猜想，有助于提升观察归纳能力与代数运算能力。
【难度系数】
0.7
14. 在复习“二次根式”时，老师出了一道题目：
已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{70}=b$，用含$a$，$b$的代数式表示$\sqrt{4.9}$。
小豪、小麦两名同学的解法如下：
小豪：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\dfrac{490}{100}}=\dfrac{\sqrt{7×70}}{10}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\dfrac{ab}{10}$。
小麦：$\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}$。
因为$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\sqrt{\dfrac{7}{70}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{a}{b}$，所以$\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\dfrac{7a}{b}$。
老师看后，提出下面的问题：
（1）两名同学的解法都正确吗？
（2）请你再给出一种不同于两人的解法。
已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{70}=b$，用含$a$，$b$的代数式表示$\sqrt{4.9}$。
小豪、小麦两名同学的解法如下：
小豪：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\dfrac{490}{100}}=\dfrac{\sqrt{7×70}}{10}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\dfrac{ab}{10}$。
小麦：$\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}$。
因为$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\sqrt{\dfrac{7}{70}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{a}{b}$，所以$\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\dfrac{7a}{b}$。
老师看后，提出下面的问题：
（1）两名同学的解法都正确吗？
（2）请你再给出一种不同于两人的解法。
答案
14.解:(1)两名同学的解法都正确.
(2)答案不唯一.
$\because \sqrt{10}=\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$,
$\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{7}{10}\sqrt{10}=\frac{7b}{10a}$.
(2)答案不唯一.
$\because \sqrt{10}=\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$,
$\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{7}{10}\sqrt{10}=\frac{7b}{10a}$.
解析
【分析】
（1）判断两名同学的解法是否正确，需依据二次根式的乘除运算法则：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a\ge0,b\ge0$）、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\ge0,b＞0$），逐一验证每一步变形是否符合规则即可。小豪将$\sqrt{4.9}$转化为含$\sqrt{7}×\sqrt{70}$的形式，符合乘法法则，变形正确；小麦将$\sqrt{0.1}$转化为含$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$的形式，符合除法法则，变形也正确。
（2）要给出新解法，可先通过已知条件推导$\sqrt{10}$的表达式：由$\sqrt{70}=\sqrt{7×10}=\sqrt{7}·\sqrt{10}$，可得$\sqrt{10}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，再将$\sqrt{4.9}$化简为含$\sqrt{10}$的形式，代入$\sqrt{10}$的表达式即可得到不同于两人的结果。
【解析】
（1）小豪的解法：利用二次根式乘法法则，将$\sqrt{4.9}$转化为$\frac{\sqrt{7×70}}{10}$，代入已知$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$，得到结果$\frac{ab}{10}$，每一步变形均符合二次根式运算规则，解法正确。
小麦的解法：先将$\sqrt{4.9}$化简为$7\sqrt{0.1}$，再利用二次根式除法法则将$\sqrt{0.1}$转化为$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$，代入得到结果$\frac{7a}{b}$，每一步变形均符合二次根式运算规则，解法正确。
故两名同学的解法都正确。
（2）先推导$\sqrt{10}$的表达式：
$\because\sqrt{70}=\sqrt{7×10}=\sqrt{7}·\sqrt{10}$，
$\therefore\sqrt{10}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$。
再化简$\sqrt{4.9}$：
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，
将$\sqrt{10}=\frac{b}{a}$代入得：
$\sqrt{4.9}=\frac{7}{10}×\frac{b}{a}=\frac{7b}{10a}$。
【答案】
（1）两名同学的解法都正确；
（2）$\sqrt{4.9}=\dfrac{7b}{10a}$（答案不唯一）。
【知识点】
1.二次根式的性质
2.二次根式的乘除运算
3.二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的灵活变形与运算能力，解题核心是熟练掌握二次根式的运算法则，能根据已知条件对目标式进行合理拆分转化，解法开放多元，可有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
（1）判断两名同学的解法是否正确，需依据二次根式的乘除运算法则：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a\ge0,b\ge0$）、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\ge0,b＞0$），逐一验证每一步变形是否符合规则即可。小豪将$\sqrt{4.9}$转化为含$\sqrt{7}×\sqrt{70}$的形式，符合乘法法则，变形正确；小麦将$\sqrt{0.1}$转化为含$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$的形式，符合除法法则，变形也正确。
（2）要给出新解法，可先通过已知条件推导$\sqrt{10}$的表达式：由$\sqrt{70}=\sqrt{7×10}=\sqrt{7}·\sqrt{10}$，可得$\sqrt{10}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，再将$\sqrt{4.9}$化简为含$\sqrt{10}$的形式，代入$\sqrt{10}$的表达式即可得到不同于两人的结果。
【解析】
（1）小豪的解法：利用二次根式乘法法则，将$\sqrt{4.9}$转化为$\frac{\sqrt{7×70}}{10}$，代入已知$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$，得到结果$\frac{ab}{10}$，每一步变形均符合二次根式运算规则，解法正确。
小麦的解法：先将$\sqrt{4.9}$化简为$7\sqrt{0.1}$，再利用二次根式除法法则将$\sqrt{0.1}$转化为$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$，代入得到结果$\frac{7a}{b}$，每一步变形均符合二次根式运算规则，解法正确。
故两名同学的解法都正确。
（2）先推导$\sqrt{10}$的表达式：
$\because\sqrt{70}=\sqrt{7×10}=\sqrt{7}·\sqrt{10}$，
$\therefore\sqrt{10}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$。
再化简$\sqrt{4.9}$：
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，
将$\sqrt{10}=\frac{b}{a}$代入得：
$\sqrt{4.9}=\frac{7}{10}×\frac{b}{a}=\frac{7b}{10a}$。
【答案】
（1）两名同学的解法都正确；
（2）$\sqrt{4.9}=\dfrac{7b}{10a}$（答案不唯一）。
【知识点】
1.二次根式的性质
2.二次根式的乘除运算
3.二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的灵活变形与运算能力，解题核心是熟练掌握二次根式的运算法则，能根据已知条件对目标式进行合理拆分转化，解法开放多元，可有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
