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1. 下列根式是二次根式的有(
①$\sqrt{a}$；②$\sqrt[3]{7}$；③$\sqrt{16}$；④$\sqrt{a-1}(a≥1)$；
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$；⑥$\sqrt{(-4)×(-3)}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
).①$\sqrt{a}$；②$\sqrt[3]{7}$；③$\sqrt{16}$；④$\sqrt{a-1}(a≥1)$；
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$；⑥$\sqrt{(-4)×(-3)}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪些是二次根式，首先明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2，二是被开方数必须是非负数。解题时我们就按照这两个标准，逐个对给出的6个式子进行验证，筛选出同时满足两个条件的式子，统计个数即可得到答案。
【解析】
二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。我们逐个分析：
①$\sqrt{a}$：未给出$a$的取值范围，$a$可能小于0，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
②$\sqrt[3]{7}$：根指数是3，属于三次根式，不满足根指数为2的要求，不是二次根式；
③$\sqrt{16}$：根指数为2，被开方数$16＞0$，满足两个条件，是二次根式；
④$\sqrt{a-1}(a≥1)$：根指数为2，由$a≥1$可得$a-1≥0$，被开方数非负，满足两个条件，是二次根式；
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$：先计算被开方数$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}＞0$，根指数为2，满足两个条件，是二次根式；
⑥$\sqrt{(-4)×(-3)}$：先计算被开方数$(-4)×(-3)=12＞0$，根指数为2，满足两个条件，是二次根式。
综上，符合要求的二次根式共有③④⑤⑥，共4个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题时要严格按照定义的两个条件逐一排查，尤其要注意未给出取值范围的字母不能默认是非负数，涉及运算的被开方数要先计算结果再判断正负。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是二次根式，首先明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2，二是被开方数必须是非负数。解题时我们就按照这两个标准，逐个对给出的6个式子进行验证，筛选出同时满足两个条件的式子，统计个数即可得到答案。
【解析】
二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。我们逐个分析：
①$\sqrt{a}$：未给出$a$的取值范围，$a$可能小于0，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
②$\sqrt[3]{7}$：根指数是3，属于三次根式，不满足根指数为2的要求，不是二次根式；
③$\sqrt{16}$：根指数为2，被开方数$16＞0$，满足两个条件，是二次根式；
④$\sqrt{a-1}(a≥1)$：根指数为2，由$a≥1$可得$a-1≥0$，被开方数非负，满足两个条件，是二次根式；
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$：先计算被开方数$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}＞0$，根指数为2，满足两个条件，是二次根式；
⑥$\sqrt{(-4)×(-3)}$：先计算被开方数$(-4)×(-3)=12＞0$，根指数为2，满足两个条件，是二次根式。
综上，符合要求的二次根式共有③④⑤⑥，共4个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题时要严格按照定义的两个条件逐一排查，尤其要注意未给出取值范围的字母不能默认是非负数，涉及运算的被开方数要先计算结果再判断正负。
【难度系数】
0.7
2.若二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围在数轴上表示正确的是(
C
).答案
2.C
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，求出x的取值范围；第二步，回忆不等式解集在数轴上的表示规则：包含端点用实心圆点、不包含用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸，再对应判断选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，被开方数需满足非负的要求，即：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
该解集在数轴上表示时，1为包含的端点，需画实心圆点，且取值在1的右侧，折线向右延伸，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础考点题，主要考察二次根式的基本性质和不等式解集的数轴表示规则，只要牢记相关概念、注意区分实心点和空心圈的使用场景，就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
解题分两步思考：第一步，明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，求出x的取值范围；第二步，回忆不等式解集在数轴上的表示规则：包含端点用实心圆点、不包含用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸，再对应判断选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，被开方数需满足非负的要求，即：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
