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1. 下面能与$\sqrt{2}$合并的二次根式是（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{2}-1$
C
）.A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{2}-1$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个二次根式能与$\sqrt{2}$合并，首先要明确：只有化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）才能合并。因此解题思路为：先将各选项中的二次根式化为最简形式，再看其被开方数是否为2，同时注意要符合“二次根式”的要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式，不能合并；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式，不能合并；
选项C：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
选项D：$\sqrt{2}-1$是含二次根式的多项式，不是单个二次根式，且其中的常数项1无法与$\sqrt{2}$合并，不符合要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式，二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的识别，核心是掌握“先化简、再判断被开方数是否相同”的判断方法，是二次根式相关的基础常规题型，掌握基本概念和化简方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式能与$\sqrt{2}$合并，首先要明确：只有化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）才能合并。因此解题思路为：先将各选项中的二次根式化为最简形式，再看其被开方数是否为2，同时注意要符合“二次根式”的要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式，不能合并；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式，不能合并；
选项C：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
选项D：$\sqrt{2}-1$是含二次根式的多项式，不是单个二次根式，且其中的常数项1无法与$\sqrt{2}$合并，不符合要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式，二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的识别，核心是掌握“先化简、再判断被开方数是否相同”的判断方法，是二次根式相关的基础常规题型，掌握基本概念和化简方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\sqrt{27} - \sqrt{8} × \sqrt{\frac{2}{3}}$的结果是(
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
).A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算乘法部分，利用二次根式乘法法则计算$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{2}{3}}$；第二步分别将两个二次根式化简为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 先计算乘法项：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{8 × \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}}$
2. 化简所有二次根式为最简形式：
$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$（分母有理化）
3. 合并同类二次根式：
原式$= 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法、最简二次根式、二次根式加减
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，运算时需注意先算乘除后算加减，化简二次根式时要正确进行分母有理化，合并同类二次根式时仅系数相加减，根式部分保持不变。
【难度系数】
0.7
这是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算乘法部分，利用二次根式乘法法则计算$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{2}{3}}$；第二步分别将两个二次根式化简为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 先计算乘法项：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{8 × \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}}$
2. 化简所有二次根式为最简形式：
$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$（分母有理化）
3. 合并同类二次根式：
原式$= 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法、最简二次根式、二次根式加减
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，运算时需注意先算乘除后算加减，化简二次根式时要正确进行分母有理化，合并同类二次根式时仅系数相加减，根式部分保持不变。
【难度系数】
0.7
3. 下列计算正确的是(
A.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$5\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}$
C
).A.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$5\sqrt{5} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{3}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算规则，解题思路是依次对每个选项按照二次根式的运算法则进行验证，判断正误：①二次根式乘法：系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将结果化简；②二次根式加减法：只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并，非同类二次根式不能直接相加减；③二次根式除法：可先写成分数形式，再通过分母有理化化简，最终判断出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = (2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3}) = 6×3 = 18$，不等于$6\sqrt{3}$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$是被开方数不同的二次根式，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$无法化简为$\sqrt{5}$，故B错误；
