9. (1)(朝阳中考改编)如图①,$O$是坐标原点,点$B$在$x$轴上,在$△ OAB$中,$AO=AB=5,OB=6$,点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象上,则$k$的值为;

(2)(2025·临沂期中)如图②,在平面直角坐标系中,四边形$AOBC$为矩形,且点$C$的坐标为$(8,6)$,$M$为$BC$的中点,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$($k$是常数,$k ≠ 0$)的图象经过点$M$,交$AC$于点$N$,则$MN$的长度是.

9. (1)-12 解析:过$A$点作$AC⊥ OB$于点$C$.$\because AO=AB$,$AC⊥ OB$,$OB=6$,$\therefore OC=BC=3$.在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$OA=5$,$\therefore AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore A(-3,4)$.把$A(-3,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,可得$k=-12$.
(2)5 解析:由矩形的性质易得$M(8,3)$,$N$点的纵坐标是6.将$M$点的坐标代入反比例函数表达式得$k=8×3=24$,$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{24}{x}$.当$y=6$时,$x=4$,$\therefore N(4,6)$,$\therefore N$是$AC$的中点.连接$AB$,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,$\therefore MN=\dfrac{1}{2}AB=5$.

【分析】
第(1)问：要确定反比例函数的k值，需先找到点A的坐标。已知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，过A作OB的垂线可得到垂足为OB中点，结合勾股定理求出A点的纵坐标，再根据A所在象限确定坐标，最后代入反比例函数解析式计算k。
第(2)问：矩形AOBC中，先根据C点坐标和M是BC中点求出M点坐标，代入反比例函数得k值，再求出AC边上点N的坐标，最后利用两点间距离公式或三角形中位线性质计算MN的长度。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥OB于点D，
∵AO=AB，AD⊥OB，OB=6，
∴OD=½OB=3。在Rt△AOD中，AO=5，由勾股定理得AD=√(AO² - OD²)=√(5² - 3²)=4。由图可知点A在第二象限，故A点坐标为(-3,4)。将A(-3,4)代入y=k/x，得k=(-3)×4=-12。
(2) 四边形AOBC是矩形，C(8,6)，则B(8,0)，A(0,6)，M为BC中点，故M点坐标为(8,3)。将M(8,3)代入y=k/x，得k=8×3=24，即反比例函数解析式为y=24/x。AC边的纵坐标为6，令y=6，代入得6=24/x，解得x=4，故N点坐标为(4,6)。由两点间距离公式，MN=√[(8-4)² + (3-6)²]=√(16+9)=5。
【答案】
(1)-12；(2)5
【知识点】
反比例函数、等腰三角形性质、矩形性质
【点评】
本题结合反比例函数与几何图形，考查坐标与图形的性质，需利用几何图形的性质确定点的坐标，再代入反比例函数求解，计算时注意坐标符号和公式的正确应用。
【难度系数】
0.5

10. 如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作$T_{m}$($m$为1~8的整数).反比例函数$y=$$\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象为曲线$L$.
(1)若$L$过点$T_{1}$,求反比例函数的表达式;
(2)若$L$过点$T_{4}$,则它必定还过另一点$T_{m}$,求$T_{m}$的坐标;
(3)若曲线$L$使得$T_{1} ∼ T_{8}$这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,求出所有满足条件的整数$k$.

