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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，且$AC=3$，则$BC^2 + AC^2 + AB^2$的值为(
A.15
B.16
C.18
D.无法计算
C
)。A.15
B.16
C.18
D.无法计算
答案
1.C
解析
【分析】
首先看到题目是直角三角形求三边平方和的问题，首先回忆勾股定理相关知识：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。首先确定直角∠B对应的斜边是AC，因此可以得到AB²+BC²=AC²，待求的式子可整理为(AB²+BC²)+AC²，将AB²+BC²替换成AC²后，就可以代入已知AC的数值计算结果，不需要单独求AB、BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，AC为斜边，
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
已知$AC=3$，因此$AC^2=3^2=9$，
∴ $BC^2 + AC^2 + AB^2 = (AB^2 + BC^2) + AC^2 = AC^2 + AC^2 = 2×9=18$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题关键是找准直角对应的斜边，利用勾股定理将待求式子转化为仅含已知斜边的表达式，用整体代入的方法即可快速得出结果，重点考查基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.9
首先看到题目是直角三角形求三边平方和的问题，首先回忆勾股定理相关知识：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。首先确定直角∠B对应的斜边是AC，因此可以得到AB²+BC²=AC²，待求的式子可整理为(AB²+BC²)+AC²，将AB²+BC²替换成AC²后，就可以代入已知AC的数值计算结果，不需要单独求AB、BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，AC为斜边，
∴ 根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
已知$AC=3$，因此$AC^2=3^2=9$，
∴ $BC^2 + AC^2 + AB^2 = (AB^2 + BC^2) + AC^2 = AC^2 + AC^2 = 2×9=18$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题关键是找准直角对应的斜边，利用勾股定理将待求式子转化为仅含已知斜边的表达式，用整体代入的方法即可快速得出结果，重点考查基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.9
2.在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，则下列式子不成立的是(
A.$BC^2=AB^2+AC^2$
B.$AB^2=AC^2+BC^2$
C.$AB^2=BC^2-AC^2$
D.$AC^2=BC^2-AB^2$
B
).A.$BC^2=AB^2+AC^2$
B.$AB^2=AC^2+BC^2$
C.$AB^2=BC^2-AC^2$
D.$AC^2=BC^2-AB^2$
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC中∠A=90°，说明这是直角三角形。直角所对的边为斜边，因此∠A对的边BC是斜边，AB、AC为两条直角边。接下来回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们先写出勾股定理原式，再对原式移项变形，逐一核对四个选项，找出不成立的选项即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠A=90°，
∴ BC是直角三角形的斜边，AB、AC为直角边，
根据勾股定理可得：$BC^2=AB^2+AC^2$，
对该式移项变形可得：
$AB^2=BC^2-AC^2$，$AC^2=BC^2-AB^2$，
逐一核对选项：
A选项符合勾股定理原式，成立；
B选项不符合推导得到的式子，不成立；
C选项是勾股定理的变形，成立；
D选项是勾股定理的变形，成立。
所以选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据直角的位置确定斜边，再结合勾股定理及其变形判断选项，做题时注意不要混淆斜边和直角边的位置。
【难度系数】
0.9
首先明确已知条件：△ABC中∠A=90°，说明这是直角三角形。直角所对的边为斜边，因此∠A对的边BC是斜边，AB、AC为两条直角边。接下来回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们先写出勾股定理原式，再对原式移项变形，逐一核对四个选项，找出不成立的选项即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠A=90°，
∴ BC是直角三角形的斜边，AB、AC为直角边，
根据勾股定理可得：$BC^2=AB^2+AC^2$，
对该式移项变形可得：
$AB^2=BC^2-AC^2$，$AC^2=BC^2-AB^2$，
逐一核对选项：
A选项符合勾股定理原式，成立；
B选项不符合推导得到的式子，不成立；
C选项是勾股定理的变形，成立；
D选项是勾股定理的变形，成立。
所以选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据直角的位置确定斜边，再结合勾股定理及其变形判断选项，做题时注意不要混淆斜边和直角边的位置。
【难度系数】
0.9
3.已知一个等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则底边上的高为(
A.12
B.5
C.40
D.$\frac{10}{13}$
A
).A.12
B.5
C.40
D.$\frac{10}{13}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），因此底边上的高会把底边平分为长度相等的两段。此时高、半段底边、腰刚好构成直角三角形，其中腰是直角三角形的斜边，我们就可以用勾股定理计算出底边上的高的长度。
【解析】
解：根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边
