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1. 如图,在$4×4$的正方形网格中,任意选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
(第1题)
(第3题)
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
(第1题)
(第3题)
答案
1. D
解析
【分析】要解决该概率问题，需分三步：1. 确定所有等可能的情况数：即图中白色小正方形的总个数；2. 确定其中涂黑后能使黑色部分构成轴对称图形的白色小正方形的个数；3. 根据概率公式计算所求概率。首先计算4×4网格的总小正方形数，减去黑色小正方形数得到白色总数；再通过观察图形对称性，找出符合条件的白色小正方形数量；最后代入公式求解。
【解析】1. 计算白色小正方形总数：4×4的正方形网格共有16个小正方形，观察图形可知黑色小正方形有4个，因此白色小正方形的个数为 $16 - 4 = 12$，即总共有12种等可能的选取情况。2. 确定符合条件的情况数：通过分析图形的对称性，可知有2个白色小正方形被涂黑后，黑色部分的图形会成为轴对称图形。3. 计算概率：根据概率公式 $P = \frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，代入得 $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】D
【知识点】概率计算，轴对称图形
【点评】本题结合概率与轴对称的知识点，解题关键是准确计数白色小正方形总数和符合条件的白色小正方形数量，需细心观察图形特征，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】1. 计算白色小正方形总数：4×4的正方形网格共有16个小正方形，观察图形可知黑色小正方形有4个，因此白色小正方形的个数为 $16 - 4 = 12$，即总共有12种等可能的选取情况。2. 确定符合条件的情况数：通过分析图形的对称性，可知有2个白色小正方形被涂黑后，黑色部分的图形会成为轴对称图形。3. 计算概率：根据概率公式 $P = \frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，代入得 $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】D
【知识点】概率计算，轴对称图形
【点评】本题结合概率与轴对称的知识点，解题关键是准确计数白色小正方形总数和符合条件的白色小正方形数量，需细心观察图形特征，难度适中。
【难度系数】0.4
2. 一个袋子里装有3个白球和7个红球,这些球除颜色外都相同.搅匀后从中任意摸出一个球,则摸到红球的概率是
$\frac{7}{10}$
。答案
2. $\frac{7}{10}$
解析
【分析】首先明确等可能事件的概率计算方法：某事件发生的概率等于该事件包含的基本结果数除以所有可能的基本结果数。先计算袋子中球的总数量，再确定红球的数量，最后用红球数量除以总球数即可得到摸到红球的概率。
【解析】袋子里球的总数量为白球数量加红球数量，即$3+7=10$个；其中红球有7个，根据概率公式，摸到红球的概率为红球数量除以总球数，即$\frac{7}{10}$。
【答案】$\frac{7}{10}$
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题是基础的概率计算题，属于古典概型的简单应用，只要掌握概率的基本公式就能快速解答，是概率部分的入门题型。
【难度系数】0.9
【解析】袋子里球的总数量为白球数量加红球数量，即$3+7=10$个；其中红球有7个，根据概率公式，摸到红球的概率为红球数量除以总球数，即$\frac{7}{10}$。
【答案】$\frac{7}{10}$
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题是基础的概率计算题，属于古典概型的简单应用，只要掌握概率的基本公式就能快速解答，是概率部分的入门题型。
【难度系数】0.9
3. 小华用赵爽弦图设计了一个正方形气枪射击的靶盘,大正方形是由四个全等的直角边长分别为2和1的直角三角形和一个小正方形拼成的.若射击一次,则击中阴影区域的概率为
$\frac{1}{5}$
。答案
3. $\frac{1}{5}$
解析
【分析】要计算击中阴影区域的概率，需先求出大正方形和阴影小正方形的面积，概率等于阴影面积与大正方形面积的比值。先利用直角三角形的直角边，通过勾股定理求出大正方形的边长，再根据弦图的结构特点求出小正方形的边长，进而计算两者面积，最后求比值。
【解析】1. 计算大正方形的面积：已知直角三角形的直角边长为2和1，大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理得斜边长度为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，因此大正方形的面积为$(\sqrt{5})^2 = 5$。2. 计算小正方形的面积：观察图形，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差，即$2 - 1 = 1$，所以小正方形的面积为$1×1 = 1$。3. 计算概率：击中阴影区域的概率为阴影面积除以大正方形面积，即$\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】几何概率、勾股定理、正方形面积
【点评】本题结合赵爽弦图考查几何概率的计算，核心是利用弦图的边长关系和勾股定理求出两个正方形的面积，属于基础题型，难度适中，需要学生掌握弦图的结构特点和概率的计算方法。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算大正方形的面积：已知直角三角形的直角边长为2和1，大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理得斜边长度为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，因此大正方形的面积为$(\sqrt{5})^2 = 5$。2. 计算小正方形的面积：观察图形，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差，即$2 - 1 = 1$，所以小正方形的面积为$1×1 = 1$。3. 计算概率：击中阴影区域的概率为阴影面积除以大正方形面积，即$\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】几何概率、勾股定理、正方形面积
