1. 某校开设了冰球选修课,12名同学被分成甲、乙两组进行训练,他们的身高(单位:cm)如图所示.设两组队员身高的平均数依次为$\overline{x}_{甲}$,$\overline{x}_{乙}$,方差依次为$s^{2}_{甲}$,$s^{2}_{乙}$,下列关系中完全正确的是
（）


A.$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$,$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$
B.$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$,$s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$
C.$\overline{x}_{甲}＜\overline{x}_{乙}$,$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$
D.$\overline{x}_{甲}＞\overline{x}_{乙}$,$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$

甲: $\overline{x} = \frac{176+177+175+176+177+175}{6} = 176$, $s^2 = [ (176-176)^2 × 2 + (177-176)^2 × 2 + (175-176)^2 × 2 ] ÷ 6 = \frac{2}{3}$,
乙: $\overline{x} = \frac{178+175+170+174+183+176}{6} = 176$, $s^2 = [ (178-176)^2 + (175-176)^2 + (170-176)^2 + (174-176)^2 + (183-176)^2 + (176-176)^2 ] ÷ 6 = \frac{47}{3}$, 则 $\overline{x}_甲 = \overline{x}_乙$, $s^2_甲 ＜ s^2_乙$, 故选A.

【分析】要解决本题，需先从折线图中准确提取甲、乙两组各队员的身高数据，再分别计算两组身高的平均数和方差，最后比较两者的大小关系，从而选出正确选项。
【解析】1. 提取数据：甲组6名队员身高为176cm、177cm、175cm、176cm、177cm、175cm；乙组6名队员身高为178cm、175cm、170cm、174cm、183cm、176cm。
2. 计算平均数：
甲组平均数：$\overline{x}_甲 = \frac{176+177+175+176+177+175}{6} = \frac{1056}{6} = 176$；
乙组平均数：$\overline{x}_乙 = \frac{178+175+170+174+183+176}{6} = \frac{1056}{6} = 176$；
因此$\overline{x}_甲 = \overline{x}_乙$。
3. 计算方差：
甲组方差：$s^2_甲 = \frac{(176-176)^2×2 + (177-176)^2×2 + (175-176)^2×2}{6} = \frac{0×2 +1×2 + (-1)^2×2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$；
乙组方差：$s^2_乙 = \frac{(178-176)^2 + (175-176)^2 + (170-176)^2 + (174-176)^2 + (183-176)^2 + (176-176)^2}{6} = \frac{4 +1 +36 +4 +49 +0}{6} = \frac{94}{6} = \frac{47}{3}$；
因为$\frac{2}{3} ＜ \frac{47}{3}$，所以$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
综上，$\overline{x}_甲 = \overline{x}_乙$，$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，故选A。
【答案】A
【知识点】平均数、方差
【点评】本题考查统计中平均数与方差的计算，核心是准确提取数据并正确运算，方差反映数据离散程度，离散程度越小方差越小，属于基础统计题型。
【难度系数】0.6

2. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试,六次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m).这六次成绩的平均数为7.8,方差为$\dfrac{1}{60}$.如果李刚再跳两次,成绩分别为7.6,8.0,那么李刚跳远成绩的方差.(填“变大”“不变”或“变小”)

∵ 李刚再跳两次,成绩分别为7.6,8.0,
∴ 这组数据的平均数是$\frac{7.8 × 6 + 7.6 + 8.0}{8} = 7.8(\mathrm{m})$,
∴ 这8次跳远成绩的方差是$s^2 = \frac{1}{8}[ 2 × (7.6-7.8)^2 + 2 × (7.8-7.8)^2 + (7.7-7.8)^2 + 2 × (8.0-7.8)^2 + (7.9-7.8)^2 ] = 0.0225$,
∵ $0.0225 ＞ \frac{1}{60}$,
∴ 方差变大.

【分析】要判断方差的变化，需先计算加入两次成绩后的新平均数，再根据方差公式求出新的方差，最后与原方差比较。具体步骤：1. 利用原平均数计算加入两次成绩后的总平均数；2. 代入方差公式计算8次成绩的方差；3. 对比原方差和新方差，得出结论。
【解析】首先，原6次成绩的平均数为7.8，加入7.6和8.0后，新的平均数为：$\frac{7.8×6 +7.6 +8.0}{8} = \frac{46.8 +15.6}{8}=7.8(\mathrm{m})$。然后计算8次成绩的方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：$s^2=\frac{1}{8}[2×(7.6-7.8)^2 +2×(7.8-7.8)^2 +(7.7-7.8)^2 +2×(8.0-7.8)^2 +(7.9-7.8)^2]$，计算各项平方和：$2×0.04 + 2×0 +0.01 +2×0.04 +0.01=0.18$，因此$s^2=\frac{0.18}{8}=0.0225$。原方差为$\frac{1}{60}\approx0.0167$，因为$0.0225＞\frac{1}{60}$，所以方差变大。
【答案】变大
【知识点】平均数、方差
【点评】本题考查平均数与方差的计算，核心是掌握方差公式，先求新数据的平均数再计算方差，对比后得出结论，属于基础运算题，需注意计算准确性。
【难度系数】0.5