C选项：$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，计算正确，故C正确；
D选项：$5\sqrt{5}$和$2\sqrt{2}$是被开方数不同的二次根式，不属于同类二次根式，不能直接相减合并，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式的合并；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是牢记二次根式的运算规则，尤其注意只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现不同被开方数的根式直接加减的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算规则，解题思路是依次对每个选项按照二次根式的运算法则进行验证，判断正误：①二次根式乘法：系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将结果化简；②二次根式加减法：只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并，非同类二次根式不能直接相加减；③二次根式除法：可先写成分数形式，再通过分母有理化化简，最终判断出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3} × 3\sqrt{3} = (2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{3}) = 6×3 = 18$，不等于$6\sqrt{3}$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$是被开方数不同的二次根式，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$无法化简为$\sqrt{5}$，故B错误；
C选项：$\sqrt{2} ÷ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，计算正确，故C正确；
D选项：$5\sqrt{5}$和$2\sqrt{2}$是被开方数不同的二次根式，不属于同类二次根式，不能直接相减合并，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式的合并；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是牢记二次根式的运算规则，尤其注意只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现不同被开方数的根式直接加减的错误。
【难度系数】
0.8
4.若$\sqrt[a+b]{4b}$与$\sqrt{3a+b}$是同类二次根式，则$a$，$b$的值为(
A.$a=2,b=2$
B.$a=2,b=0$
C.$a=1,b=1$
D.$a=0,b=2$或$a=1,b=1$
D
).A.$a=2,b=2$
B.$a=2,b=0$
C.$a=1,b=1$
D.$a=0,b=2$或$a=1,b=1$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题的两个核心依据：①二次根式的根指数为2；②同类二次根式是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。我们可以先根据二次根式的定义得到$a+b=2$，再结合同类二次根式的要求分析$a、b$的取值，也可以直接代入选项验证排除错误答案，避免漏解。
【解析】
首先，二次根式的根指数为2，因此$\sqrt[a+b]{4b}$的根指数$a+b=2$，由此逐步验证选项：
1. 验证选项A：$a=2,b=2$时，$a+b=4≠2$，第一个根式不是二次根式，不符合要求，排除；
2. 验证选项B：$a=2,b=0$时，$a+b=2$，此时$\sqrt{4b}=\sqrt{0}=0$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{6}$，二者化简后被开方数不同，不是同类二次根式，排除；
3. 验证选项C：$a=1,b=1$时，$a+b=2$，$\sqrt{4b}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{4}=2$，是同类二次根式，但需要判断是否存在其他符合条件的解；
4. 验证$a=0,b=2$：$a+b=2$，$\sqrt{4b}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{2}$，化成最简后被开方数都是2，属于同类二次根式，符合要求。
因此$a=0,b=2$或$a=1,b=1$都满足条件。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式的概念
【点评】
本题解题的关键是牢记同类二次根式的判定条件，除了根指数为2外，还要注意化简后被开方数相同，代入选项验证是选择题快速解题的常用技巧，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确解题的两个核心依据：①二次根式的根指数为2；②同类二次根式是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。我们可以先根据二次根式的定义得到$a+b=2$，再结合同类二次根式的要求分析$a、b$的取值，也可以直接代入选项验证排除错误答案，避免漏解。
【解析】
首先，二次根式的根指数为2，因此$\sqrt[a+b]{4b}$的根指数$a+b=2$，由此逐步验证选项：
1. 验证选项A：$a=2,b=2$时，$a+b=4≠2$，第一个根式不是二次根式，不符合要求，排除；
2. 验证选项B：$a=2,b=0$时，$a+b=2$，此时$\sqrt{4b}=\sqrt{0}=0$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{6}$，二者化简后被开方数不同，不是同类二次根式，排除；
3. 验证选项C：$a=1,b=1$时，$a+b=2$，$\sqrt{4b}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{4}=2$，是同类二次根式，但需要判断是否存在其他符合条件的解；
4. 验证$a=0,b=2$：$a+b=2$，$\sqrt{4b}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3a+b}=\sqrt{2}$，化成最简后被开方数都是2，属于同类二次根式，符合要求。
