19. 在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠DCO=$\frac{1}{n}$∠DCB。

(1)如图1，当n=2时，若∠A+∠D=260°，直接写出∠O的度数；
(2)当n=3时，M，N分别在AB，DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN。
①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段BO，PC交于点Q，在△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为。

解答：
(1)
∵ 四边形ABCD内角和为$360°$，$∠ A+∠ D=260°$
∴ $∠ ABC+∠ DCB=360°-260°=100°$
当$n=2$时，$∠ ABO=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCO=\frac{1}{2}∠ DCB$
∴ $∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ DCB$
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)=50°$
在$△ OBC$中，$∠ O=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=130°$
答案：$\boldsymbol{130°}$
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(2) ①
$\boldsymbol{∠ O + ∠ P = 120°}$，证明如下：
当$n=3$时，$∠ ABO=\frac{1}{3}∠ ABC$，
∴ $∠ OBC = ∠ ABC - ∠ ABO = \frac{2}{3}∠ ABC$
∵ $M$在$AB$延长线上，$∠ ABC + ∠ CBM=180°$，且$∠ CBP=2∠ PBM$
∴ $∠ CBM=∠ CBP+∠ PBM=3∠ PBM$，即$∠ PBM=\frac{1}{3}∠ CBM$
∴ $∠ CBP=\frac{2}{3}∠ CBM=\frac{2}{3}(180°-∠ ABC)$
∴ $∠ OBC + ∠ CBP = \frac{2}{3}∠ ABC + \frac{2}{3}(180°-∠ ABC)=120°$
同理可得：$∠ OCB + ∠ BCP=120°$
在$△ OBC$中：$∠ O=180°-(∠ OBC+∠ OCB)$
在$△ PBC$中：$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)$
两式相加得：
$∠ O+∠ P=360°-(∠ OBC+∠ OCB+∠ PBC+∠ PCB)=360°-(120°+120°)=120°$
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②
由上述推导可知，在$△ BQP$中，$∠ QBP=∠ OBC+∠ CBP=120°$，因此$∠ BQP+∠ BPQ=180°-120°=60°$。
根据题意一个内角等于另一个内角的2倍，仅存在两种合法情况：
1. 若$∠ BPQ=2∠ BQP$，则$∠ BPQ=40°$，$∠ O=120°-40°=80°$，代入$∠ O=\frac{2}{3}(∠ A+∠ D)-60°$，解得$∠ A+∠ D=210°$；
2. 若$∠ BQP=2∠ BPQ$，则$∠ BPQ=20°$，$∠ O=120°-20°=100°$，代入$∠ O=\frac{2}{3}(∠ A+∠ D)-60°$，解得$∠ A+∠ D=240°$。
答案：$\boldsymbol{210°}$或$\boldsymbol{240°}$