该解集在数轴上表示时，1为包含的端点，需画实心圆点，且取值在1的右侧，折线向右延伸，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础考点题，主要考察二次根式的基本性质和不等式解集的数轴表示规则，只要牢记相关概念、注意区分实心点和空心圈的使用场景，就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
3.设$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，用含$a$，$b$的式子表示$\sqrt{6}$，则下列表示正确的是(
A.$ab^2$
B.$2ab$
C.$ab$
D.$a^2b$
C
).A.$ab^2$
B.$2ab$
C.$ab$
D.$a^2b$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先思考√6可以拆成哪两个二次根式的乘积，结合二次根式的乘法性质：两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，逆用这个性质就能把√6转化为√2乘√3，再将题目给出的√2=a、√3=b代入，就能得到√6的表达式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：根据二次根式的乘法运算法则，逆用$\sqrt{m·n}=\sqrt{m}·\sqrt{n}$（$m≥0，n≥0$）可得：
$\sqrt{6} = \sqrt{2×3} = \sqrt{2} × \sqrt{3}$
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，代入得：
$\sqrt{6} = a·b = ab$
对比选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式乘法法则
2.代数式代换
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式乘法的逆用，掌握二次根式的基本运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先思考√6可以拆成哪两个二次根式的乘积，结合二次根式的乘法性质：两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，逆用这个性质就能把√6转化为√2乘√3，再将题目给出的√2=a、√3=b代入，就能得到√6的表达式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：根据二次根式的乘法运算法则，逆用$\sqrt{m·n}=\sqrt{m}·\sqrt{n}$（$m≥0，n≥0$）可得：
$\sqrt{6} = \sqrt{2×3} = \sqrt{2} × \sqrt{3}$
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，代入得：
$\sqrt{6} = a·b = ab$
对比选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式乘法法则
2.代数式代换
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式乘法的逆用，掌握二次根式的基本运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
4.若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=(\quad)$。
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
4.A
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察所求代数式的结构，被开方数中含有a²和b²，而已知a、b都是算术平方根（均为正数），我们可以优先利用二次根式“(√x)²=x（x≥0）”的性质，先算出a²和b²的值，再代入被开方数计算，最后求算术平方根即可，这种方法能简化计算步骤，降低出错概率。也可以先利用二次根式的商的算术平方根性质化简原式，再代入a、b的数值计算。
【解析】
解：先根据二次根式的性质计算a²、b²的值：
∵ $ a=\sqrt{2} $，
∴ $ a^2=(\sqrt{2})^2=2 $
∵ $ b=\sqrt{7} $，
∴ $ b^2=(\sqrt{7})^2=7 $
将$ a^2=2 $、$ b^2=7 $代入所求式子：
$ \sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，代数式求值，算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式基本性质的应用，解题时观察式子结构选择合适的计算顺序，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
拿到这道题，首先观察所求代数式的结构，被开方数中含有a²和b²，而已知a、b都是算术平方根（均为正数），我们可以优先利用二次根式“(√x)²=x（x≥0）”的性质，先算出a²和b²的值，再代入被开方数计算，最后求算术平方根即可，这种方法能简化计算步骤，降低出错概率。也可以先利用二次根式的商的算术平方根性质化简原式，再代入a、b的数值计算。
【解析】
解：先根据二次根式的性质计算a²、b²的值：
∵ $ a=\sqrt{2} $，
∴ $ a^2=(\sqrt{2})^2=2 $
∵ $ b=\sqrt{7} $，
∴ $ b^2=(\sqrt{7})^2=7 $
将$ a^2=2 $、$ b^2=7 $代入所求式子：
$ \sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{14×2}{7}}=\sqrt{\dfrac{28}{7}}=\sqrt{4}=2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，代数式求值，算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式基本性质的应用，解题时观察式子结构选择合适的计算顺序，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
5. 下列各式是最简二次根式的是(
D
). 答案
