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数学探究——你能抽到篮球吗?
一、游戏规则与转盘信息
一个质地均匀的转盘被等分成12份,标有数字1～12,每个数字对应不同礼物:
游戏规则:转动转盘,指针停在数字$k$,就按顺时针方向向前数$k$格,连数两次,最终停留的数字对应礼物.示例:指针停在5,第一次数5格到10,第二次数5格到3,最终获得芒果.
二、探究目标
通过数学分析,判断是否有可能抽到篮球,对应数字5,并探究游戏规则背后的数学规律.
三、探究过程
1. 规则的数学建模
设初始指针停在数字$k(1≤ k≤12,k$为整数),顺时针数$k$格等价于数字加$k$,超过12则减去12.
2. 核心结论:最终停留的数字一定是$3k$除以12的余数,余数为0时对应数字12.
3. 枚举所有可能结果,列出所有初始$k$对应的最终数字:
4. 探究结论:所有可能的最终数字只有3、6、9、12,篮球对应数字5,因此不可能抽到篮球.
一、游戏规则与转盘信息
一个质地均匀的转盘被等分成12份,标有数字1～12,每个数字对应不同礼物:
游戏规则:转动转盘,指针停在数字$k$,就按顺时针方向向前数$k$格,连数两次,最终停留的数字对应礼物.示例:指针停在5,第一次数5格到10,第二次数5格到3,最终获得芒果.
二、探究目标
通过数学分析,判断是否有可能抽到篮球,对应数字5,并探究游戏规则背后的数学规律.
三、探究过程
1. 规则的数学建模
设初始指针停在数字$k(1≤ k≤12,k$为整数),顺时针数$k$格等价于数字加$k$,超过12则减去12.
2. 核心结论:最终停留的数字一定是$3k$除以12的余数,余数为0时对应数字12.
3. 枚举所有可能结果,列出所有初始$k$对应的最终数字:
4. 探究结论:所有可能的最终数字只有3、6、9、12,篮球对应数字5,因此不可能抽到篮球.
答案
解：
设初始指针停在数字$k(1≤ k≤12,k$为整数$)$，根据游戏规则：
第一次顺时针数$k$格后，对应数字为$k+k=2k$，若$2k＞12$则减去12，等价于$2k$除以12的余数（余数为0时对应12）；
第二次再顺时针数$k$格后，对应数字为$2k+k=3k$，若$3k＞12$则减去12的整数倍，即最终停留的数字为$3k$除以12的余数（余数为0时对应数字12）。
枚举所有初始$k$对应的最终数字：
$k=1$：$3×1=3$，$3÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=2$：$3×2=6$，$6÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=3$：$3×3=9$，$9÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=4$：$3×4=12$，$12÷12$余数为0，最终数字为12；
$k=5$：$3×5=15$，$15÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=6$：$3×6=18$，$18÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=7$：$3×7=21$，$21÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=8$：$3×8=24$，$24÷12$余数为0，最终数字为12；
$k=9$：$3×9=27$，$27÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=10$：$3×10=30$，$30÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=11$：$3×11=33$，$33÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=12$：$3×12=36$，$36÷12$余数为0，最终数字为12。
综上，所有可能的最终数字只有3、6、9、12，篮球对应数字5，不在其中。
答：不可能抽到篮球。
设初始指针停在数字$k(1≤ k≤12,k$为整数$)$，根据游戏规则：
第一次顺时针数$k$格后，对应数字为$k+k=2k$，若$2k＞12$则减去12，等价于$2k$除以12的余数（余数为0时对应12）；
第二次再顺时针数$k$格后，对应数字为$2k+k=3k$，若$3k＞12$则减去12的整数倍，即最终停留的数字为$3k$除以12的余数（余数为0时对应数字12）。
枚举所有初始$k$对应的最终数字：
$k=1$：$3×1=3$，$3÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=2$：$3×2=6$，$6÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=3$：$3×3=9$，$9÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=4$：$3×4=12$，$12÷12$余数为0，最终数字为12；
