登录
1. (2025·重庆中考)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是（
A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
D
）A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
答案
1. D 解析:反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$中的$k=-12$,$\because$ 点$(6,-2)$所在的反比例函数的$k=6×(-2)=-12$,$\therefore$ 反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是$(6,-2)$,故选D.
解析
【分析】要判断反比例函数图象经过的点，需依据反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，若点$(x,y)$在其图象上，则该点横、纵坐标的乘积等于比例系数$k$。本题中反比例函数的$k=-12$，只需分别计算各选项点的横纵坐标乘积，验证是否等于$-12$即可。
【解析】已知反比例函数$y=-\frac{12}{x}$，其比例系数$k=-12$，若点在该函数图象上，则该点横、纵坐标的乘积为$-12$：
选项A：$2×6=12≠-12$，不经过；
选项B：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不经过；
选项C：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不经过；
选项D：$6×(-2)=-12$，符合要求，经过该函数图象。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用$xy=k$的关系判断，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】已知反比例函数$y=-\frac{12}{x}$，其比例系数$k=-12$，若点在该函数图象上，则该点横、纵坐标的乘积为$-12$：
选项A：$2×6=12≠-12$，不经过；
选项B：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不经过；
选项C：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不经过；
选项D：$6×(-2)=-12$，符合要求，经过该函数图象。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用$xy=k$的关系判断，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
2. 在下列选项中,反比例函数$y=\dfrac{k^{2}+1}{x}$的图象大致是（
D
）答案
2. D 解析:$\because k^2+1＞0$,$\therefore y=\dfrac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限,故选D.
解析
【分析】要判断反比例函数的图象，需先确定其比例系数的符号。对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$），当$a＞0$时，图象位于第一、三象限；当$a＜0$时，图象位于第二、四象限。本题中比例系数为$k^2+1$，需结合平方的非负性分析该式的正负性，再对应选项判断。
【解析】因为任意实数的平方都为非负数，即$k^2≥0$，所以$k^2 +1≥0 +1 =1＞0$，即反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的比例系数大于0。根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象分布在第一、三象限。观察选项：A选项仅在第一象限，B选项在第二、四象限，C选项在第三、四象限，D选项在第一、三象限，因此符合条件的是D选项。
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数图象的性质，核心是利用平方的非负性判断比例系数的符号，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】因为任意实数的平方都为非负数，即$k^2≥0$，所以$k^2 +1≥0 +1 =1＞0$，即反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的比例系数大于0。根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象分布在第一、三象限。观察选项：A选项仅在第一象限，B选项在第二、四象限，C选项在第三、四象限，D选项在第一、三象限，因此符合条件的是D选项。
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数图象的性质，核心是利用平方的非负性判断比例系数的符号，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
3. 新趋势 开放性试题 反比例函数$y=\dfrac{k-2}{x}$的图象分布情况如图所示，则$k$的值可以是
1（答案不唯一）
（写出一个符合条件的$k$值即可）.答案
3. 1(答案不唯一) 解析:要使得反比例函数$y=\dfrac{k-2}{x}$的图象分布情况如题图所示,则$k-2＜0$,即$k＜2$,则$k$可取1.