因此$a=0,b=2$或$a=1,b=1$都满足条件。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式；二次根式的概念
【点评】
本题解题的关键是牢记同类二次根式的判定条件，除了根指数为2外，还要注意化简后被开方数相同，代入选项验证是选择题快速解题的常用技巧，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.若$x=\sqrt{2}+1$，则代数式$x^2 -2x +2$的值为（
A.7
B.4
C.3
D.$3-2\sqrt{2}$
C
）.A.7
B.4
C.3
D.$3-2\sqrt{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：观察代数式$x^2 -2x +2$的结构，发现前两项可配成完全平方形式，先对代数式变形简化，再代入$x$的值计算，可避免直接计算根式平方的繁琐，降低出错率；思路二：直接将$x=\sqrt{2}+1$代入代数式，按照二次根式的运算规则计算即可，优先推荐第一种更简便的思路。
【解析】
方法一（配方法）：
先对代数式做变形整理：
$x^2 -2x +2 = (x^2 -2x +1) + 1 = (x-1)^2 + 1$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
先计算$x-1 = \sqrt{2}+1 -1 = \sqrt{2}$
因此原式$= (\sqrt{2})^2 +1 = 2 +1 = 3$
方法二（直接代入法）：
将$x=\sqrt{2}+1$直接代入代数式计算：
先算$x^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 +1^2 = 3 + 2\sqrt{2}$
再算$-2x = -2×(\sqrt{2}+1) = -2\sqrt{2} -2$
合并得原式$= (3+2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}-2) +2 = 3$
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题型，通过配方法先变形代数式再代入的技巧，可大幅简化二次根式相关运算，是二次根式运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：观察代数式$x^2 -2x +2$的结构，发现前两项可配成完全平方形式，先对代数式变形简化，再代入$x$的值计算，可避免直接计算根式平方的繁琐，降低出错率；思路二：直接将$x=\sqrt{2}+1$代入代数式，按照二次根式的运算规则计算即可，优先推荐第一种更简便的思路。
【解析】
方法一（配方法）：
先对代数式做变形整理：
$x^2 -2x +2 = (x^2 -2x +1) + 1 = (x-1)^2 + 1$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
先计算$x-1 = \sqrt{2}+1 -1 = \sqrt{2}$
因此原式$= (\sqrt{2})^2 +1 = 2 +1 = 3$
方法二（直接代入法）：
将$x=\sqrt{2}+1$直接代入代数式计算：
先算$x^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 +1^2 = 3 + 2\sqrt{2}$
再算$-2x = -2×(\sqrt{2}+1) = -2\sqrt{2} -2$
合并得原式$= (3+2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}-2) +2 = 3$
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题型，通过配方法先变形代数式再代入的技巧，可大幅简化二次根式相关运算，是二次根式运算中需要熟练掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.8
6. 小明的计算过程如下,则他开始出现错误的是(
解:$\sqrt{6}×2\sqrt{3}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$
$=2\sqrt{6×3}-\sqrt{\frac{24}{3}}……$第一步
$=2\sqrt{18}-\sqrt{8}……$第二步
$=(2-1)\sqrt{18-8}……$第三步
$=\sqrt{10}.……$第四步
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
C
).解:$\sqrt{6}×2\sqrt{3}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$
$=2\sqrt{6×3}-\sqrt{\frac{24}{3}}……$第一步
$=2\sqrt{18}-\sqrt{8}……$第二步
$=(2-1)\sqrt{18-8}……$第三步
$=\sqrt{10}.……$第四步
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时需按照二次根式的运算法则逐一核对每一步计算是否正确：首先明确二次根式的乘除、加减运算规则，先判断乘除步骤是否正确，再判断加减步骤是否正确。首先第一步运用二次根式乘除法则，将系数、被开方数分别运算，符合规则；第二步计算根号内的数值，结果正确；第三步进行加减运算时，违反了二次根式加减需先化简、再合并同类二次根式的规则，直接对系数和被开方数分别做减法，因此错误出在第三步。
【解析】
我们根据二次根式的运算法则逐步骤核对：
1. 二次根式乘除法则：$a\sqrt{b}·c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}(b≥0,d≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$
第一步：$\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2\sqrt{6×3}$，$\sqrt{24}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{24}{3}}$，符合乘除运算法则，计算正确。
2. 第二步：计算根号内的数值，$6×3=18$，$24÷3=8$，得到$2\sqrt{18}-\sqrt{8}$，计算正确。
3. 二次根式加减法则：需先将各根式化为最简二次根式，仅同类二次根式（被开方数相同）可以合并，合并时系数相加减，被开方数保持不变。
第三步：直接将系数相减、被开方数相减，违反了二次根式加减的运算规则，正确运算应为：$2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，合并得$6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，因此第三步开始出错。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，核心是区分二次根式乘除和加减的运算规则，加减运算不能直接对被开方数做加减，必须先化简再合并同类二次根式，掌握运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题时需按照二次根式的运算法则逐一核对每一步计算是否正确：首先明确二次根式的乘除、加减运算规则，先判断乘除步骤是否正确，再判断加减步骤是否正确。首先第一步运用二次根式乘除法则，将系数、被开方数分别运算，符合规则；第二步计算根号内的数值，结果正确；第三步进行加减运算时，违反了二次根式加减需先化简、再合并同类二次根式的规则，直接对系数和被开方数分别做减法，因此错误出在第三步。