5.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个核心判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们用这两个标准逐个排查选项，不符合条件的直接排除，最终就能得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}b$中，25是$5^2$，属于能开得尽方的因数，可化简为$5\sqrt{b}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\frac{b}{5}}$的被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{5b}}{5}$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{a^3+a^2b^2}$的被开方数因式分解后为$\sqrt{a^2(a+b^2)}$，其中$a^2$是能开得尽方的因式，可化简为$|a|\sqrt{a+b^2}$，不是最简二次根式；
选项D：$\frac{\sqrt{5b}}{3}$的被开方数$5b$不含分母，也没有能开得尽方的因数或因式，满足最简二次根式的所有条件。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础概念题，核心考查对最简二次根式判定标准的掌握，牢记两个判定条件逐一验证选项即可快速解题，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个核心判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们用这两个标准逐个排查选项，不符合条件的直接排除，最终就能得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}b$中，25是$5^2$，属于能开得尽方的因数，可化简为$5\sqrt{b}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\frac{b}{5}}$的被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{5b}}{5}$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{a^3+a^2b^2}$的被开方数因式分解后为$\sqrt{a^2(a+b^2)}$，其中$a^2$是能开得尽方的因式，可化简为$|a|\sqrt{a+b^2}$，不是最简二次根式；
选项D：$\frac{\sqrt{5b}}{3}$的被开方数$5b$不含分母，也没有能开得尽方的因数或因式，满足最简二次根式的所有条件。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础概念题，核心考查对最简二次根式判定标准的掌握，牢记两个判定条件逐一验证选项即可快速解题，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
6. 制作一个表面积为 $ 30 \ \mathrm{cm}^2 $ 的无盖正方体纸盒，则这个正方体纸盒的棱长为(
A.$ \sqrt{6} \ \mathrm{cm} $
B.$ \sqrt{5} \ \mathrm{cm} $
C.$ \sqrt{30} \ \mathrm{cm} $
D.$ \pm\sqrt{5} \ \mathrm{cm} $
A
).A.$ \sqrt{6} \ \mathrm{cm} $
B.$ \sqrt{5} \ \mathrm{cm} $
C.$ \sqrt{30} \ \mathrm{cm} $
D.$ \pm\sqrt{5} \ \mathrm{cm} $
答案
6.A
解析
【分析】
首先明确无盖正方体的面数：无盖正方体缺少1个顶面，共有5个完全相同的正方形面。解题时先根据总表面积求出单个正方形面的面积，再结合正方形面积与棱长的关系，结合棱长为正数的实际意义，就能求出正确棱长，同时排除不符合实际的负根选项。
【解析】
设这个无盖正方体纸盒的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
无盖正方体共有5个面积相等的正方形面，因此总表面积公式为$S=5x^2$。
已知表面积$S=30\ \mathrm{cm}^2$，代入得方程：
$5x^2=30$
化简得$x^2=6$
因为棱长为正数，所以$x=\sqrt{6}$（负根不符合实际意义，舍去）。
因此棱长为$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面积计算，算术平方根，列方程解应用题
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略“无盖”的条件，误将面数算作6个导致计算错误；二是忽略棱长的实际意义，错选带负根的选项，解题时要注意审题，结合实际意义取舍计算结果。
【难度系数】
0.6
首先明确无盖正方体的面数：无盖正方体缺少1个顶面，共有5个完全相同的正方形面。解题时先根据总表面积求出单个正方形面的面积，再结合正方形面积与棱长的关系，结合棱长为正数的实际意义，就能求出正确棱长，同时排除不符合实际的负根选项。
【解析】
设这个无盖正方体纸盒的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
无盖正方体共有5个面积相等的正方形面，因此总表面积公式为$S=5x^2$。
已知表面积$S=30\ \mathrm{cm}^2$，代入得方程：
$5x^2=30$
化简得$x^2=6$
因为棱长为正数，所以$x=\sqrt{6}$（负根不符合实际意义，舍去）。
因此棱长为$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面积计算，算术平方根，列方程解应用题
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略“无盖”的条件，误将面数算作6个导致计算错误；二是忽略棱长的实际意义，错选带负根的选项，解题时要注意审题，结合实际意义取舍计算结果。
【难度系数】
0.6