【点评】本题结合赵爽弦图考查几何概率的计算，核心是利用弦图的边长关系和勾股定理求出两个正方形的面积，属于基础题型，难度适中，需要学生掌握弦图的结构特点和概率的计算方法。
【难度系数】0.6
4. 一个不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋子除颜色外无其他差别.从盒子中随机取出一枚棋子,取得黑棋的概率是$\frac{3}{8}$;放回后,往盒子中再放入10枚黑棋,搅匀后从盒子中随机取出一枚棋子,取得黑棋的概率为$\frac{1}{2}$,则$x=$
15
,$y=$25
。答案
4. 15 25
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用概率公式建立方程组求解：首先，根据第一次取黑棋的概率得到第一个方程；再根据放入10枚黑棋后取黑棋的概率得到第二个方程，联立方程组即可解出x和y的值。
【解析】
根据概率公式：概率=所求情况数÷总情况数，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y} = \frac{3}{8} \\\frac{x+10}{x+y+10} = \frac{1}{2}\end{cases}$
化简第一个方程：交叉相乘得$8x = 3(x+y)$，整理得$5x = 3y$ ①；
化简第二个方程：交叉相乘得$2(x+10) = x+y+10$，整理得$y = x + 10$ ②；
将②代入①：$5x = 3(x + 10)$，解得$x = 15$；
把$x=15$代入②，得$y = 15 + 10 = 25$。
【答案】
15 25
【知识点】
概率公式；二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查概率公式与二元一次方程组的结合应用，关键是根据两次取黑棋的概率正确列出方程组，属于基础题型，计算过程较简单。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用概率公式建立方程组求解：首先，根据第一次取黑棋的概率得到第一个方程；再根据放入10枚黑棋后取黑棋的概率得到第二个方程，联立方程组即可解出x和y的值。
【解析】
根据概率公式：概率=所求情况数÷总情况数，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y} = \frac{3}{8} \\\frac{x+10}{x+y+10} = \frac{1}{2}\end{cases}$
化简第一个方程：交叉相乘得$8x = 3(x+y)$，整理得$5x = 3y$ ①；
化简第二个方程：交叉相乘得$2(x+10) = x+y+10$，整理得$y = x + 10$ ②；
将②代入①：$5x = 3(x + 10)$，解得$x = 15$；
把$x=15$代入②，得$y = 15 + 10 = 25$。
【答案】
15 25
【知识点】
概率公式；二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查概率公式与二元一次方程组的结合应用，关键是根据两次取黑棋的概率正确列出方程组，属于基础题型，计算过程较简单。
【难度系数】
0.7
5. 某校举办文艺汇演,在主持人选拔环节中,有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人,则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
5. A
解析
【分析】
要解决该概率问题，需遵循古典概型的解题逻辑：先确定从4名同学中随机抽取2名的所有可能情况（总基本事件数），再统计“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】
解：设男同学为M，女同学为F₁、F₂、F₃。
1. 计算总基本事件数：从4名同学中随机抽取2名，所有不重复的组合为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)、(F₁,F₂)、(F₁,F₃)、(F₂,F₃)，共6种。
2. 计算符合条件的基本事件数：“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的组合为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)，共3种。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，所求概率P = 符合条件的情况数 ÷ 总情况数 = 3/6 = 1/2。
【答案】
A
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过列举基本事件即可快速求解，侧重考查学生对概率基本概念的理解，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决该概率问题，需遵循古典概型的解题逻辑：先确定从4名同学中随机抽取2名的所有可能情况（总基本事件数），再统计“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】
解：设男同学为M，女同学为F₁、F₂、F₃。
1. 计算总基本事件数：从4名同学中随机抽取2名，所有不重复的组合为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)、(F₁,F₂)、(F₁,F₃)、(F₂,F₃)，共6种。
2. 计算符合条件的基本事件数：“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的组合为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)，共3种。
3. 计算概率：根据古典概型概率公式，所求概率P = 符合条件的情况数 ÷ 总情况数 = 3/6 = 1/2。
【答案】
A
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过列举基本事件即可快速求解，侧重考查学生对概率基本概念的理解，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 某轨道列车共有3节车厢,设旅客从任意一节车厢上车的机会均等.某天,甲、乙两位乘客同时乘坐一列轨道列车,则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 (