【解析】
我们根据二次根式的运算法则逐步骤核对：
1. 二次根式乘除法则：$a\sqrt{b}·c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}(b≥0,d≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$
第一步：$\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2\sqrt{6×3}$，$\sqrt{24}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{24}{3}}$，符合乘除运算法则，计算正确。
2. 第二步：计算根号内的数值，$6×3=18$，$24÷3=8$，得到$2\sqrt{18}-\sqrt{8}$，计算正确。
3. 二次根式加减法则：需先将各根式化为最简二次根式，仅同类二次根式（被开方数相同）可以合并，合并时系数相加减，被开方数保持不变。
第三步：直接将系数相减、被开方数相减，违反了二次根式加减的运算规则，正确运算应为：$2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，合并得$6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，因此第三步开始出错。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，核心是区分二次根式乘除和加减的运算规则，加减运算不能直接对被开方数做加减，必须先化简再合并同类二次根式，掌握运算规则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
7.化简$(\sqrt{3}+2)^{2034} · (\sqrt{3}-2)^{2033}$的结果是（
A.$-\sqrt{3}-2$
B.$\sqrt{3}-2$
C.$-\sqrt{3}+2$
D.$\sqrt{3}+2$
A
）.A.$-\sqrt{3}-2$
B.$\sqrt{3}-2$
C.$-\sqrt{3}+2$
D.$\sqrt{3}+2$
答案
7.A
解析
【分析】
观察待化简式子的两个底数$\sqrt{3}+2$和$\sqrt{3}-2$，符合平方差公式的结构特征，且两个幂的指数仅相差1，因此可先将指数较高的$(\sqrt{3}+2)^{2034}$拆分为$(\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2033}$，再逆用积的乘方公式，把同指数的两个幂先合并计算，结合平方差公式快速算出底数的乘积，最后化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= (\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2033} × (\sqrt{3}-2)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × [ (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) ]^{2033} \quad \mathrm{（逆用积的乘方公式：$a^n · b^n=(ab)^n$）} \\&= (\sqrt{3}+2) × [ (\sqrt{3})^2 - 2^2 ]^{2033} \quad \mathrm{（利用平方差公式计算）} \\&= (\sqrt{3}+2) × (3-4)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × (-1)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × (-1) \\&= -\sqrt{3} -2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，乘方的符号规律
【点评】
本题是二次根式化简的常考题型，核心是通过拆分高次幂构造同指数幂，再结合乘法公式简化运算，避免直接计算高次幂的繁琐，考察学生对幂的运算性质和乘法公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
观察待化简式子的两个底数$\sqrt{3}+2$和$\sqrt{3}-2$，符合平方差公式的结构特征，且两个幂的指数仅相差1，因此可先将指数较高的$(\sqrt{3}+2)^{2034}$拆分为$(\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2033}$，再逆用积的乘方公式，把同指数的两个幂先合并计算，结合平方差公式快速算出底数的乘积，最后化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= (\sqrt{3}+2) × (\sqrt{3}+2)^{2033} × (\sqrt{3}-2)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × [ (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) ]^{2033} \quad \mathrm{（逆用积的乘方公式：$a^n · b^n=(ab)^n$）} \\&= (\sqrt{3}+2) × [ (\sqrt{3})^2 - 2^2 ]^{2033} \quad \mathrm{（利用平方差公式计算）} \\&= (\sqrt{3}+2) × (3-4)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × (-1)^{2033} \\&= (\sqrt{3}+2) × (-1) \\&= -\sqrt{3} -2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，乘方的符号规律
【点评】
本题是二次根式化简的常考题型，核心是通过拆分高次幂构造同指数幂，再结合乘法公式简化运算，避免直接计算高次幂的繁琐，考察学生对幂的运算性质和乘法公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.估算$\sqrt{20}+\sqrt{5}×2$的结果在(
A.7和8之间
B.8和9之间
C.9和10之间
D.10和11之间
B
).A.7和8之间
B.8和9之间
C.9和10之间
D.10和11之间
答案
8.B
解析
【分析】
遇到二次根式的估算类题目，首先要先将原式化简为最简形式，再估算无理数的范围即可。第一步先根据二次根式的运算法则，先化简每个二次根式、计算乘法，再合并同类二次根式；第二步将合并后的结果通过与相邻完全平方数比较，确定其取值范围，即可判断所在区间。