7.古希腊的几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出已知三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为$ a $，$ b $，$ c $，记$ p = \frac{a + b + c}{2} $，那么三角形的面积为$ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $。如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为$ a $，$ b $，$ c $。若$ a = 5 $，$ b = 6 $，$ c = 7 $，则△ABC的面积为（
A.$ 6\sqrt{6} $
B.$ 6\sqrt{3} $
C.18
D.$ \frac{19}{2} $
A
）。A.$ 6\sqrt{6} $
B.$ 6\sqrt{3} $
C.18
D.$ \frac{19}{2} $
答案
7.A
解析
【分析】
本题给出了海伦-秦九韶求三角形面积的公式，已知三角形三边长，解题思路清晰：首先根据三边长计算半周长p，再将p和三边长代入给出的面积公式，最后化简二次根式即可得到面积，直接套用题目给出的公式逐步计算即可，无需额外推导公式。
【解析】
首先计算半周长$p$：
已知$a=5$，$b=6$，$c=7$，代入$p=\frac{a+b+c}{2}$得：
$p=\frac{5+6+7}{2}=9$
再将$p=9$、$a=5$、$b=6$、$c=7$代入面积公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$：
$S=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
化简二次根式：$\sqrt{216}=\sqrt{36×6}=6\sqrt{6}$
因此三角形面积为$6\sqrt{6}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 公式法求三角形面积
【点评】
本题属于新定义公式套用类题型，考查对新公式的理解应用能力和二次根式的运算能力，计算过程简单，仔细读题、认真运算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题给出了海伦-秦九韶求三角形面积的公式，已知三角形三边长，解题思路清晰：首先根据三边长计算半周长p，再将p和三边长代入给出的面积公式，最后化简二次根式即可得到面积，直接套用题目给出的公式逐步计算即可，无需额外推导公式。
【解析】
首先计算半周长$p$：
已知$a=5$，$b=6$，$c=7$，代入$p=\frac{a+b+c}{2}$得：
$p=\frac{5+6+7}{2}=9$
再将$p=9$、$a=5$、$b=6$、$c=7$代入面积公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$：
$S=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
化简二次根式：$\sqrt{216}=\sqrt{36×6}=6\sqrt{6}$
因此三角形面积为$6\sqrt{6}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 公式法求三角形面积
【点评】
本题属于新定义公式套用类题型，考查对新公式的理解应用能力和二次根式的运算能力，计算过程简单，仔细读题、认真运算即可得分。
【难度系数】
0.8
8.已知$\sqrt{75} · \sqrt{a}$的值是一个整数，则正整数a的最小值是
3
。答案
8.3
解析
【分析】
解题时首先运用二次根式的乘法法则，先把$\sqrt{75}$化简为最简二次根式，再结合乘积为整数的条件分析：整数乘整数才是整数，因此化简后根号内的部分必须是能开得尽方的完全平方数，进而求出最小的正整数a。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$），可得：
$\sqrt{75}·\sqrt{a}=\sqrt{75a}$
先化简75：$75=25×3$，因此：
$\sqrt{75a}=\sqrt{25×3a}=\sqrt{25}×\sqrt{3a}=5\sqrt{3a}$
已知$\sqrt{75}·\sqrt{a}$的值是整数，且5是整数，因此$\sqrt{3a}$必须为正整数，即$3a$是完全平方数。
要使正整数a最小，只需$3a$是最小的完全平方数，3是质数，因此最小的完全平方数为$3^2=9$，即$3a=9$，解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的乘法运算；最简二次根式；完全平方数
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先将二次根式化简为最简形式，再结合完全平方数的特征求解，能够很好地考查学生对二次根式性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用二次根式的乘法法则，先把$\sqrt{75}$化简为最简二次根式，再结合乘积为整数的条件分析：整数乘整数才是整数，因此化简后根号内的部分必须是能开得尽方的完全平方数，进而求出最小的正整数a。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$），可得：
$\sqrt{75}·\sqrt{a}=\sqrt{75a}$
先化简75：$75=25×3$，因此：
$\sqrt{75a}=\sqrt{25×3a}=\sqrt{25}×\sqrt{3a}=5\sqrt{3a}$
已知$\sqrt{75}·\sqrt{a}$的值是整数，且5是整数，因此$\sqrt{3a}$必须为正整数，即$3a$是完全平方数。
要使正整数a最小，只需$3a$是最小的完全平方数，3是质数，因此最小的完全平方数为$3^2=9$，即$3a=9$，解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的乘法运算；最简二次根式；完全平方数
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先将二次根式化简为最简形式，再结合完全平方数的特征求解，能够很好地考查学生对二次根式性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9.一个直角三角形的两直角边长分别为$\sqrt{15}$和$2\sqrt{3}$，则这个三角形的面积为
$3\sqrt{5}$
。答案
9.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确直角三角形的面积计算方法：直角三角形的面积等于两条直角边长度乘积的一半。我们只需将题目给出的两个直角边长代入面积公式，再按照二次根式的乘法运算法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