10. (1)$\because$ 每个台阶的高和宽分别是1和2,$\therefore T_1(-16,1)$,$T_2(-14,2)$,$T_3(-12,3)$,$T_4(-10,4)$,$T_5(-8,5)$,$T_6(-6,6)$,$T_7(-4,7)$,$T_8(-2,8)$.$\because L$过点$T_1$,$\therefore k=-16×1=-16$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{16}{x}$.
(2)$\because L$过点$T_4$,$\therefore k=-10×4=-40$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{40}{x}$,当$x=-8$时,$y=5$,$\therefore T_5$也在反比例函数的图象上,$\therefore T_m$的坐标为$(-8,5)$.
(3)若曲线$L$过点$T_1(-16,1)$,$T_8(-2,8)$时,$k=-16×1=-16$.若曲线$L$过点$T_2(-14,2)$,$T_7(-4,7)$时,$k=-14×2=-28$.若曲线$L$过点$T_3(-12,3)$,$T_6(-6,6)$时,$k=-12×3=-36$.若曲线$L$过点$T_4(-10,4)$,$T_5(-8,5)$时,$k=-10×4=-40$.$\because$ 曲线$L$使得$T_1∼ T_8$这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,$\therefore -36＜k＜-28$,$\therefore$ 所有满足条件的整数$k=-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$.

【分析】
首先根据台阶的高和宽确定各顶点$T_m$的坐标，再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的性质解题：
1. 求函数表达式时，将对应点坐标代入计算$k$，即可得到反比例函数式；
2. 确定过另一点时，先算出$k$，再代入函数式验证其他点是否满足；
3. 要使8个点分布在曲线两侧各4个，需先计算每个点对应的$k$值，再根据点与曲线的位置关系（$y$与$\frac{k}{x}$的大小关系）确定$k$的范围，进而找出整数$k$。
【解析】
先确定各顶点坐标：
每个台阶高为1、宽为2，结合$x＜0$的坐标系，可得$T_m$的坐标为：
$T_1(-16,1)$，$T_2(-14,2)$，$T_3(-12,3)$，$T_4(-10,4)$，$T_5(-8,5)$，$T_6(-6,6)$，$T_7(-4,7)$，$T_8(-2,8)$。
(1) 若曲线$L$过$T_1(-16,1)$，代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k = x · y = -16 × 1 = -16$，
故反比例函数的表达式为$y = -\frac{16}{x}$。
(2) 若曲线$L$过$T_4(-10,4)$，则$k = -10 × 4 = -40$，
反比例函数为$y = -\frac{40}{x}$，
当$x=-8$时，$y = -\frac{40}{-8}=5$，对应点为$T_5(-8,5)$，
故$T_m$的坐标为$(-8,5)$。
(3) 计算每个$T_m$对应的$k=x_my_m$：
$T_1: -16×1=-16$，$T_2:-14×2=-28$，$T_3:-12×3=-36$，$T_4:-10×4=-40$，
$T_5:-8×5=-40$，$T_6:-6×6=-36$，$T_7:-4×7=-28$，$T_8:-2×8=-16$。
要使$T_1∼T_8$分布在曲线两侧各4个点，需满足4个点在曲线上方、4个点在下方，结合$k$的取值范围得：$-36 ＜ k ＜ -28$，其中整数$k$为$-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{16}{x}$；(2) $(-8,5)$；(3) $-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数图象性质
【点评】
本题结合台阶图形考查反比例函数的应用，核心是确定顶点坐标并利用$k=xy$分析点与曲线的位置关系，需理清坐标与$k$的关联，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

11. 改编题 小明根据学习函数的经验,对函数
$y=\frac{1}{x-1}+1$
的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1) 函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+1$ 的自变量 $x$ 的取值范围是.
(2) 下表列出了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值,请写出 $m,n$ 的值:$m=$,$n=$.

(3) 在如图所示的平面直角坐标系中,描全上表中以各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象.

(4) 结合函数的图象,解决问题:
①写出该函数的一条结论;
②当$\dfrac{1}{x-1}+1＞\dfrac{3}{2}$时,$x$ 的取值范围是;
③方程$\dfrac{1}{x-1}+1=x$的解为.
(5) 已知函数 $y_1=\dfrac{1}{2}x+1\ (x≠-2)$,则函数$y_2=\dfrac{1}{y_1}$的图象与坐标轴有个交点.