【解析】
解：先化简原式：
$\sqrt{20} = \sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}×2=2\sqrt{5}$，
因此原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
将$4\sqrt{5}$转化为根号形式：$4\sqrt{5}=\sqrt{4^2×5}=\sqrt{80}$。
因为$8^2=64$，$9^2=81$，可得$64＜80＜81$，
根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，所以$\sqrt{64}＜\sqrt{80}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{80}＜9$。
因此$\sqrt{20}+\sqrt{5}×2$的结果在8和9之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题是二次根式运算结合无理数估算的基础题型，解题核心是先化简原式再估算，避免直接分开估算产生误差，掌握同类二次根式合并和完全平方数的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到二次根式的估算类题目，首先要先将原式化简为最简形式，再估算无理数的范围即可。第一步先根据二次根式的运算法则，先化简每个二次根式、计算乘法，再合并同类二次根式；第二步将合并后的结果通过与相邻完全平方数比较，确定其取值范围，即可判断所在区间。
【解析】
解：先化简原式：
$\sqrt{20} = \sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}×2=2\sqrt{5}$，
因此原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
将$4\sqrt{5}$转化为根号形式：$4\sqrt{5}=\sqrt{4^2×5}=\sqrt{80}$。
因为$8^2=64$，$9^2=81$，可得$64＜80＜81$，
根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，所以$\sqrt{64}＜\sqrt{80}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{80}＜9$。
因此$\sqrt{20}+\sqrt{5}×2$的结果在8和9之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题是二次根式运算结合无理数估算的基础题型，解题核心是先化简原式再估算，避免直接分开估算产生误差，掌握同类二次根式合并和完全平方数的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值是$\sqrt{2}$，则最后输出的结果是（
A.14
B.16
C.$8+5\sqrt{2}$
D.$14+\sqrt{2}$
C
）。A.14
B.16
C.$8+5\sqrt{2}$
D.$14+\sqrt{2}$
答案
9.C
解析
【分析】
首先明确程序的运算规则：输入n后计算n(n+1)的值，若结果大于15则直接输出，若结果不大于15，就将该结果作为新的n再次代入计算，直到得到的结果大于15为止。我们按照这个规则，从初始输入的$n=\sqrt{2}$开始逐步计算即可。
【解析】
第一步，初始输入$n=\sqrt{2}$，代入计算：
$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
由于$2+\sqrt{2}\approx3.414＜15$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算。
第二步，$n=2+\sqrt{2}$，代入计算：
$n(n+1)=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
展开计算得：
$=2×3 + 2×\sqrt{2} + 3×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2$
$=8+5\sqrt{2}$
计算近似值：$8+5\sqrt{2}\approx8+7.07=15.07＞15$，满足输出条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，程序计算，多项式乘法
【点评】
本题需要准确理解程序的循环运算规则，掌握二次根式和多项式乘法的计算方法，解题时要注意不要只计算一次就直接判断结果，需验证是否满足输出条件，避免漏算循环步骤。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运算规则：输入n后计算n(n+1)的值，若结果大于15则直接输出，若结果不大于15，就将该结果作为新的n再次代入计算，直到得到的结果大于15为止。我们按照这个规则，从初始输入的$n=\sqrt{2}$开始逐步计算即可。
【解析】
第一步，初始输入$n=\sqrt{2}$，代入计算：
$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$
由于$2+\sqrt{2}\approx3.414＜15$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算。
第二步，$n=2+\sqrt{2}$，代入计算：
$n(n+1)=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
展开计算得：
$=2×3 + 2×\sqrt{2} + 3×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2$
$=8+5\sqrt{2}$
计算近似值：$8+5\sqrt{2}\approx8+7.07=15.07＞15$，满足输出条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，程序计算，多项式乘法
【点评】
本题需要准确理解程序的循环运算规则，掌握二次根式和多项式乘法的计算方法，解题时要注意不要只计算一次就直接判断结果，需验证是否满足输出条件，避免漏算循环步骤。
【难度系数】
0.7
10. 计算$(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) × \sqrt{6}$的结果为
$3\sqrt{3}$
.答案
10.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时可利用乘法分配律简化计算：第一步将括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{6}$相乘，第二步分别计算两个二次根式的乘积并化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到结果。也可先化简括号内的二次根式、合并后再与$\sqrt{6}$相乘，两种方法均符合运算规则。
【解析】
