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11. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=8$，$AC⊥ BC$于点C。下列结论中，错误的是（）
A.$BC=8$
B.$BD=15$
C.$AC=6$
D.$△ ABO$的面积是12
A.$BC=8$
B.$BD=15$
C.$AC=6$
D.$△ ABO$的面积是12
答案
B
解析
根据平行四边形的性质逐一验证选项：
1. 平行四边形对边相等，可得$BC=AD=8$，A选项正确；
2. 已知$AC⊥ BC$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，C选项正确；
3. 平行四边形对角线互相平分，得$OC=\frac{1}{2}AC=3$，在$\mathrm{Rt}△ BCO$中，$OB=\sqrt{BC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$，因此$BD=2OB=2\sqrt{73}≠15$，B选项错误；
4. 由$O$是$AC$中点，可得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}×8×6)=12$，D选项正确。
1. 平行四边形对边相等，可得$BC=AD=8$，A选项正确；
2. 已知$AC⊥ BC$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，C选项正确；
3. 平行四边形对角线互相平分，得$OC=\frac{1}{2}AC=3$，在$\mathrm{Rt}△ BCO$中，$OB=\sqrt{BC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$，因此$BD=2OB=2\sqrt{73}≠15$，B选项错误；
4. 由$O$是$AC$中点，可得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}×8×6)=12$，D选项正确。
12.在如图所示的$□ ABCD$中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足$AF=CH$，则下列为定值的是 （）
A.四边形EFGH的周长
B.$∠ EFG$的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
A.四边形EFGH的周长
B.$∠ EFG$的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
答案
C
解析
1. 由平行四边形ABCD的性质得：AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠D=∠B。
2. 因为E、G分别为AD、BC中点，故AE=GC，ED=BG；结合AF=CH，可证△AEF≌△CGH（SAS），△EDH≌△GBF（SAS），得EF=GH，EH=FG，即四边形EFGH是平行四边形。
3. 逐一分析选项：
A：F、H移动时，EF、FG的长度随之变化，故四边形EFGH的周长不是定值；
B：F移动时，∠EFG的大小会发生改变，不是定值；
C：连接EG，EG将平行四边形ABCD分为面积相等的两部分，均为原平行四边形面积的1/2。平行四边形EFGH可拆分为△EFG和△EGH，两三角形共底EG，F到EG的距离与H到EG的距离之和等于AB、CD两条平行线的间距，因此两三角形面积和为定值，即四边形EFGH的面积恒等于平行四边形ABCD面积的一半，是定值；
D：F、H移动时，线段FH的长度随之改变，不是定值。
综上，只有选项C符合要求。
2. 因为E、G分别为AD、BC中点，故AE=GC，ED=BG；结合AF=CH，可证△AEF≌△CGH（SAS），△EDH≌△GBF（SAS），得EF=GH，EH=FG，即四边形EFGH是平行四边形。
3. 逐一分析选项：
A：F、H移动时，EF、FG的长度随之变化，故四边形EFGH的周长不是定值；
B：F移动时，∠EFG的大小会发生改变，不是定值；
C：连接EG，EG将平行四边形ABCD分为面积相等的两部分，均为原平行四边形面积的1/2。平行四边形EFGH可拆分为△EFG和△EGH，两三角形共底EG，F到EG的距离与H到EG的距离之和等于AB、CD两条平行线的间距，因此两三角形面积和为定值，即四边形EFGH的面积恒等于平行四边形ABCD面积的一半，是定值；
D：F、H移动时，线段FH的长度随之改变，不是定值。
综上，只有选项C符合要求。
13.如图,在平面直角坐标系中,$□ OABC$ 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上,且点$B(6,2),C(4,0)$,直线$y=2x+1$以每秒1个单位长度的速度沿 y 轴向下平移,则该直线将$□ OABC$分成面积相等的两部分时,经过的时间是 ()
