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1. 关于“组内离差平方和最小”原则,下列说法正确的是
（
A.只需让某一组的离差平方和最小即可
B.是所有组的组内离差平方和之和最小
C.分组后每组数据必须完全相同
D.与数据的集中程度无关
（
B
）A.只需让某一组的离差平方和最小即可
B.是所有组的组内离差平方和之和最小
C.分组后每组数据必须完全相同
D.与数据的集中程度无关
答案
1. B 解析:A. 组内离差平方和最小是指所有组的离差平方和之和最小,并非某一组的离差平方和最小,A错误,不符合题意;B. 组内离差平方和最小的定义就是所有组的组内离差平方和之和最小,B正确,符合题意;C. 分组无需每组数据完全相同,只需组内离差平方和之和最小即可,C错误,不符合题意;D. 离差平方和反映数据的集中程度,与数据集中程度有关,D错误,不符合题意.故选B.
解析
【分析】
要解答本题，需明确“组内离差平方和最小”原则的核心内涵，再逐一判断各选项的正误。该原则的关键是所有组的组内离差平方和之和最小，而非某一组单独最小；同时要知晓离差平方和反映数据的离散程度，与数据集中程度相关，分组也无需每组数据完全相同。
【解析】
对各选项分析如下：
A选项：“组内离差平方和最小”原则是所有组的组内离差平方和之和最小，并非某一组的离差平方和最小，A错误；
B选项：该原则的定义即为所有组的组内离差平方和之和最小，B正确；
C选项：分组仅需满足组内离差平方和之和最小，无需每组数据完全相同，C错误；
D选项：离差平方和反映数据的离散程度，与数据的集中程度有关，D错误。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；数据分组原则
【点评】
本题考查统计学中分组的基础概念，侧重对“组内离差平方和最小”原则定义的准确理解，属于概念识记类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解答本题，需明确“组内离差平方和最小”原则的核心内涵，再逐一判断各选项的正误。该原则的关键是所有组的组内离差平方和之和最小，而非某一组单独最小；同时要知晓离差平方和反映数据的离散程度，与数据集中程度相关，分组也无需每组数据完全相同。
【解析】
对各选项分析如下：
A选项：“组内离差平方和最小”原则是所有组的组内离差平方和之和最小，并非某一组的离差平方和最小，A错误；
B选项：该原则的定义即为所有组的组内离差平方和之和最小，B正确；
C选项：分组仅需满足组内离差平方和之和最小，无需每组数据完全相同，C错误；
D选项：离差平方和反映数据的离散程度，与数据的集中程度有关，D错误。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；数据分组原则
【点评】
本题考查统计学中分组的基础概念，侧重对“组内离差平方和最小”原则定义的准确理解，属于概念识记类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. (2026·郑州校级月考)把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是（
A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
B
）A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
答案
2. B 解析:数据从小到大排序:2,4,8,10,12,计算各选项组内离差平方和：
A. {2},s₁=0;{4,8,10,12},平均值=$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5,s_2=(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35;s=0+35=35.$
B. {2,4},平均值=$\frac{2+4}{2}=3,s_1=(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2;$
{8,10,12},平均值=$\frac{8+10+12}{3}=10,s_2=(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8;s=2+8=10.$
C. {2,4,8},平均值=$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3},s_1=(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3};$
{10,12},平均值=$\frac{10+12}{2}=11,s_2=(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2;s=\frac{56}{3}+2≈20.667.$
D. {2,4,8,10},平均值=$\frac{2+4+8+10}{4}=6,s_1=(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40;$
{12},s₂=0;s=40+0=40.
∴选项B的总组内离差平方和最小,为10,故选B.
A. {2},s₁=0;{4,8,10,12},平均值=$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5,s_2=(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35;s=0+35=35.$
B. {2,4},平均值=$\frac{2+4}{2}=3,s_1=(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2;$
{8,10,12},平均值=$\frac{8+10+12}{3}=10,s_2=(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8;s=2+8=10.$
C. {2,4,8},平均值=$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3},s_1=(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3};$
{10,12},平均值=$\frac{10+12}{2}=11,s_2=(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2;s=\frac{56}{3}+2≈20.667.$
D. {2,4,8,10},平均值=$\frac{2+4+8+10}{4}=6,s_1=(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40;$
{12},s₂=0;s=40+0=40.