方法一（利用乘法分配律计算）：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{6}&=\sqrt{8}×\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}\\&=\sqrt{8×6}-\sqrt{\frac{1}{2}×6}\\&=\sqrt{48}-\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
方法二（先化简括号内再计算）：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{6}&=(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})×\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{12}}{2}\\&=\frac{3×2\sqrt{3}}{2}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时可灵活选择运算律简化计算步骤，需注意最终运算结果要化为最简二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题时可利用乘法分配律简化计算：第一步将括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{6}$相乘，第二步分别计算两个二次根式的乘积并化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到结果。也可先化简括号内的二次根式、合并后再与$\sqrt{6}$相乘，两种方法均符合运算规则。
【解析】
方法一（利用乘法分配律计算）：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{6}&=\sqrt{8}×\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{6}\\&=\sqrt{8×6}-\sqrt{\frac{1}{2}×6}\\&=\sqrt{48}-\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
方法二（先化简括号内再计算）：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{6}&=(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})×\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}\\&=\frac{3\sqrt{12}}{2}\\&=\frac{3×2\sqrt{3}}{2}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时可灵活选择运算律简化计算步骤，需注意最终运算结果要化为最简二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
11. 计算$(2-\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2})^{-1}$的结果为
$9-4\sqrt{3}$
。答案
11.$9-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
这道题属于实数混合运算题，解题时可分模块计算再合并结果：首先利用完全平方公式展开含二次根式的平方项，再根据负整数指数幂的运算法则计算负指数项，最后合并同类项即可得到最终结果，解题时要注意完全平方展开不要漏项，负指数运算不要算反。
【解析】
解：分步计算两个项的值再求和：
1. 计算$(2-\sqrt{3})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2&=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\&=4 - 4\sqrt{3} + 3\\&=7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
2. 计算$(\frac{1}{2})^{-1}$，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}（a≠0，p为正整数）$：
$(\frac{1}{2})^{-1}=2^1=2$
3. 合并两个结果：
$7 - 4\sqrt{3} + 2 = 9 - 4\sqrt{3}$
【答案】
$9-4\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、负整数指数幂运算、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察对常用运算公式、法则的掌握程度，只要熟记相关规则，计算时细心展开、合并，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题属于实数混合运算题，解题时可分模块计算再合并结果：首先利用完全平方公式展开含二次根式的平方项，再根据负整数指数幂的运算法则计算负指数项，最后合并同类项即可得到最终结果，解题时要注意完全平方展开不要漏项，负指数运算不要算反。
【解析】
解：分步计算两个项的值再求和：
1. 计算$(2-\sqrt{3})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2&=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\&=4 - 4\sqrt{3} + 3\\&=7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
2. 计算$(\frac{1}{2})^{-1}$，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}（a≠0，p为正整数）$：
$(\frac{1}{2})^{-1}=2^1=2$
3. 合并两个结果：
$7 - 4\sqrt{3} + 2 = 9 - 4\sqrt{3}$
【答案】
$9-4\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、负整数指数幂运算、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察对常用运算公式、法则的掌握程度，只要熟记相关规则，计算时细心展开、合并，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
12. 计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{32}-\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{\frac{2}{9}}$；
(3)$\sqrt{50}÷\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}$；
(4)$\sqrt{20}+\sqrt{5}×(2+\sqrt{5})$；
(5)$(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{2}-\sqrt{3})$；
(6)$(\sqrt{5}+3\sqrt{2})^2$.