$k=5$：$3×5=15$，$15÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=6$：$3×6=18$，$18÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=7$：$3×7=21$，$21÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=8$：$3×8=24$，$24÷12$余数为0，最终数字为12；
$k=9$：$3×9=27$，$27÷12$余数为3，最终数字为3；
$k=10$：$3×10=30$，$30÷12$余数为6，最终数字为6；
$k=11$：$3×11=33$，$33÷12$余数为9，最终数字为9；
$k=12$：$3×12=36$，$36÷12$余数为0，最终数字为12。
综上，所有可能的最终数字只有3、6、9、12，篮球对应数字5，不在其中。
答：不可能抽到篮球。
解析
【分析】
要判断能否抽到对应数字5的篮球，需先将游戏规则转化为数学模型：初始指针停在数字k时，连数两次k格，第一次数k格后对应数字为k+k=2k（超过12则取除以12的余数，余数为0时对应12）；第二次数k格后对应数字为2k+k=3k，同理取3k除以12的余数（余数为0时对应12）。接下来枚举所有初始k（1~12）的情况，计算最终停留的数字，看是否包含5即可判断。
【解析】
设初始指针停在数字k（1≤k≤12，k为整数），根据游戏规则：
1. 第一次顺时针数k格后，对应数字为2k，若2k＞12则减去12，等价于2k除以12的余数（余数为0时对应数字12）；
2. 第二次顺时针数k格后，对应数字为2k+k=3k，若3k＞12则减去12的整数倍，即最终停留的数字为3k除以12的余数（余数为0时对应数字12）。
枚举所有初始k对应的最终数字：
k=1：3×1=3，3÷12余数为3，最终数字为3；
k=2：3×2=6，6÷12余数为6，最终数字为6；
k=3：3×3=9，9÷12余数为9，最终数字为9；
k=4：3×4=12，12÷12余数为0，最终数字为12；
k=5：3×5=15，15÷12余数为3，最终数字为3；
k=6：3×6=18，18÷12余数为6，最终数字为6；
k=7：3×7=21，21÷12余数为9，最终数字为9；
k=8：3×8=24，24÷12余数为0，最终数字为12；
k=9：3×9=27，27÷12余数为3，最终数字为3；
k=10：3×10=30，30÷12余数为6，最终数字为6；
k=11：3×11=33，33÷12余数为9，最终数字为9；
k=12：3×12=36，36÷12余数为0，最终数字为12。
综上，所有可能的最终数字只有3、6、9、12，篮球对应数字5，不在其中，因此不可能抽到篮球。
【答案】
不可能抽到篮球
【知识点】
余数的应用；数学建模
【点评】
本题将实际游戏问题转化为数学问题，通过建立代数式模型和枚举验证的方法得出结论，考察了学生的数学转化能力和余数计算能力，逻辑清晰，贴近生活。
【难度系数】
0.5
要判断能否抽到对应数字5的篮球，需先将游戏规则转化为数学模型：初始指针停在数字k时，连数两次k格，第一次数k格后对应数字为k+k=2k（超过12则取除以12的余数，余数为0时对应12）；第二次数k格后对应数字为2k+k=3k，同理取3k除以12的余数（余数为0时对应12）。接下来枚举所有初始k（1~12）的情况，计算最终停留的数字，看是否包含5即可判断。
【解析】
设初始指针停在数字k（1≤k≤12，k为整数），根据游戏规则：
1. 第一次顺时针数k格后，对应数字为2k，若2k＞12则减去12，等价于2k除以12的余数（余数为0时对应数字12）；
2. 第二次顺时针数k格后，对应数字为2k+k=3k，若3k＞12则减去12的整数倍，即最终停留的数字为3k除以12的余数（余数为0时对应数字12）。
枚举所有初始k对应的最终数字：
k=1：3×1=3，3÷12余数为3，最终数字为3；
k=2：3×2=6，6÷12余数为6，最终数字为6；
k=3：3×3=9，9÷12余数为9，最终数字为9；
k=4：3×4=12，12÷12余数为0，最终数字为12；
k=5：3×5=15，15÷12余数为3，最终数字为3；
k=6：3×6=18，18÷12余数为6，最终数字为6；
k=7：3×7=21，21÷12余数为9，最终数字为9；
k=8：3×8=24，24÷12余数为0，最终数字为12；
k=9：3×9=27，27÷12余数为3，最终数字为3；
k=10：3×10=30，30÷12余数为6，最终数字为6；
k=11：3×11=33，33÷12余数为9，最终数字为9；
k=12：3×12=36，36÷12余数为0，最终数字为12。
综上，所有可能的最终数字只有3、6、9、12，篮球对应数字5，不在其中，因此不可能抽到篮球。
【答案】
不可能抽到篮球
【知识点】
余数的应用；数学建模
【点评】
本题将实际游戏问题转化为数学问题，通过建立代数式模型和枚举验证的方法得出结论，考察了学生的数学转化能力和余数计算能力，逻辑清晰，贴近生活。
【难度系数】
0.5