解析
【分析】首先观察反比例函数图象所在的象限，再结合反比例函数的图象与系数的关系，确定比例系数的符号，进而求出k的取值范围，最后在该范围内选取一个符合条件的k值即可。
【解析】对于反比例函数$ y=\dfrac{a}{x} $，其图象分布规律为：当$ a＞0 $时，图象在第一、三象限；当$ a＜0 $时，图象在第二、四象限。本题中，函数$ y=\dfrac{k-2}{x} $的图象分布在第二、四象限，因此比例系数$ k-2＜0 $，解得$ k＜2 $。所以k可以取1（答案不唯一，只要是小于2的数均符合条件）。
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象性质
【点评】本题为开放性试题，核心考查反比例函数图象与系数的关系，属于基础题型，只要掌握反比例函数的基本性质即可解答，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】0.7
【解析】对于反比例函数$ y=\dfrac{a}{x} $，其图象分布规律为：当$ a＞0 $时，图象在第一、三象限；当$ a＜0 $时，图象在第二、四象限。本题中，函数$ y=\dfrac{k-2}{x} $的图象分布在第二、四象限，因此比例系数$ k-2＜0 $，解得$ k＜2 $。所以k可以取1（答案不唯一，只要是小于2的数均符合条件）。
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象性质
【点评】本题为开放性试题，核心考查反比例函数图象与系数的关系，属于基础题型，只要掌握反比例函数的基本性质即可解答，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】0.7
4. (2025·咸阳期中)在平面直角坐标系 $xOy$ 中,若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过点$A(2,a)$ 和 $B(-2,b)$,则 $a+b$ 的值为
0
.答案
4. 0 解析:$\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(2,a)$和$B(-2,b)$,$\therefore 2× a=k$,$-2× b=k$,$\therefore 2a=-2b$,$\therefore a=-b$,$\therefore a+b=0$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k。首先将点A、B代入反比例函数解析式，得到关于a、b与k的等式，再通过等式变形找到a与b的关系，进而求出a+b的值。
【解析】
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(2,a)$和$B(-2,b)$，所以将两点坐标代入解析式可得：
$2 × a = k$，①
$-2 × b = k$，②
由①和②可知，$2a = -2b$，两边同时除以2得：$a = -b$，
因此$a + b = -b + b = 0$。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考察反比例函数图象上点的坐标与解析式的关系，解题思路直接，只要掌握基本知识点即可快速解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k。首先将点A、B代入反比例函数解析式，得到关于a、b与k的等式，再通过等式变形找到a与b的关系，进而求出a+b的值。
【解析】
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(2,a)$和$B(-2,b)$，所以将两点坐标代入解析式可得：
$2 × a = k$，①
$-2 × b = k$，②
由①和②可知，$2a = -2b$，两边同时除以2得：$a = -b$，
因此$a + b = -b + b = 0$。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考察反比例函数图象上点的坐标与解析式的关系，解题思路直接，只要掌握基本知识点即可快速解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
5. (2024·河南中考改编)如图,矩形$ABCD$的四个顶点都在格点(网格线的交点)上,对角线$AC,BD$相交于点$E$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$.
(1)这个反比例函数的表达式为
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点$A$的三个格点,再画出反比例函数的图象.
(3)将矩形$ABCD$向左平移,当点$E$落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为
(1)这个反比例函数的表达式为
$y=\dfrac{6}{x}$
.(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点$A$的三个格点,再画出反比例函数的图象.
(3)将矩形$ABCD$向左平移,当点$E$落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为
$\dfrac{9}{2}$
.答案
5. (1)$y=\dfrac{6}{x}$ 解析:$\because$ 图象经过点$A$,将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$得$k=6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)画图如下：