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{32}-\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{\frac{2}{9}}$；
(3)$\sqrt{50}÷\sqrt{2}-\sqrt{8}×\sqrt{2}$；
(4)$\sqrt{20}+\sqrt{5}×(2+\sqrt{5})$；
(5)$(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{2}-\sqrt{3})$；
(6)$(\sqrt{5}+3\sqrt{2})^2$.
答案
(1)原式=$5\sqrt{2}$.
(2)原式=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$.
(3)原式=1.
(4)原式=$4\sqrt{5}+5$.
(5)原式=$-1$.
(6)原式=$23+6\sqrt{10}$.
(2)原式=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$.
(3)原式=1.
(4)原式=$4\sqrt{5}+5$.
(5)原式=$-1$.
(6)原式=$23+6\sqrt{10}$.
解析
【分析】
这组题目考查二次根式的化简与运算，解题思路如下：第一步先将所有二次根式化为最简二次根式；第二步遵循运算顺序计算，有乘除先算乘除，可利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$简化运算，符合平方差、完全平方乘法公式结构的优先用公式简化计算；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简各根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2+4-1)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$；
(2) 先化简各根式：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
原式$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{7\sqrt{2}}{3}$；
(3) 先算乘除运算：$\sqrt{50}÷\sqrt{2}=\sqrt{50÷2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{8×2}=\sqrt{16}=4$，
原式$=5-4=1$；
(4) 先化简$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，再用乘法分配律计算乘法：$\sqrt{5}×(2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=2\sqrt{5}+5$，
原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5=4\sqrt{5}+5$；
(5) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，其中$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，
原式$=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1$；
(6) 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算，其中$a=\sqrt{5}$，$b=3\sqrt{2}$，
原式$=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=5+6\sqrt{10}+18=23+6\sqrt{10}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$；(2)$\frac{7\sqrt{2}}{3}$；(3)$1$；(4)$4\sqrt{5}+5$；(5)$-1$；(6)$23+6\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本组题是二次根式运算的基础题型，覆盖了二次根式各类常见运算场景，熟练掌握运算法则和公式能有效提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
这组题目考查二次根式的化简与运算，解题思路如下：第一步先将所有二次根式化为最简二次根式；第二步遵循运算顺序计算，有乘除先算乘除，可利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$简化运算，符合平方差、完全平方乘法公式结构的优先用公式简化计算；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简各根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2+4-1)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$；
(2) 先化简各根式：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
原式$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{7\sqrt{2}}{3}$；
(3) 先算乘除运算：$\sqrt{50}÷\sqrt{2}=\sqrt{50÷2}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{8×2}=\sqrt{16}=4$，
原式$=5-4=1$；
(4) 先化简$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，再用乘法分配律计算乘法：$\sqrt{5}×(2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=2\sqrt{5}+5$，
原式$=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5=4\sqrt{5}+5$；
(5) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，其中$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，
原式$=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1$；
(6) 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算，其中$a=\sqrt{5}$，$b=3\sqrt{2}$，
原式$=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=5+6\sqrt{10}+18=23+6\sqrt{10}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$；(2)$\frac{7\sqrt{2}}{3}$；(3)$1$；(4)$4\sqrt{5}+5$；(5)$-1$；(6)$23+6\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本组题是二次根式运算的基础题型，覆盖了二次根式各类常见运算场景，熟练掌握运算法则和公式能有效提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