直角三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（其中$a$、$b$为两条直角边的长度）。
将$a=\sqrt{15}$，$b=2\sqrt{3}$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×\sqrt{15}×2\sqrt{3}\\&=(\frac{1}{2}×2)×(\sqrt{15}×\sqrt{3})\\&=1×\sqrt{15×3}\\&=\sqrt{45}\\&=3\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
直角三角形面积计算、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形面积公式和二次根式的运算法则，计算时可以先约分再进行根式运算，能简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确直角三角形的面积计算方法：直角三角形的面积等于两条直角边长度乘积的一半。我们只需将题目给出的两个直角边长代入面积公式，再按照二次根式的乘法运算法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
直角三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（其中$a$、$b$为两条直角边的长度）。
将$a=\sqrt{15}$，$b=2\sqrt{3}$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×\sqrt{15}×2\sqrt{3}\\&=(\frac{1}{2}×2)×(\sqrt{15}×\sqrt{3})\\&=1×\sqrt{15×3}\\&=\sqrt{45}\\&=3\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
直角三角形面积计算、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形面积公式和二次根式的运算法则，计算时可以先约分再进行根式运算，能简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10. 我们赋予“※”一个实际含义，规定 $ a※b = \sqrt{a} × \sqrt{b} × \sqrt{\dfrac{a}{b}} $，则 $ 3※5 $ 的值是
3
。答案
10.3
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解“※”的运算规则，明确公式中a、b分别对应参与运算的两个数；第二步将a=3、b=5代入规定的运算公式；第三步运用二次根式的乘法运算法则计算，计算时可先将根号下的数相乘约分，简化计算过程，避免分步硬算出错。
【解析】
解：根据题中规定的运算规则$a※b = \sqrt{a} × \sqrt{b} × \sqrt{\dfrac{a}{b}}$，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3※5 = \sqrt{3} × \sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），可得：
$3※5 = \sqrt{3 × 5 × \dfrac{3}{5}}$
根号内的5和分母的5约分后计算得：
$3※5 = \sqrt{3×3} = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题考查对新运算规则的解读能力和二次根式的运算技能，解题时先观察运算公式的特点，先约分再计算能大幅提升运算效率和准确率，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解“※”的运算规则，明确公式中a、b分别对应参与运算的两个数；第二步将a=3、b=5代入规定的运算公式；第三步运用二次根式的乘法运算法则计算，计算时可先将根号下的数相乘约分，简化计算过程，避免分步硬算出错。
【解析】
解：根据题中规定的运算规则$a※b = \sqrt{a} × \sqrt{b} × \sqrt{\dfrac{a}{b}}$，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3※5 = \sqrt{3} × \sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），可得：
$3※5 = \sqrt{3 × 5 × \dfrac{3}{5}}$
根号内的5和分母的5约分后计算得：
$3※5 = \sqrt{3×3} = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题考查对新运算规则的解读能力和二次根式的运算技能，解题时先观察运算公式的特点，先约分再计算能大幅提升运算效率和准确率，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
11.计算：
(1)$\sqrt{5} × \sqrt{20}$；
(2)$\sqrt{125} × \sqrt{\dfrac{1}{5}}$；
(3)$\sqrt{\dfrac{3}{2}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
(4)$\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{8}}$；
(5)$6\sqrt{15} ÷ 3\sqrt{\dfrac{1}{5}} × \sqrt{2\dfrac{2}{3}}$。
(1)$\sqrt{5} × \sqrt{20}$；
(2)$\sqrt{125} × \sqrt{\dfrac{1}{5}}$；
(3)$\sqrt{\dfrac{3}{2}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
(4)$\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{8}}$；
(5)$6\sqrt{15} ÷ 3\sqrt{\dfrac{1}{5}} × \sqrt{2\dfrac{2}{3}}$。
答案
11.解:(1)原式=10.
