15. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ D=70°$，BE平分$∠ ABC$交AD于点E，则$∠ AEB$的度数为。

$\boldsymbol{35°}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠D = 70°，AD//BC。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 35°。
又∵ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠EBC = 35°。

16. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD=120°$，$AB=2$，$AD=3$，分别以点$B$，点$D$为圆心，以大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧交于$M$，$N$两点，过$M$，$N$两点画直线，交$AD$于点$E$，交$BC$于点$F$，交$BD$于点$O$，则$AE$的长为。

解：
连接BE，由作图可知，MN是线段BD的垂直平分线，
∴ BE = DE。
过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，
∴ ∠BAH = 180° - 120° = 60°，
在Rt△ABH中，AB=2，
∴ AH = AB·cos60° = 2×$\frac{1}{2}$ = 1，
BH = AB·sin60° = 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$。
设AE = x，
∵ AD=3，
∴ DE = AD - AE = 3 - x，
∴ BE = DE = 3 - x，
HE = AH + AE = 1 + x。
在Rt△BHE中，由勾股定理得：
$BH^2 + HE^2 = BE^2$，
即 $(\sqrt{3})^2 + (1 + x)^2 = (3 - x)^2$，
展开化简得：$8x = 5$，
解得：$x = \frac{5}{8}$，
即 AE 的长为 $\frac{5}{8}$。
$\frac{5}{8}$

17.如图，$∠ BAC=45°$，$E$为$AB$边上一点，$AE=3$，$M$，$N$为$AC$边上的两个动点，且满足$MN=1$，则$EM+EN$的最小值为________。

解：
作点E关于AC的对称点E'，将点E沿AC方向向右平移1个单位长度，得到点E''，连接E'E''，此时E'E''与AC的交点即为满足条件的M点，EM+EN取得最小值。
由对称性可得：$EM = E'M$，
$\because EE'' // MN$，且$EE'' = MN = 1$，
$\therefore$ 四边形$EE''NM$是平行四边形，
$\therefore EN = E''M$，
$\therefore EM + EN = E'M + E''M = E'E''$。
$\because ∠ BAC = 45°$，由对称性质得$AE' = AE = 3$，$∠ E'AC = ∠ BAC = 45°$，
$\therefore ∠ EAE' = 90°$，
点E'和E的竖直距离为$2× AE× \sin45° = 2× 3× \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$，
又$EE'' = 1$，且$EE''$沿AC水平方向，由勾股定理得：
$E'E'' = \sqrt{1^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 18} = \sqrt{19}$。
故答案为：$\sqrt{19}$。

18. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$OA=5\ \mathrm{cm}$，$E$，$F$为直线$BD$上的两个点（点$E$，$F$始终在$□ ABCD$的外面），且$DE=\frac{1}{2}OD$，$BF=\frac{1}{2}OB$，连接$AE$，$CE$，$CF$，$AF$。
(1) 求证：四边形$AFCE$为平行四边形。
(2) 若$DE=\frac{1}{3}OD$，$BF=\frac{1}{3}OB$，则四边形$AFCE$是平行四边形吗？请说明理由。由此你能得出什么结论？
(3) 若$CA$平分$∠ BCD$，$∠ AEC=60°$，求四边形$AFCE$的周长。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$。
∵ $DE=\frac{1}{2}OD$，$BF=\frac{1}{2}OB$，
∴ $DE=BF$，
∴ $OB+BF=OD+DE$，即 $OF=OE$。
又∵ $OA=OC$，
∴ 四边形$AFCE$的对角线互相平分，
∴ 四边形$AFCE$为平行四边形。
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(2) 解：
四边形$AFCE$是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$。
∵ $DE=\frac{1}{3}OD$，$BF=\frac{1}{3}OB$，
∴ $DE=BF$，
∴ $OB+BF=OD+DE$，即 $OF=OE$。
又∵ $OA=OC$，
∴ 四边形$AFCE$的对角线互相平分，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形。
结论：若点$E,F$在直线$BD$上，且满足$DE=\frac{1}{n}OD$，$BF=\frac{1}{n}OB$（$n$为正整数），则四边形$AFCE$一定是平行四边形。
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(3) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC=∠ BCA$。
∵ $CA$平分$∠ BCD$，
∴ $∠ BCA=∠ DCA$，
∴ $∠ DAC=∠ DCA$，
∴ $AD=CD$。
∵ $OA=OC$，
∴ $BD⊥ AC$（等腰三角形三线合一），即$EF⊥ AC$。
由(1)知四边形$AFCE$是平行四边形，结合$EF⊥ AC$，可得平行四边形$AFCE$是菱形。
∵ $∠ AEC=60°$，$AE=CE$，
∴ $△ AEC$是等边三角形，
∴ $AE=CE=AC$。
∵ $OA=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=2OA=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 菱形$AFCE$的边长均为$10\ \mathrm{cm}$，
∴ 四边形$AFCE$的周长为$4×10=40\ \mathrm{cm}$。
答：四边形$AFCE$的周长为$40\ \mathrm{cm}$。