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10. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对应的边长分别为$a$，$b$，$c$，$∠ C=90°$.
(1)若$a=6$，$b=8$，求$c$；
(2)若$a=5$，$c=13$，求$b$；
(3)若$c=34$，$a:b=8:15$，求$a$和$b$.
(1)若$a=6$，$b=8$，求$c$；
(2)若$a=5$，$c=13$，求$b$；
(3)若$c=34$，$a:b=8:15$，求$a$和$b$.
答案
10.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
(3)$\because a:b=8:15$，
$\therefore$ 可设$a=8k$，$b=15k$，其中$k＞0$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$c=34$，
$\therefore (8k)^2+(15k)^2=34^2$，解得$k=2$。
$\therefore a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$。
$\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
(3)$\because a:b=8:15$，
$\therefore$ 可设$a=8k$，$b=15k$，其中$k＞0$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$c=34$，
$\therefore (8k)^2+(15k)^2=34^2$，解得$k=2$。
$\therefore a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$。
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的基础题，解题核心是牢记勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题思路如下：(1)已知两条直角边a、b，直接代入勾股定理公式求斜边c即可；(2)已知斜边c和直角边a，将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，再开方求b；(3)已知a、b的比例关系，可先设参数k表示a和b，再代入勾股定理列方程求出参数k，最后计算得到a、b的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
(3)
∵$a:b=8:15$，
∴设$a=8k$，$b=15k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$c=34$，由勾股定理得：
$(8k)^2+(15k)^2=34^2$
$64k^2+225k^2=1156$
$289k^2=1156$
$k^2=4$
∵$k＞0$，
∴$k=2$
则$a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$
【答案】
(1)$c=10$；(2)$b=12$；(3)$a=16$，$b=30$
【知识点】
勾股定理，比例应用
【点评】
本题围绕勾股定理设置了三个梯度的问题，从直接套用公式，到公式变形使用，再到结合比例关系列方程求解，全面考察了勾股定理的基础应用，能够帮助学生巩固勾股定理的不同使用场景，夯实基础。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的基础题，解题核心是牢记勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题思路如下：(1)已知两条直角边a、b，直接代入勾股定理公式求斜边c即可；(2)已知斜边c和直角边a，将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，再开方求b；(3)已知a、b的比例关系，可先设参数k表示a和b，再代入勾股定理列方程求出参数k，最后计算得到a、b的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
(3)
∵$a:b=8:15$，
∴设$a=8k$，$b=15k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$c=34$，由勾股定理得：
$(8k)^2+(15k)^2=34^2$
$64k^2+225k^2=1156$
$289k^2=1156$
$k^2=4$
∵$k＞0$，
∴$k=2$
则$a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$
【答案】
(1)$c=10$；(2)$b=12$；(3)$a=16$，$b=30$
【知识点】
勾股定理，比例应用
【点评】
本题围绕勾股定理设置了三个梯度的问题，从直接套用公式，到公式变形使用，再到结合比例关系列方程求解，全面考察了勾股定理的基础应用，能够帮助学生巩固勾股定理的不同使用场景，夯实基础。
【难度系数】
0.85
11.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内不得进入，那么在进行爆破时，AB段公路是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明.
答案
11.解:如图，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because BC=400\ \mathrm{m}$，$AC=300\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=500\ \mathrm{m}$。
$\because \frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，
$\therefore CD=240\ \mathrm{m}$。
$\because 240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，故有危险，
$\therefore AB$段公路需要暂时封锁。
解析
【分析】
要判断AB段公路是否需要封锁，本质是判断爆破点C到公路AB的最短距离是否小于危险半径250m。根据“垂线段最短”，点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此首先过点C作AB的垂线CD，求出CD的长度后和250m比较即可。已知△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式建立等式，就能求出CD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
解：如图，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
已知$BC=400\ \mathrm{m}$，$AC=300\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{300^2+400^2}=500\ \mathrm{m}$。
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AC$，因此可得：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$
代入数值计算得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{m}$。
由于$240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，说明C到AB的最短距离在危险范围内，因此AB段公路有危险，需要暂时封锁。
【答案】
11.解:如图，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because BC=400\ \mathrm{m}$，$AC=300\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=500\ \mathrm{m}$。
$\because \frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，
$\therefore CD=240\ \mathrm{m}$。
$\because 240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，故有危险，
$\therefore AB$段公路需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理；垂线段最短；等面积法求高
【点评】
本题结合实际爆破安全场景，考查了直角三角形相关性质的应用，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，明确判断危险的核心是求点到直线的垂线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要判断AB段公路是否需要封锁，本质是判断爆破点C到公路AB的最短距离是否小于危险半径250m。根据“垂线段最短”，点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此首先过点C作AB的垂线CD，求出CD的长度后和250m比较即可。已知△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式建立等式，就能求出CD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
解：如图，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
已知$BC=400\ \mathrm{m}$，$AC=300\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，
根据勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{300^2+400^2}=500\ \mathrm{m}$。
△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AC$，因此可得：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$
代入数值计算得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{m}$。
由于$240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，说明C到AB的最短距离在危险范围内，因此AB段公路有危险，需要暂时封锁。
【答案】
11.解:如图，过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
$\because BC=400\ \mathrm{m}$，$AC=300\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=500\ \mathrm{m}$。
$\because \frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，
$\therefore CD=240\ \mathrm{m}$。
$\because 240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，故有危险，
$\therefore AB$段公路需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理；垂线段最短；等面积法求高
【点评】
本题结合实际爆破安全场景，考查了直角三角形相关性质的应用，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，明确判断危险的核心是求点到直线的垂线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
12.勾股定理具有丰富的文化内涵,揭示了直角三角形的三边关系,搭建起几何与代数之间的桥梁,为解决几何问题拓宽了思路.请解答下面问题:
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为b,较短直角边的长为a,若$(a+b)^2=21$,大正方形的面积为13,则小正方形的面积是多少?
