19.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=12 cm,BC=16 cm。点P从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,同时点Q从点B出发,沿着射线BC以3 cm/s的速度向右运动,当动点P到达端点A时,另一个动点Q也随之停止运动。设运动时间为t s。
(1)在点P,Q的运动过程中,AP= cm,BQ= cm;
(2)连接BP,AQ,若BP与AQ互相平分,求此时t的值;
(3)在点P,Q的运动过程中,是否存在以点P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求此时的运动时间t;若不存在,请说明理由。

$\boldsymbol{12-t}$；$\boldsymbol{3t}$
(2)
∵ $BP$与$AQ$互相平分，
∴ 四边形$ABPQ$是平行四边形，
∴ $AP = BQ$。
又∵ $AD// BC$，即$AP// BQ$，代入得：
$12 - t = 3t$
解得 $t=3$。
即此时$t$的值为$3$。
(3) 存在。
∵ $AD// BC$，即$PD// QC$，
∴ 当$PD = QC$时，以$P,Q,C,D$为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况讨论：
① 当点$Q$在线段$BC$上时，$QC = 16 - 3t$，
令$PD=QC$，得：
$t = 16 - 3t$
解得 $t=4$；
② 当点$Q$在$BC$的延长线上时，$QC = 3t - 16$，
令$PD=QC$，得：
$t = 3t - 16$
解得 $t=8$。
由题意知$0≤ t≤12$，$t=4$和$t=8$均符合取值范围。
综上，运动时间$t$为$4\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$时，以点$P,Q,C,D$为顶点的四边形是平行四边形。

解：
(1) 由题意得，$DP = t\ \mathrm{cm}$，$AD=12\ \mathrm{cm}$，因此$AP = (12 - t)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，因此$BQ = 3t\ \mathrm{cm}$。