11. (1)$x≠1$ 解析:由题意可得$x-1≠0$,即$x≠1$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 3 解析:将$x=-1$代入$y=\dfrac{1}{x-1}+1$得$m=\dfrac{1}{2}$,将$x=\dfrac{3}{2}$代入$y=\dfrac{1}{x-1}+1$得$n=3$.
(3)如图：

(4)①函数图象经过原点且关于点$(1,1)$对称.(合理即可)
②$1＜x＜3$ 解析:当$x=3$时,$\dfrac{1}{x-1}+1=\dfrac{3}{2}$,结合图象可得$x$的取值范围是$1＜x＜3$.
③$x=0$或$x=2$ 解析:直线$y=x$与$y=\dfrac{1}{x-1}+1$的图象交于$(0,0)$和$(2,2)$两点,$\therefore$ 方程$\dfrac{1}{x-1}+1=x$的解为$x=0$或$x=2$.
(5)1 解析:$\because y_1=\dfrac{1}{2}x+1$,$\therefore y_2=\dfrac{1}{y_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}x+1}=\dfrac{2}{x+2}$,当$x=0$时,$y_2=\dfrac{2}{2}=1$,$\therefore y_2=\dfrac{2}{x+2}$与$y$轴的交点为$(0,1)$.由于$\dfrac{2}{x+2}$是分式,且分子不为零,则$y_2≠0$,$\therefore y_2=\dfrac{2}{x+2}$与$x$轴没有交点,$\therefore$ 函数$y_2=\dfrac{2}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是1.

【分析】
本题是关于分式函数$y=\frac{1}{x-1}+1$的探究题，解题思路如下：
1. 自变量取值范围：分式的分母不能为0，令分母$x-1≠0$即可得$x$的取值范围；
2. 求$m、n$：将对应$x$值代入函数解析式，直接计算得到$m、n$；
3. 描点画图：根据表格坐标在坐标系描点，用平滑曲线连接，注意函数的渐近线$x=1$和$y=1$；
4. 函数相关结论：①观察图像的对称性、特殊点等写合理结论；②解不等式时，先找$y=\frac{3}{2}$对应的$x$值，结合函数单调性确定$x$范围；③解方程等价于找函数$y=\frac{1}{x-1}+1$与直线$y=x$的交点横坐标；
5. 复合函数问题：将$y_1$代入$y_2$化简，再判断与坐标轴的交点个数。
【解析】
(1) 对于函数$y=\frac{1}{x-1}+1$，分式分母不为0，故$x-1≠0$，解得$x≠1$，即自变量取值范围为$x≠1$；
(2) 当$x=-1$时，$m=\frac{1}{-1-1}+1=\frac{1}{2}$；当$x=\frac{3}{2}$时，$n=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}+1=3$；
(3) 根据表格对应坐标描点，用平滑曲线连接得函数图象（如图：）；
(4) ①观察图象，结论：函数图象关于点$(1,1)$对称（合理即可）；②当$y=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{x-1}+1=\frac{3}{2}$，解得$x=3$，结合$x＞1$时函数递减，得$\frac{1}{x-1}+1＞\frac{3}{2}$时$1＜x＜3$；③解方程$\frac{1}{x-1}+1=x$，整理得$x=x(x-1)$，解得$x=0$或$x=2$，均为原方程的解；
(5) 由$y_1=\frac{1}{2}x+1$，得$y_2=\frac{1}{y_1}=\frac{2}{x+2}$；$x=0$时$y_2=1$，即与$y$轴交于$(0,1)$；$y_2=0$时方程无解，与$x$轴无交点，故与坐标轴交点个数为1。
【答案】
(1)$x≠1$；(2)$\frac{1}{2}$，$3$；(3)如图：；(4)①函数图象关于点$(1,1)$对称（合理即可）；②$1＜x＜3$；③$x=0$或$x=2$；(5)$1$
【知识点】
分式函数的性质；函数图像与性质；方程与不等式的解
【点评】
本题为函数探究题，围绕分式函数综合考查多个知识点，需掌握函数基本分析方法，难度适中。
【难度系数】
0.5