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13. 下面是小军同学计算$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3}-1)×(1+2\sqrt{3})$的解题过程.
解:$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3}-1)×(1+2\sqrt{3})$
$=8-3+2\sqrt{3}+12-1-2\sqrt{3}$……第一步
$=5+12-1$……第二步
$=16.$……第三步
(1)上面的计算过程中最早出现错误的是第
(2)请写出正确的过程.
解:$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3}-1)×(1+2\sqrt{3})$
$=8-3+2\sqrt{3}+12-1-2\sqrt{3}$……第一步
$=5+12-1$……第二步
$=16.$……第三步
(1)上面的计算过程中最早出现错误的是第
一
步；(2)请写出正确的过程.
答案
(1)一
(2)原式=$8-4\sqrt{6}+3+12-1=22-4\sqrt{6}$.
(2)原式=$8-4\sqrt{6}+3+12-1=22-4\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题围绕二次根式的混合运算展开，解题可结合乘法公式完成：(1)判断错误步骤时，先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将小军的计算步骤和公式展开结果逐一比对，即可找到最早出错的步骤；(2)正确计算时，先分别对两个运算项套用对应乘法公式展开，再合并常数项和同类二次根式就能得到最终结果。
【解析】
(1) 分析第一步的展开：
式子$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$用完全平方公式展开应为$(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=8-4\sqrt{6}+3$，小军的展开不仅漏了$-4\sqrt{6}$项，符号计算也出现错误，还额外多了不存在的$+2\sqrt{3}$项，因此最早出现错误的是第一步。
(2) 正确计算过程：
$\begin{split}原式&=(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 -1^2\\&=8-4\sqrt{6}+3+12-1\\&=22-4\sqrt{6}\end{split}$
【答案】
(1) 一
(2) 原式=$8-4\sqrt{6}+3+12-1=22-4\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时要准确识别公式适用的结构，展开过程注意不要漏项、不要出现符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次根式的混合运算展开，解题可结合乘法公式完成：(1)判断错误步骤时，先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将小军的计算步骤和公式展开结果逐一比对，即可找到最早出错的步骤；(2)正确计算时，先分别对两个运算项套用对应乘法公式展开，再合并常数项和同类二次根式就能得到最终结果。
【解析】
(1) 分析第一步的展开：
式子$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$用完全平方公式展开应为$(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=8-4\sqrt{6}+3$，小军的展开不仅漏了$-4\sqrt{6}$项，符号计算也出现错误，还额外多了不存在的$+2\sqrt{3}$项，因此最早出现错误的是第一步。
(2) 正确计算过程：
$\begin{split}原式&=(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 -1^2\\&=8-4\sqrt{6}+3+12-1\\&=22-4\sqrt{6}\end{split}$
【答案】
(1) 一
(2) 原式=$8-4\sqrt{6}+3+12-1=22-4\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时要准确识别公式适用的结构，展开过程注意不要漏项、不要出现符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14. 阅读材料,并回答问题.
形如$\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}-1}$的数可以化简,其化简的目的是把原数分母中的无理数化为有理数,如$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$,这样的化简过程叫作分母有理化.
我们把$\sqrt{3}$叫作$\sqrt{3}$的有理化因式,$\sqrt{2}+1$叫作$\sqrt{2}-1$的有理化因式.
(1)问题:$\sqrt{10}$的有理化因式是________,$\sqrt{7}+2$的有理化因式是________;
(2)应用:分母有理化$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$;
(3)拓展:比较$\sqrt{3}-\sqrt{2}$与$2-\sqrt{3}$的大小.
形如$\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}-1}$的数可以化简,其化简的目的是把原数分母中的无理数化为有理数,如$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$,这样的化简过程叫作分母有理化.
我们把$\sqrt{3}$叫作$\sqrt{3}$的有理化因式,$\sqrt{2}+1$叫作$\sqrt{2}-1$的有理化因式.
(1)问题:$\sqrt{10}$的有理化因式是________,$\sqrt{7}+2$的有理化因式是________;
(2)应用:分母有理化$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$;
(3)拓展:比较$\sqrt{3}-\sqrt{2}$与$2-\sqrt{3}$的大小.