(3)$\dfrac{9}{2}$ 解析:由图可知$E(6,4)$,点$E$向左平移后在反比例函数的图象上,$\therefore$ 平移后点$E$对应点的纵坐标为4,当$y=4$时,$4=\dfrac{6}{x}$,解得$x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 平移的距离为$6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，分三步思考：第一步，求反比例函数表达式，需先确定点A的坐标，代入反比例函数解析式求出k值；第二步，找反比例函数上的格点，即满足xy=6且x、y为正整数的点；第三步，求矩形平移距离，需先确定矩形对角线交点E的坐标，再根据平移后E在反比例函数图象上，求出平移后E的横坐标，进而计算平移距离。
【解析】
(1) 由网格可知点A的坐标为(3,2)，将A(3,2)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，故反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的格点满足$xy=6$，除A(3,2)外，还有(1,6)、(2,3)、(6,1)，描出这三个点后，用平滑曲线连接即可得到图象。
(3) 矩形ABCD的对角线交点E是AC的中点，A(3,2)，C(9,6)，则E的坐标为$(\dfrac{3+9}{2},\dfrac{2+6}{2})=(6,4)$。设矩形向左平移a个单位，平移后E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$4=\dfrac{6}{6-a}$，解得$6-a=\dfrac{3}{2}$，故$a=6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$，即平移距离为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{6}{x}$；(2) 画图如下：；(3)$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数图象、图形平移
【点评】
本题结合矩形性质与反比例函数，考查了反比例函数的应用及图形平移的计算，关键是确定各点坐标，利用函数性质求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分三步思考：第一步，求反比例函数表达式，需先确定点A的坐标，代入反比例函数解析式求出k值；第二步，找反比例函数上的格点，即满足xy=6且x、y为正整数的点；第三步，求矩形平移距离，需先确定矩形对角线交点E的坐标，再根据平移后E在反比例函数图象上，求出平移后E的横坐标，进而计算平移距离。
【解析】
(1) 由网格可知点A的坐标为(3,2)，将A(3,2)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，故反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的格点满足$xy=6$，除A(3,2)外，还有(1,6)、(2,3)、(6,1)，描出这三个点后，用平滑曲线连接即可得到图象。
(3) 矩形ABCD的对角线交点E是AC的中点，A(3,2)，C(9,6)，则E的坐标为$(\dfrac{3+9}{2},\dfrac{2+6}{2})=(6,4)$。设矩形向左平移a个单位，平移后E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$4=\dfrac{6}{6-a}$，解得$6-a=\dfrac{3}{2}$，故$a=6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$，即平移距离为$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{6}{x}$；(2) 画图如下：
；(3)$\dfrac{9}{2}$【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数图象、图形平移
【点评】
本题结合矩形性质与反比例函数，考查了反比例函数的应用及图形平移的计算，关键是确定各点坐标，利用函数性质求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
6. 如图所示,设剪去的两个相同的小矩形的长和宽分别为$x,y$,剪去部分的面积为20,若$2 ≤ x ≤ 10$,则$y$与$x$的函数图象是（
A
）答案
6. A 解析:根据题意和图象可知,每个小矩形的长和宽分别为$x$,$y$,面积是$xy=10$,即$y=\dfrac{10}{x}$,由$2≤ x≤10$,得$y$的最大值是5,最小值是1.故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据“两个相同小矩形总面积为20”算出单个小矩形的面积，再结合矩形面积公式推导y与x的函数关系，最后根据x的范围确定函数图象的特征，从而选出正确选项。
【解析】
1. 计算单个小矩形面积：已知两个相同小矩形的总面积为20，因此单个小矩形的面积为 $20÷2=10$；
2. 推导函数关系：根据矩形面积公式，单个小矩形面积为 $xy=10$，变形可得 $y=\dfrac{10}{x}$；
3. 确定函数图象范围：已知 $2≤ x≤10$，代入函数计算y的取值：当$x=2$时，$y=\dfrac{10}{2}=5$；当$x=10$时，$y=\dfrac{10}{10}=1$，因此y的范围为$1≤ y≤5$；
4. 判断图象：$y=\dfrac{10}{x}$是第一象限的反比例函数，在$2≤ x≤10$时，图象是从$(2,5)$到$(10,1)$的递减曲线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际图形面积考查反比例函数的应用，核心是通过面积关系确定函数表达式，再结合自变量范围分析函数图象，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据“两个相同小矩形总面积为20”算出单个小矩形的面积，再结合矩形面积公式推导y与x的函数关系，最后根据x的范围确定函数图象的特征，从而选出正确选项。
【解析】
1. 计算单个小矩形面积：已知两个相同小矩形的总面积为20，因此单个小矩形的面积为 $20÷2=10$；
2. 推导函数关系：根据矩形面积公式，单个小矩形面积为 $xy=10$，变形可得 $y=\dfrac{10}{x}$；