∴ 底边被高分成的单段长度为：$10÷2=5$
设底边上的高为$h$，高、半段底边、腰构成直角三角形，由勾股定理得：
$h^2 + 5^2 = 13^2$
计算得：$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵ 高为正数，
∴ $h=\sqrt{144}=12$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解即可，解题思路清晰，掌握相关基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），因此底边上的高会把底边平分为长度相等的两段。此时高、半段底边、腰刚好构成直角三角形，其中腰是直角三角形的斜边，我们就可以用勾股定理计算出底边上的高的长度。
【解析】
解：根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边
∴ 底边被高分成的单段长度为：$10÷2=5$
设底边上的高为$h$，高、半段底边、腰构成直角三角形，由勾股定理得：
$h^2 + 5^2 = 13^2$
计算得：$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵ 高为正数，
∴ $h=\sqrt{144}=12$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解即可，解题思路清晰，掌握相关基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 将一个长为2、宽为1的长方形ABCD按如图所示的方式放在数轴上，使点A与原点O重合。若以点O为圆心，AC长为半径画圆，则这个圆与数轴的交点所表示的数是(
A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm2.5$
C
).A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm2.5$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先明确目标：要得到圆与数轴交点表示的数，需先求圆的半径AC的长度。首先利用长方形内角为直角的性质，结合勾股定理计算对角线AC的长度；再根据圆的性质，圆心在原点时，圆与数轴的交点到原点的距离都等于半径，且数轴正、负半轴各有一个交点，即可得到对应表示的数。
【解析】
已知长方形ABCD长为2，宽为1，即AB=2，BC=1，且∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
因此$AC = \sqrt{5}$，即所画圆的半径为$\sqrt{5}$。
因为圆以原点O为圆心，所以圆与数轴正半轴的交点到原点距离为$\sqrt{5}$，表示的数是$\sqrt{5}$；与数轴负半轴的交点到原点距离也为$\sqrt{5}$，表示的数是$-\sqrt{5}$。
综上，交点表示的数是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题的关键是先正确求出长方形对角线的长度，同时注意数轴上原点两侧均存在符合条件的点，避免遗漏负半轴的交点。
【难度系数】
0.7
解题时先明确目标：要得到圆与数轴交点表示的数，需先求圆的半径AC的长度。首先利用长方形内角为直角的性质，结合勾股定理计算对角线AC的长度；再根据圆的性质，圆心在原点时，圆与数轴的交点到原点的距离都等于半径，且数轴正、负半轴各有一个交点，即可得到对应表示的数。
【解析】
已知长方形ABCD长为2，宽为1，即AB=2，BC=1，且∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
因此$AC = \sqrt{5}$，即所画圆的半径为$\sqrt{5}$。
因为圆以原点O为圆心，所以圆与数轴正半轴的交点到原点距离为$\sqrt{5}$，表示的数是$\sqrt{5}$；与数轴负半轴的交点到原点距离也为$\sqrt{5}$，表示的数是$-\sqrt{5}$。
综上，交点表示的数是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题的关键是先正确求出长方形对角线的长度，同时注意数轴上原点两侧均存在符合条件的点，避免遗漏负半轴的交点。
【难度系数】
0.7
5. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(
A.5 m
B.12 m
C.13 m
D.18 m
D
).A.5 m
B.12 m
C.13 m
D.18 m
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确旗杆垂直于地面，因此折断的旗杆部分、未折断的旗杆部分、地面三者刚好围成直角三角形，两条直角边长度分别为5m和12m。解题时先利用勾股定理求出折断部分的长度，再将其与未折断的5m相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
由题意可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=5m，AC=12m。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2=BC^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169$
因此$AB=\sqrt{169}=13\mathrm{m}$（长度为正数，取算术平方根）
旗杆折断前的高度为未折断部分与折断部分的长度和，即$BC+AB=5+13=18\mathrm{m}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，易错点是仅计算出折断部分的长度就直接选择，遗漏未折断的5m部分。
【难度系数】
0.8
首先明确旗杆垂直于地面，因此折断的旗杆部分、未折断的旗杆部分、地面三者刚好围成直角三角形，两条直角边长度分别为5m和12m。解题时先利用勾股定理求出折断部分的长度，再将其与未折断的5m相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
由题意可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=5m，AC=12m。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2=BC^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169$