答案
(1)$\sqrt{10}$ $\sqrt{7}-2$
(2)$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})×(3+\sqrt{5})}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
(3)
∵$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$,
而 $2+\sqrt{3}＞\sqrt{2}+\sqrt{3}$,
∴$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜\frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
∵$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0,2-\sqrt{3}＞0$,
∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$.
(2)$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})×(3+\sqrt{5})}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
(3)
∵$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$,
而 $2+\sqrt{3}＞\sqrt{2}+\sqrt{3}$,
∴$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜\frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
∵$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0,2-\sqrt{3}＞0$,
∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据有理化因式的定义，两个含二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则二者互为有理化因式。寻找√10的有理化因式时，只需找与√10相乘结果为有理数的含二次根式的代数式即可；寻找√7+2的有理化因式时，结合平方差公式特征，构造与它相乘能消去根号的代数式即可。
2. 第(2)问：分母有理化的核心是给分子、分母同乘分母的有理化因式，先确定分母3-√5的有理化因式为3+√5，再利用平方差公式计算分母，最后约分化简得到结果。
3. 第(3)问：要比较的两个数都是正数，直接计算近似值操作繁琐，可采用倒数法：正数的倒数越大，原数越小。先分别求出两个数的倒数，对倒数做分母有理化后比较倒数的大小，再反推原数的大小即可。
【解析】
(1) 由有理化因式定义可得：
$\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$，乘积不含二次根式，因此$\sqrt{10}$的有理化因式是$\sqrt{10}$；
$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3$，乘积不含二次根式，因此$\sqrt{7}+2$的有理化因式是$\sqrt{7}-2$。
(2) 给分子、分母同乘分母的有理化因式$3+\sqrt{5}$：
$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
(3) 先分别求两个数的倒数并分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
因为$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，
又因为$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0$，$2-\sqrt{3}＞0$，正数中倒数更小的数更大，因此$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；$\sqrt{7}-2$
(2)$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
(3)$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化；有理化因式；二次根式大小比较
【点评】
本题围绕二次根式有理化展开，从概念识别到基础应用再到拓展比较，层层递进，考查对有理化相关知识的掌握程度，需要熟练掌握有理化因式的确定方法，灵活运用平方差公式简化运算，同时理解倒数法比较正数大小的逻辑。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据有理化因式的定义，两个含二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则二者互为有理化因式。寻找√10的有理化因式时，只需找与√10相乘结果为有理数的含二次根式的代数式即可；寻找√7+2的有理化因式时，结合平方差公式特征，构造与它相乘能消去根号的代数式即可。
2. 第(2)问：分母有理化的核心是给分子、分母同乘分母的有理化因式，先确定分母3-√5的有理化因式为3+√5，再利用平方差公式计算分母，最后约分化简得到结果。
3. 第(3)问：要比较的两个数都是正数，直接计算近似值操作繁琐，可采用倒数法：正数的倒数越大，原数越小。先分别求出两个数的倒数，对倒数做分母有理化后比较倒数的大小，再反推原数的大小即可。
【解析】
(1) 由有理化因式定义可得：
$\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$，乘积不含二次根式，因此$\sqrt{10}$的有理化因式是$\sqrt{10}$；
$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3$，乘积不含二次根式，因此$\sqrt{7}+2$的有理化因式是$\sqrt{7}-2$。
(2) 给分子、分母同乘分母的有理化因式$3+\sqrt{5}$：
$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
(3) 先分别求两个数的倒数并分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
因为$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，
又因为$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0$，$2-\sqrt{3}＞0$，正数中倒数更小的数更大，因此$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；$\sqrt{7}-2$
(2)$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
(3)$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞2-\sqrt{3}$
【知识点】
分母有理化；有理化因式；二次根式大小比较
【点评】
本题围绕二次根式有理化展开，从概念识别到基础应用再到拓展比较，层层递进，考查对有理化相关知识的掌握程度，需要熟练掌握有理化因式的确定方法，灵活运用平方差公式简化运算，同时理解倒数法比较正数大小的逻辑。
【难度系数】
0.7