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$
C
)A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
6. C
解析
【分析】
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路为：先确定甲、乙两位乘客选择车厢的所有等可能结果总数，再找出两人从同一节车厢上车的结果数，最后根据古典概型概率公式计算概率。
【解析】
每位乘客选择车厢都有3种等可能的结果，甲、乙两位乘客选择车厢的所有等可能结果总数为：$3×3=9$种。
其中甲和乙从同一节车厢上车的情况有：都选第1节、都选第2节、都选第3节，共3种。
根据古典概型概率公式：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，可得所求概率为：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，通过列举所有等可能结果计算概率，属于基础题，需准确确定总事件数和符合条件的事件数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路为：先确定甲、乙两位乘客选择车厢的所有等可能结果总数，再找出两人从同一节车厢上车的结果数，最后根据古典概型概率公式计算概率。
【解析】
每位乘客选择车厢都有3种等可能的结果，甲、乙两位乘客选择车厢的所有等可能结果总数为：$3×3=9$种。
其中甲和乙从同一节车厢上车的情况有：都选第1节、都选第2节、都选第3节，共3种。
根据古典概型概率公式：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，可得所求概率为：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基础应用，通过列举所有等可能结果计算概率，属于基础题，需准确确定总事件数和符合条件的事件数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 游客甲与游客乙将游玩牡丹园中的“古今园”“百花园”“曹州牡丹园”三园中的一园,则他们游玩同一个园的概率为
素养拓展
$\frac{1}{3}$
。素养拓展
答案
7. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】本题为古典概型问题，解题时需先确定所有可能的游玩情况总数，再找出两人游玩同一园的情况数，最后利用古典概型概率公式计算概率。首先，游客甲和乙各有3种选园选择，根据分步乘法计数原理可算出总情况数；再确定两人选同一园的情况数，两者的比值即为所求概率。
【解析】游客甲从三园中选1园有3种选法，游客乙同理也有3种选法，根据分步乘法计数原理，总情况数为$3×3=9$种。两人游玩同一个园的情况有：都选古今园、都选百花园、都选曹州牡丹园，共3种。根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】古典概型、分步乘法计数原理
【点评】本题考查古典概型的基本应用，属于基础概率题，核心是准确计算样本空间和有利事件的数量，难度较低，适合巩固概率基础知识。
【难度系数】0.7
【解析】游客甲从三园中选1园有3种选法，游客乙同理也有3种选法，根据分步乘法计数原理，总情况数为$3×3=9$种。两人游玩同一个园的情况有：都选古今园、都选百花园、都选曹州牡丹园，共3种。根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】古典概型、分步乘法计数原理
【点评】本题考查古典概型的基本应用，属于基础概率题，核心是准确计算样本空间和有利事件的数量，难度较低，适合巩固概率基础知识。
【难度系数】0.7
8. [新情境·现代科技]随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑色、白色两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为
$\frac{3}{8}$
。答案
8. $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要计算该事件的概率，需先确定所有等可能的涂色结果总数，再找出“恰好两个黑色、一个白色”的结果数，最后根据概率公式求解。步骤：1. 每个小正方形有黑、白2种涂色选择，三个独立，用乘法原理计算总情况数；2. 找出“两黑一白”的情况：从3个小正方形中选1个涂白色，其余涂黑色，共3种；3. 概率=符合条件的情况数÷总情况数。
【解析】
每个小正方形随机涂成黑色或白色，每个小正方形有2种选择，三个小正方形的涂色总情况数为：$2×2×2=8$种。其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的情况：从3个小正方形中选1个涂白色，剩余2个涂黑色，共有$C_3^1=3$种情况。根据概率公式，所求概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
概率计算、乘法原理
【点评】
本题结合二维码的新情境，考查古典概型的概率计算，关键是准确确定总情况数和符合条件的情况数，难度适中。
【难度系数】
0.4
要计算该事件的概率，需先确定所有等可能的涂色结果总数，再找出“恰好两个黑色、一个白色”的结果数，最后根据概率公式求解。步骤：1. 每个小正方形有黑、白2种涂色选择，三个独立，用乘法原理计算总情况数；2. 找出“两黑一白”的情况：从3个小正方形中选1个涂白色，其余涂黑色，共3种；3. 概率=符合条件的情况数÷总情况数。
【解析】
每个小正方形随机涂成黑色或白色，每个小正方形有2种选择，三个小正方形的涂色总情况数为：$2×2×2=8$种。其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的情况：从3个小正方形中选1个涂白色，剩余2个涂黑色，共有$C_3^1=3$种情况。根据概率公式，所求概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
概率计算、乘法原理
【点评】
本题结合二维码的新情境，考查古典概型的概率计算，关键是准确确定总情况数和符合条件的情况数，难度适中。
【难度系数】
0.4