A.3 s
B.$\frac{7}{2}$ s
C.5 s
D.6 s
A.3 s
B.$\frac{7}{2}$ s
C.5 s
D.6 s
答案
D
解析
根据平行四边形的性质：过平行四边形对称中心的直线可将平行四边形分成面积相等的两部分。
1. 求平行四边形$□OABC$的对称中心：平行四边形对角线互相平分，已知$O(0,0)$，$B(6,2)$，因此对角线$OB$的中点即对称中心坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+2}{2})=(3,1)$。
2. 设直线向下平移$t$秒后，解析式为$y=2x+1-t$，将对称中心$(3,1)$代入解析式：
$1=2×3 +1 -t$
解得$t=6$。
即直线将$□OABC$分成面积相等的两部分时，经过的时间是$6\ \mathrm{s}$。
1. 求平行四边形$□OABC$的对称中心：平行四边形对角线互相平分，已知$O(0,0)$，$B(6,2)$，因此对角线$OB$的中点即对称中心坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+2}{2})=(3,1)$。
2. 设直线向下平移$t$秒后，解析式为$y=2x+1-t$，将对称中心$(3,1)$代入解析式：
$1=2×3 +1 -t$
解得$t=6$。
即直线将$□OABC$分成面积相等的两部分时，经过的时间是$6\ \mathrm{s}$。
14.如图，AC是$□ ABCD$的对角线，过点B作$BG⊥ AC$交AD于点G，垂足为E，过点D作$DH⊥ AC$交BC于点H，垂足为F，连接GH，EH。有下列结论：①$BE=DF$；②四边形GBHD是平行四边形；③$∠ GAC=∠ DHC$；④GH平分$□ ABCD$的周长；⑤$S_{△ ABE}=S_{△ EHC}$。其中正确的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
解析
逐个判断结论：
1. ①：在$□ ABCD$中，$AB=CD$，$AB// CD$，故$∠ BAE=∠ DCF$。又$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，得$∠ AEB=∠ CFD=90°$，因此$△ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，可得$BE=DF$，①正确。
2. ②：由$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，得$BG// DH$，又平行四边形中$AD// BC$即$GD// BH$，两组对边分别平行，故四边形$GBHD$是平行四边形，②正确。
3. ③：由$AD// BC$、$BG// DH$，得$∠ DHC=∠ GBH$，在$\mathrm{Rt}△ AEG$中$∠ GAC+∠ AGE=90°$，且$∠ AGE=∠ GBH$，因此$∠ GAC+∠ DHC=90°$，一般情况两角不相等，③错误。
4. ④：由四边形$GBHD$是平行四边形得$GD=BH$，结合$AD=BC$，可得$AG=CH$，因此$AG+AB+BH=CH+CD+DG=AB+BC=\frac{1}{2}×$周长，即$GH$平分$□ ABCD$的周长，④正确。
5. ⑤：由$AG// CH$且$AG=CH$，得四边形$AGCH$是平行四边形，结合等积变换可证$S_{△ ABE}=S_{△ EHC}$，⑤正确。
综上，正确的结论共4个。
1. ①：在$□ ABCD$中，$AB=CD$，$AB// CD$，故$∠ BAE=∠ DCF$。又$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，得$∠ AEB=∠ CFD=90°$，因此$△ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，可得$BE=DF$，①正确。
2. ②：由$BG⊥ AC$，$DH⊥ AC$，得$BG// DH$，又平行四边形中$AD// BC$即$GD// BH$，两组对边分别平行，故四边形$GBHD$是平行四边形，②正确。
3. ③：由$AD// BC$、$BG// DH$，得$∠ DHC=∠ GBH$，在$\mathrm{Rt}△ AEG$中$∠ GAC+∠ AGE=90°$，且$∠ AGE=∠ GBH$，因此$∠ GAC+∠ DHC=90°$，一般情况两角不相等，③错误。
4. ④：由四边形$GBHD$是平行四边形得$GD=BH$，结合$AD=BC$，可得$AG=CH$，因此$AG+AB+BH=CH+CD+DG=AB+BC=\frac{1}{2}×$周长，即$GH$平分$□ ABCD$的周长，④正确。
5. ⑤：由$AG// CH$且$AG=CH$，得四边形$AGCH$是平行四边形，结合等积变换可证$S_{△ ABE}=S_{△ EHC}$，⑤正确。
综上，正确的结论共4个。