∴选项B的总组内离差平方和最小,为10,故选B.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确“组内离差平方和”的定义：每个组内所有数据与该组平均值的差的平方之和，总组内离差平方和为两组离差平方和的总和。解题思路为：先将题目数据排序，再分别计算每个选项对应的两组数据的总组内离差平方和，比较后找到最小值对应的选项。
【解析】
第一步：将数据从小到大排序，得：2，4，8，10，12。
第二步：逐个计算各选项的总组内离差平方和：
选项A：分组为{2}和{4,8,10,12}
第一组{2}的离差平方和为0；
第二组平均值：$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和：$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$；
总离差平方和：$0+35=35$。
选项B：分组为{2,4}和{8,10,12}
第一组平均值：$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和：$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；
第二组平均值：$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和：$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$；
总离差平方和：$2+8=10$。
选项C：分组为{2,4,8}和{10,12}
第一组平均值：$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和：$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}$；
第二组平均值：$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和：$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和：$\frac{56}{3}+2≈20.67$。
选项D：分组为{2,4,8,10}和{12}
第一组平均值：$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和：$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$；
第二组{12}的离差平方和为0；
总离差平方和：$40+0=40$。
第三步：比较总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，故选项B的总组内离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和、数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是准确理解定义，通过逐个计算比较即可得出结果，计算过程需仔细，属于基础统计类题目，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需先明确“组内离差平方和”的定义：每个组内所有数据与该组平均值的差的平方之和，总组内离差平方和为两组离差平方和的总和。解题思路为：先将题目数据排序，再分别计算每个选项对应的两组数据的总组内离差平方和，比较后找到最小值对应的选项。
【解析】
第一步：将数据从小到大排序，得：2，4，8，10，12。
第二步：逐个计算各选项的总组内离差平方和：
选项A：分组为{2}和{4,8,10,12}
第一组{2}的离差平方和为0；
第二组平均值：$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和：$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$；
总离差平方和：$0+35=35$。
选项B：分组为{2,4}和{8,10,12}
第一组平均值：$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和：$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；
第二组平均值：$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和：$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$；
总离差平方和：$2+8=10$。
选项C：分组为{2,4,8}和{10,12}
第一组平均值：$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和：$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}$；
第二组平均值：$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和：$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和：$\frac{56}{3}+2≈20.67$。
选项D：分组为{2,4,8,10}和{12}
第一组平均值：$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和：$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$；
第二组{12}的离差平方和为0；
总离差平方和：$40+0=40$。
第三步：比较总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，故选项B的总组内离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和、数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是准确理解定义，通过逐个计算比较即可得出结果，计算过程需仔细，属于基础统计类题目，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 某小组 8 名学生的数学考试成绩(单位：分)分别为 84,98,91,94,90,90,85,88, 老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式:第一组$\{ 84,85,88,90,90,91 \}$,第二组$\{ 94,98 \}$,则组间离差平方和为
96
.答案
3. 96 解析:第一组的平均数为(84+85+88+90+90+91)÷6=88,有6个数据,第二组数据的平均数为(94+98)÷2=96,有2个数据,所有数据的平均数为(84+85+88+90+90+91+94+98)÷8=90,则组间离差平方和=6×(88-90)²+2×(96-90)²=96.