(2)同学们在探索过程中发现,当把“赵爽弦图”里的四个全等的直角三角形适当拼合,可以得到图2所示的图形.设直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c,利用这个图形也可以验证勾股定理,请你说明其中的道理。
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为b,较短直角边的长为a,若$(a+b)^2=21$,大正方形的面积为13,则小正方形的面积是多少?
(2)同学们在探索过程中发现,当把“赵爽弦图”里的四个全等的直角三角形适当拼合,可以得到图2所示的图形.设直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c,利用这个图形也可以验证勾股定理,请你说明其中的道理。
答案
12.解:(1)设直角三角形斜边的长为$c$，由题意，得
$c^2=13$，$a^2+b^2=c^2=13$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=21$，
$\therefore 2ab=21-13=8$，
$\therefore$ 小正方形的面积为$c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab=5$。
(2)图形的总面积可以表示为$c^2+2×\frac{1}{2}ab$或$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab$，
$\therefore c^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab$，
整理，得$c^2+ab=a^2+b^2+ab$，$\therefore a^2+b^2=c^2$。
$c^2=13$，$a^2+b^2=c^2=13$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=21$，
$\therefore 2ab=21-13=8$，
$\therefore$ 小正方形的面积为$c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab=5$。
(2)图形的总面积可以表示为$c^2+2×\frac{1}{2}ab$或$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab$，
$\therefore c^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab$，
整理，得$c^2+ab=a^2+b^2+ab$，$\therefore a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
(1) 求解小正方形面积，先明确赵爽弦图的面积关系：大正方形面积等于直角三角形斜边的平方，也等于两直角边的平方和；小正方形面积为大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积。结合已知的$(a+b)^2=21$，利用完全平方公式展开，结合大正方形面积求出2ab的值，即可计算小正方形面积。
(2) 验证勾股定理采用等面积法：对图2的总面积用两种不同方式表示，令两个表达式相等，化简后即可得到直角三角形的三边关系。第一种将总面积看作边长为c的正方形加2个直角三角形，第二种看作边长为a、b的两个正方形加2个直角三角形，消去公共项即可推出勾股定理。
【解析】
(1) 设直角三角形斜边的长为$c$，由题意得大正方形面积为$c^2=13$，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=13$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=21$，
将$a^2+b^2=13$代入得：$2ab=21-13=8$，
$\therefore$ 小正方形的面积为$c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab=13-8=5$。
(2) 用两种方法表示图2的总面积：
① 图形由1个边长为$c$的正方形和2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，总面积为$c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$；
② 图形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，总面积为$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$。
$\because$ 两种方式表示的是同一图形的面积，
$\therefore c^2+ab=a^2+b^2+ab$，
整理得$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。
【答案】
(1) 小正方形的面积是5；
(2) 利用等面积法可验证勾股定理$a^2+b^2=c^2$，道理见解析。
【知识点】
1. 勾股定理的验证
2. 完全平方公式
3. 等面积法
【点评】
本题以我国古代数学经典的赵爽弦图及变形为载体，考查勾股定理的证明逻辑，既需要掌握整式运算的相关公式，也需要理解数形结合、等面积转换的思想，是勾股定理模块的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解小正方形面积，先明确赵爽弦图的面积关系：大正方形面积等于直角三角形斜边的平方，也等于两直角边的平方和；小正方形面积为大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积。结合已知的$(a+b)^2=21$，利用完全平方公式展开，结合大正方形面积求出2ab的值，即可计算小正方形面积。
(2) 验证勾股定理采用等面积法：对图2的总面积用两种不同方式表示，令两个表达式相等，化简后即可得到直角三角形的三边关系。第一种将总面积看作边长为c的正方形加2个直角三角形，第二种看作边长为a、b的两个正方形加2个直角三角形，消去公共项即可推出勾股定理。
【解析】
(1) 设直角三角形斜边的长为$c$，由题意得大正方形面积为$c^2=13$，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=13$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=21$，
将$a^2+b^2=13$代入得：$2ab=21-13=8$，
$\therefore$ 小正方形的面积为$c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab=13-8=5$。
(2) 用两种方法表示图2的总面积：
① 图形由1个边长为$c$的正方形和2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，总面积为$c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$；
② 图形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个直角边为$a,b$的直角三角形组成，总面积为$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$。
$\because$ 两种方式表示的是同一图形的面积，
$\therefore c^2+ab=a^2+b^2+ab$，
整理得$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理。
【答案】
(1) 小正方形的面积是5；
(2) 利用等面积法可验证勾股定理$a^2+b^2=c^2$，道理见解析。
【知识点】
1. 勾股定理的验证
2. 完全平方公式
3. 等面积法
【点评】
本题以我国古代数学经典的赵爽弦图及变形为载体，考查勾股定理的证明逻辑，既需要掌握整式运算的相关公式，也需要理解数形结合、等面积转换的思想，是勾股定理模块的典型习题。
【难度系数】
0.7