(2)原式=5.
(3)原式=$3\sqrt{3}$.
(4)原式=3.
(5)原式=$20\sqrt{2}$.
(2)原式=5.
(3)原式=$3\sqrt{3}$.
(4)原式=3.
(5)原式=$20\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算，解题时依据二次根式的乘除运算法则：1. 乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；2. 除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。运算时可将根号外的系数单独进行乘除计算，根号内的被开方数按照乘除法则合并计算，有混合运算时按照从左到右的顺序计算，最终将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{5 × 20} = \sqrt{100} = 10$
(2) 根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{125 × \frac{1}{5}} = \sqrt{25} = 5$
(3) 根据二次根式除法法则计算：
原式$=\sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} × 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
(4) 先算分子乘法再算除法，或统一合并被开方数计算：
原式$=\sqrt{\frac{12 × 6}{8}} = \sqrt{9} = 3$
(5) 乘除混合运算从左到右计算，系数和被开方数分别运算：
系数部分：$6 ÷ 3 = 2$
被开方数部分：$\sqrt{15 ÷ \frac{1}{5} × 2\frac{2}{3}} = \sqrt{15 × 5 × \frac{8}{3}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$
合并得：$2 × 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
【答案】
(1)$10$；(2)$5$；(3)$3\sqrt{3}$；(4)$3$；(5)$20\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式除法法则、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式乘除的基础运算题，重点考查对二次根式乘除运算法则的掌握程度，计算时注意将系数与被开方数分开运算，混合运算遵循从左到右的顺序，最终结果要化为最简二次根式，熟练掌握法则可有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘除运算，解题时依据二次根式的乘除运算法则：1. 乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；2. 除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。运算时可将根号外的系数单独进行乘除计算，根号内的被开方数按照乘除法则合并计算，有混合运算时按照从左到右的顺序计算，最终将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{5 × 20} = \sqrt{100} = 10$
(2) 根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{125 × \frac{1}{5}} = \sqrt{25} = 5$
(3) 根据二次根式除法法则计算：
原式$=\sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} × 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
(4) 先算分子乘法再算除法，或统一合并被开方数计算：
原式$=\sqrt{\frac{12 × 6}{8}} = \sqrt{9} = 3$
(5) 乘除混合运算从左到右计算，系数和被开方数分别运算：
系数部分：$6 ÷ 3 = 2$
被开方数部分：$\sqrt{15 ÷ \frac{1}{5} × 2\frac{2}{3}} = \sqrt{15 × 5 × \frac{8}{3}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$
合并得：$2 × 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
【答案】
(1)$10$；(2)$5$；(3)$3\sqrt{3}$；(4)$3$；(5)$20\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式除法法则、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式乘除的基础运算题，重点考查对二次根式乘除运算法则的掌握程度，计算时注意将系数与被开方数分开运算，混合运算遵循从左到右的顺序，最终结果要化为最简二次根式，熟练掌握法则可有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