解析
【分析】
要计算组间离差平方和，需先明确其计算公式：组间离差平方和=每组数据个数×(该组平均数-总平均数)²的总和。解题时，先分别计算第一组、第二组的平均数，再计算所有8名学生成绩的总平均数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算第一组平均数：$\bar{x}_1 = \frac{84+85+88+90+90+91}{6} = \frac{528}{6}=88$；
2. 计算第二组平均数：$\bar{x}_2 = \frac{94+98}{2} = \frac{192}{2}=96$；
3. 计算总平均数：$\bar{x} = \frac{84+85+88+90+90+91+94+98}{8} = \frac{720}{8}=90$；
4. 代入组间离差平方和公式：$6×(\bar{x}_1-\bar{x})^2 + 2×(\bar{x}_2-\bar{x})^2 =6×(88-90)^2 +2×(96-90)^2=6×(-2)^2 +2×6^2=6×4 +2×36=24+72=96$。
【答案】
96
【知识点】
离差平方和、平均数计算
【点评】
本题考查统计中组间离差平方和的计算，核心是掌握公式，先求各组及总平均数，再代入计算，属于基础统计应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算组间离差平方和，需先明确其计算公式：组间离差平方和=每组数据个数×(该组平均数-总平均数)²的总和。解题时，先分别计算第一组、第二组的平均数，再计算所有8名学生成绩的总平均数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算第一组平均数：$\bar{x}_1 = \frac{84+85+88+90+90+91}{6} = \frac{528}{6}=88$；
2. 计算第二组平均数：$\bar{x}_2 = \frac{94+98}{2} = \frac{192}{2}=96$；
3. 计算总平均数：$\bar{x} = \frac{84+85+88+90+90+91+94+98}{8} = \frac{720}{8}=90$；
4. 代入组间离差平方和公式：$6×(\bar{x}_1-\bar{x})^2 + 2×(\bar{x}_2-\bar{x})^2 =6×(88-90)^2 +2×(96-90)^2=6×(-2)^2 +2×6^2=6×4 +2×36=24+72=96$。
【答案】
96
【知识点】
离差平方和、平均数计算
【点评】
本题考查统计中组间离差平方和的计算，核心是掌握公式，先求各组及总平均数，再代入计算，属于基础统计应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛.七年级共400人,八年级共500人,每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩(满分100分,成绩均为整数).将抽取的学生比赛成绩分别进行整理,分成A,B,C,D四组(用x表示成绩),A组:$60 ≤ x ≤ 69$,B组:$70 ≤ x ≤ 79$,C组:$80 ≤ x ≤ 89$,D组:$90 ≤ x ≤ 100$.其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组,B组的数据为:72,73,74,74,74,74,74,76,78;八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为:87,88,88,88,89,89,89,89.
据统计数据,绘制成如下统计图表:
(1)$a=$
(2)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于80分的学生"劳动小能手"称号,估计七、八年级共
②七(1)班"乐学"小组五位组员在本次比赛中均未达到80分,成绩分别为:65,69,70,74,78.他们决定分成两人组或三人组合作学习,如表.
为了达到"组内离差平方和最小",请你计算并做出选择.$n=$
据统计数据,绘制成如下统计图表:
(1)$a=$
74
,$b=$88.5
,$m=$10
.(2)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于80分的学生"劳动小能手"称号,估计七、八年级共
550
名学生获此称号.②七(1)班"乐学"小组五位组员在本次比赛中均未达到80分,成绩分别为:65,69,70,74,78.他们决定分成两人组或三人组合作学习,如表.
为了达到"组内离差平方和最小",请你计算并做出选择.$n=$
40
,选第二
种分法.答案
4. (1)74 88.5 10 解析:
∵七年级学生的比赛成绩的众数出现在B组,又B组成绩中74分出现5次,出现的次数最多,
∴七年级学生的比赛成绩的众数为74分,
∴a=74.七年级的成绩中,B组占比为$\frac{9}{20}×100\%=45\%$,
∴C组占比为1-5%-45%-40%=10%,
∴m=10.由条形统计图和八年级C组的数据可知,八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的88分与89分,
∴$b=\frac{88+89}{2}=88.5$.
(2)①550 解析:由统计的数据可知,七年级获得“劳动小能手”称号的约有(10%+40%)×400=200(人),八年级获得“劳动小能手”称号的约有$\frac{8+6}{20}×500=350$(人),200+350=550(人),
∴估计七、八年级共550名学生获得“劳动小能手”称号.
②40 二 解析:$\frac{65+69}{2}=67,\frac{70+74+78}{3}=74,∴n=(65-67)^2+(69-67)^2+(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=40.$
∵40＞22,
∴应该选第二种分法.
∵七年级学生的比赛成绩的众数出现在B组,又B组成绩中74分出现5次,出现的次数最多,
∴七年级学生的比赛成绩的众数为74分,
∴a=74.七年级的成绩中,B组占比为$\frac{9}{20}×100\%=45\%$,
∴C组占比为1-5%-45%-40%=10%,
∴m=10.由条形统计图和八年级C组的数据可知,八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的88分与89分,
∴$b=\frac{88+89}{2}=88.5$.