因此$AB=\sqrt{169}=13\mathrm{m}$（长度为正数，取算术平方根）
旗杆折断前的高度为未折断部分与折断部分的长度和，即$BC+AB=5+13=18\mathrm{m}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，易错点是仅计算出折断部分的长度就直接选择，遗漏未折断的5m部分。
【难度系数】
0.8
6.如图所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是(
A.13
B.26
C.47
D.94
C
).A.13
B.26
C.47
D.94
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查勾股定理在勾股树模型中的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；其次正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们可以先分别求出A、B的面积和，以及C、D的面积和，这两个和分别对应中间两个直角三角形的斜边上正方形的面积，最后将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据正方形面积公式$S=边长^2$，先计算各小正方形的面积：
正方形A的面积：$S_A=3^2=9$
正方形B的面积：$S_B=5^2=25$
则A、B对应的直角三角形斜边的正方形面积为：$S_A+S_B=9+25=34$
正方形C的面积：$S_C=2^2=4$
正方形D的面积：$S_D=3^2=9$
则C、D对应的直角三角形斜边的正方形面积为：$S_C+S_D=4+9=13$
最大正方形E的面积等于上述两个正方形面积之和：$S_E=34+13=47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，解题的核心是理解勾股树模型中“直角边对应的两个正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”的等量关系，不需要单独计算各直角三角形的边长，直接通过面积转化即可快速求解，技巧性较强。
【难度系数】
0.75
本题考查勾股定理在勾股树模型中的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；其次正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们可以先分别求出A、B的面积和，以及C、D的面积和，这两个和分别对应中间两个直角三角形的斜边上正方形的面积，最后将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据正方形面积公式$S=边长^2$，先计算各小正方形的面积：
正方形A的面积：$S_A=3^2=9$
正方形B的面积：$S_B=5^2=25$
则A、B对应的直角三角形斜边的正方形面积为：$S_A+S_B=9+25=34$
正方形C的面积：$S_C=2^2=4$
正方形D的面积：$S_D=3^2=9$
则C、D对应的直角三角形斜边的正方形面积为：$S_C+S_D=4+9=13$
最大正方形E的面积等于上述两个正方形面积之和：$S_E=34+13=47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，解题的核心是理解勾股树模型中“直角边对应的两个正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”的等量关系，不需要单独计算各直角三角形的边长，直接通过面积转化即可快速求解，技巧性较强。
【难度系数】
0.75
7.如图，小巷左、右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5 m，则小巷的宽为(
A.2 m
B.2.5 m
C.2.6 m
D.2.7 m
D
).A.2 m
B.2.5 m
C.2.6 m
D.2.7 m
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先要明确梯子长度是固定不变的，梯子与墙面、地面始终构成直角三角形，因此可以两次运用勾股定理求解：第一步先根据梯子斜靠左墙时的两组边长求出梯子的总长度，第二步根据梯子斜靠右墙时的长度和顶端高度，求出梯子底端到右墙角的距离，最后将两段水平距离相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$，
因此梯子长度$AB=2.5\mathrm{m}$。
梯子斜靠右墙时长度不变，即$A'B=AB=2.5\mathrm{m}$，在$Rt△ A'BD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理可得：
$BD^2=A'B^2-A'D^2=6.25-1.5^2=6.25-2.25=4$，
因此$BD=2\mathrm{m}$。
小巷的宽$CD=BC+BD=0.7+2=2.7\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，几何实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，准确识别两次构成的直角三角形，代入对应边长计算即可，解题时注意不要混淆直角三角形的直角边和斜边。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确梯子长度是固定不变的，梯子与墙面、地面始终构成直角三角形，因此可以两次运用勾股定理求解：第一步先根据梯子斜靠左墙时的两组边长求出梯子的总长度，第二步根据梯子斜靠右墙时的长度和顶端高度，求出梯子底端到右墙角的距离，最后将两段水平距离相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$，
因此梯子长度$AB=2.5\mathrm{m}$。
梯子斜靠右墙时长度不变，即$A'B=AB=2.5\mathrm{m}$，在$Rt△ A'BD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理可得：
$BD^2=A'B^2-A'D^2=6.25-1.5^2=6.25-2.25=4$，
因此$BD=2\mathrm{m}$。