3. (2025·北京模拟)某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品种橙子的质量，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a. 测评分数(百分制)如下：
甲:77 79 80 80 85 86 86 87 88
89 89 90 91 91 91 91 91 92
93 95 95 96 97 98 98
乙:69 79 79 79 86 87 87 89 89
90 90 90 90 90 91 92 92 92
94 95 96 96 97 98 98
b. 甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：

根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值.
(2)记甲种橙子测评分数的方差为$s_{1}^{2}$,乙种橙子测评分数的方差为$s_{2}^{2}$,则$s_{1}^{2},s_{2}^{2}$的大小关系为.
(3)根据抽样调查情况,可以推断哪种橙子的质量较好? 并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

(1)将乙种数据从小到大排列,乙:69,79,79,79,86,87,87,89,89,90,90,90,90,90,91,92,92,92,94,95,96,96,97,98,98,位于中间位置的数为90,所以乙种数据的中位数为90,所以n=90.甲种数据中,91出现的次数最多,所以甲种数据的众数为91,所以m=91.
(2)$s_1^2 ＜ s_2^2$ 解析:$s_1^2 = [ (77-89.4)^2 + (79-89.4)^2 + 2 × (80-89.4)^2 + (85-89.4)^2 + 2 × (86-89.4)^2 + (87-89.4)^2 + (88-89.4)^2 + 2 × (89-89.4)^2 + (90-89.4)^2 + 5 × (91-89.4)^2 + (92-89.4)^2 + (93-89.4)^2 + 2 × (95-89.4)^2 + (96-89.4)^2 + (97-89.4)^2 + 2 × (98-89.4)^2 ] ÷ 25 = 33.36$, $s_2^2 = [ (69-89.4)^2 + 3 × (79-89.4)^2 + (86-89.4)^2 + 2 × (87-89.4)^2 + 2 × (89-89.4)^2 + 5 × (90-89.4)^2 + (91-89.4)^2 + 3 × (92-89.4)^2 + (94-89.4)^2 + (95-89.4)^2 + 2 × (96-89.4)^2 + (97-89.4)^2 + 2 × (98-89.4)^2 ] ÷ 25 = 45.36$, $\therefore s_1^2 ＜ s_2^2$.
(3)根据抽样调查情况,可以推断甲种橙子的质量较好,理由:①从方差看,甲的方差较小,相对稳定;②从中位数看,甲的中位数更大,甲超过90的高分更多.(合理即可)

【分析】
要解决这道题，需明确众数、中位数、方差的定义及实际意义：
1. 求众数：找出一组数据中出现次数最多的数；求中位数：将数据从小到大排列，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数（本题甲、乙各有25个数据，中位数是第13个数）。
2. 比较方差：方差反映数据的波动程度，方差越小，数据越稳定，可通过计算或观察数据离散程度判断大小。
3. 推断橙子质量：当平均数相同时，结合中位数（反映中间水平）和方差（反映稳定性）的意义，从不同角度分析数据的优劣。
【解析】
(1) 求m和n的值：
甲的测评分数中，91出现了5次，是出现次数最多的数，因此甲的众数$m=91$；
乙的测评分数共25个，从小到大排列后，第13个数据为90，因此乙的中位数$n=90$。
(2) 比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小：
计算可得$s_1^2=33.36$，$s_2^2=45.36$，因此$s_1^2 ＜ s_2^2$（或通过数据波动观察：乙的数据存在较低值69，整体离散程度更大，甲的数据更集中，波动更小，故甲的方差更小）。
(3) 推断哪种橙子质量较好：
甲种橙子的质量较好，理由：
① 甲、乙的平均数相同，甲的中位数91大于乙的中位数90，说明甲种橙子测评分数的中间水平更高；
② 甲的方差小于乙的方差，说明甲种橙子测评分数的波动更小，质量更稳定。
【答案】
(1) $m=91$，$n=90$；(2) $s_1^2 ＜ s_2^2$；(3) 甲种橙子的质量较好，理由见解析。
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需掌握众数、中位数、方差的定义及意义，能结合统计量对数据进行分析推断，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.6