(2)①550 解析:由统计的数据可知,七年级获得“劳动小能手”称号的约有(10%+40%)×400=200(人),八年级获得“劳动小能手”称号的约有$\frac{8+6}{20}×500=350$(人),200+350=550(人),
∴估计七、八年级共550名学生获得“劳动小能手”称号.
②40 二 解析:$\frac{65+69}{2}=67,\frac{70+74+78}{3}=74,∴n=(65-67)^2+(69-67)^2+(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=40.$
∵40＞22,
∴应该选第二种分法.
解析
【分析】
本题是统计综合题，需逐步分析各问题：
1. 求a：根据众数定义，找七年级成绩中出现次数最多的数；求m：计算七年级C组人数占抽取人数的百分比；求b：八年级中位数是第10、11个数据的平均数，结合C组数据计算。
2. ①估计“劳动小能手”人数：利用样本中不低于80分的占比，分别计算七、八年级对应人数再求和；②计算组内离差平方和：先算每组平均数，再计算各数据与组平均数差的平方和，比较后选择分法。
【解析】
(1) 求a：众数是一组数据中出现次数最多的数，七年级B组数据里74出现5次，次数最多，故a=74；
求m：七年级抽取20人，A组占比5%即1人，B组9人，D组占比40%即8人，C组人数为20-1-9-8=2，占比为$\frac{2}{20}×100\%=10\%$，故m=10；
求b：八年级抽取20人，中位数是第10、11个数据的平均数，C组有8个数据，第10、11个数据在C组，C组数据为87,88,88,88,89,89,89,89，故$b=\frac{88+89}{2}=88.5$；
(2) ①七年级不低于80分的占比为10%+40%=50%，人数为$400×50\%=200$；八年级不低于80分的有8+6=14人，占比$\frac{14}{20}$，人数为$500×\frac{14}{20}=350$，合计$200+350=550$；
②第一种分法：两人组（65,69）平均为$\frac{65+69}{2}=67$，三人组（70,74,78）平均为$\frac{70+74+78}{3}=74$，离差平方和为$(65-67)^2+(69-67)^2+(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=40$，故n=40；因40＞22（第二种分法离差平方和），选第二种分法。
【答案】
74；88.5；10；550；40；二
【知识点】
众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计核心知识点，需掌握众数、中位数的计算，用样本估计总体的方法，以及离差平方和的计算，步骤清晰，注重基础应用，是典型的统计综合题。
【难度系数】
0.6
本题是统计综合题，需逐步分析各问题：
1. 求a：根据众数定义，找七年级成绩中出现次数最多的数；求m：计算七年级C组人数占抽取人数的百分比；求b：八年级中位数是第10、11个数据的平均数，结合C组数据计算。
2. ①估计“劳动小能手”人数：利用样本中不低于80分的占比，分别计算七、八年级对应人数再求和；②计算组内离差平方和：先算每组平均数，再计算各数据与组平均数差的平方和，比较后选择分法。
【解析】
(1) 求a：众数是一组数据中出现次数最多的数，七年级B组数据里74出现5次，次数最多，故a=74；
求m：七年级抽取20人，A组占比5%即1人，B组9人，D组占比40%即8人，C组人数为20-1-9-8=2，占比为$\frac{2}{20}×100\%=10\%$，故m=10；
求b：八年级抽取20人，中位数是第10、11个数据的平均数，C组有8个数据，第10、11个数据在C组，C组数据为87,88,88,88,89,89,89,89，故$b=\frac{88+89}{2}=88.5$；
(2) ①七年级不低于80分的占比为10%+40%=50%，人数为$400×50\%=200$；八年级不低于80分的有8+6=14人，占比$\frac{14}{20}$，人数为$500×\frac{14}{20}=350$，合计$200+350=550$；
②第一种分法：两人组（65,69）平均为$\frac{65+69}{2}=67$，三人组（70,74,78）平均为$\frac{70+74+78}{3}=74$，离差平方和为$(65-67)^2+(69-67)^2+(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=40$，故n=40；因40＞22（第二种分法离差平方和），选第二种分法。
【答案】
74；88.5；10；550；40；二
【知识点】
众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计核心知识点，需掌握众数、中位数的计算，用样本估计总体的方法，以及离差平方和的计算，步骤清晰，注重基础应用，是典型的统计综合题。
【难度系数】
0.6