小巷的宽$CD=BC+BD=0.7+2=2.7\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，几何实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，准确识别两次构成的直角三角形，代入对应边长计算即可，解题时注意不要混淆直角三角形的直角边和斜边。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=15$，$AC=17$，以$AB$为直径作半圆，则此半圆的面积为
8π
。答案
8.8π
解析
【分析】
要计算半圆的面积，首先需要求出半圆的直径AB的长度。已知△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC的长度，可先用勾股定理求出AB的长度，再根据AB是半圆的直径得到半圆的半径，最后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$BC=15$，$AC=17$代入得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
因为边长为正数，所以$AB=8$。
因为AB是半圆的直径，所以半圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
半圆的面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=4$得：
$S=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的边长计算和圆的面积计算结合考查，解题关键是先利用勾股定理求出半圆的直径，再代入面积公式求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算半圆的面积，首先需要求出半圆的直径AB的长度。已知△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC的长度，可先用勾股定理求出AB的长度，再根据AB是半圆的直径得到半圆的半径，最后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$BC=15$，$AC=17$代入得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
因为边长为正数，所以$AB=8$。
因为AB是半圆的直径，所以半圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
半圆的面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=4$得：
$S=\frac{1}{2}×π×4^2=\frac{1}{2}×π×16=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的边长计算和圆的面积计算结合考查，解题关键是先利用勾股定理求出半圆的直径，再代入面积公式求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 一艘船由A港沿北偏东$60°$方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西$30°$方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为
50 km
.答案
9.50 km
解析
【分析】
解决这类方向角结合几何计算的问题，首先要根据题意画出平面示意图，标注出已知的线段长度和方向角。接下来先判断三角形的形状：由于两点的正北方向线互相平行，结合给出的北偏东60°、北偏西30°，可推出∠ABC为90°，即△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，最后用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
1. 根据题意作图：AB = 30 km，BC = 40 km，过A、B的正北方向线互相平行。
2. 计算∠ABC的度数：B点处，AB与正北方向线的东向夹角为60°，BC与正北方向线的西向夹角为30°，因此∠ABC = 180° - 60° - 30° = 90°，即△ABC是直角三角形，∠B为直角。
3. 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入AB=30 km，BC=40 km：
$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
因此$AC = \sqrt{2500} = 50$ km（距离为非负数，舍去负根）。
【答案】
50 km
【知识点】
方向角的认识，勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题是几何与实际生活结合的基础应用题，解题核心是通过方向角的特征判断出直角三角形，再用勾股定理计算边长，做题时要注意准确绘制示意图，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这类方向角结合几何计算的问题，首先要根据题意画出平面示意图，标注出已知的线段长度和方向角。接下来先判断三角形的形状：由于两点的正北方向线互相平行，结合给出的北偏东60°、北偏西30°，可推出∠ABC为90°，即△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，最后用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
1. 根据题意作图：AB = 30 km，BC = 40 km，过A、B的正北方向线互相平行。
2. 计算∠ABC的度数：B点处，AB与正北方向线的东向夹角为60°，BC与正北方向线的西向夹角为30°，因此∠ABC = 180° - 60° - 30° = 90°，即△ABC是直角三角形，∠B为直角。
3. 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入AB=30 km，BC=40 km：
$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
因此$AC = \sqrt{2500} = 50$ km（距离为非负数，舍去负根）。
【答案】
50 km
【知识点】
方向角的认识，勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题是几何与实际生活结合的基础应用题，解题核心是通过方向角的特征判断出直角三角形，再用勾股定理计算边长，做题时要注意准确绘制示意图，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