3. 确定函数图象范围：已知 $2≤ x≤10$，代入函数计算y的取值：当$x=2$时，$y=\dfrac{10}{2}=5$；当$x=10$时，$y=\dfrac{10}{10}=1$，因此y的范围为$1≤ y≤5$；
4. 判断图象：$y=\dfrac{10}{x}$是第一象限的反比例函数，在$2≤ x≤10$时，图象是从$(2,5)$到$(10,1)$的递减曲线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际图形面积考查反比例函数的应用，核心是通过面积关系确定函数表达式，再结合自变量范围分析函数图象，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. 教材变式（2026·盐城校级月考）如图是三个反比例函数$y_{1}=\dfrac{k_{1}}{x}$、$y_{2}=\dfrac{k_{2}}{x}$、$y_{3}=\dfrac{k_{3}}{x}$在$x$轴上方的图象，由此观察得到$k_{1},k_{2},k_{3}$的大小关系为（
A.$k_{1}＞k_{2}＞k_{3}$
B.$k_{3}＞k_{1}＞k_{2}$
C.$k_{2}＞k_{3}＞k_{1}$
D.$k_{3}＞k_{2}＞k_{1}$
C
）A.$k_{1}＞k_{2}＞k_{3}$
B.$k_{3}＞k_{1}＞k_{2}$
C.$k_{2}＞k_{3}＞k_{1}$
D.$k_{3}＞k_{2}＞k_{1}$
答案
7. C 解析:根据反比例函数图象上点的坐标特点,可得$k=xy$,$\because y_1=\dfrac{k_1}{x}$的图象在第二象限,$x＜0$,$y_1＞0$,$\therefore k_1=xy_1＜0$.又$\because y_2=\dfrac{k_2}{x}$,$y_3=\dfrac{k_3}{x}$的图象在第一象限,且$y_2=\dfrac{k_2}{x}$的图象在$y_3=\dfrac{k_3}{x}$的图象上方,$\therefore k_2＞k_3＞0$,$\therefore k_2＞k_3＞k_1$,故选C.
解析
【分析】
要比较反比例函数中$k$的大小，需结合反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由$k$的符号决定，且图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$（即$k=xy$）。先根据图象所在象限判断$k$的符号，再在同一象限内通过相同$x$对应的$y$值大小比较$k$的大小。
【解析】
1. 对于$y_1=\frac{k_1}{x}$：其图象在第二象限，此时$x＜0$，$y_1＞0$，根据$k=xy$，可得$k_1=x· y_1＜0$；
2. 对于$y_2=\frac{k_2}{x}$和$y_3=\frac{k_3}{x}$：它们的图象在第一象限，故$k_2＞0$，$k_3＞0$；在第一象限取相同的$x$值，观察图象可知$y_2＞y_3$，由于$x＞0$，根据$k=xy$，可得$k_2=x· y_2 ＞ x· y_3 =k_3$；
3. 综上，$k_2＞k_3＞k_1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质
【点评】
本题考查反比例函数中$k$值与图象的关系，核心是利用$k=xy$的性质，结合图象所在象限判断$k$的符号，同一象限内通过相同$x$比较$y$的大小得到$k$的大小，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.3
要比较反比例函数中$k$的大小，需结合反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由$k$的符号决定，且图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$（即$k=xy$）。先根据图象所在象限判断$k$的符号，再在同一象限内通过相同$x$对应的$y$值大小比较$k$的大小。
【解析】
1. 对于$y_1=\frac{k_1}{x}$：其图象在第二象限，此时$x＜0$，$y_1＞0$，根据$k=xy$，可得$k_1=x· y_1＜0$；
2. 对于$y_2=\frac{k_2}{x}$和$y_3=\frac{k_3}{x}$：它们的图象在第一象限，故$k_2＞0$，$k_3＞0$；在第一象限取相同的$x$值，观察图象可知$y_2＞y_3$，由于$x＞0$，根据$k=xy$，可得$k_2=x· y_2 ＞ x· y_3 =k_3$；
3. 综上，$k_2＞k_3＞k_1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质
【点评】
本题考查反比例函数中$k$值与图象的关系，核心是利用$k=xy$的性质，结合图象所在象限判断$k$的符号，同一象限内通过相同$x$比较$y$的大小得到$k$的大小，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.3
8. 已知点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上，也在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，则$m^{2}+n^{2}$的值为
6
.答案
8. 6 解析:$\because$ 点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上,$\therefore n+m=2$.$\because$ 点$P(m,n)$在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上,$\therefore mn=-1$.$\therefore m^2+n^2=(n+m)^2-2mn=4+2=6$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的性质，先求出$m+n$和$mn$的值，再通过完全平方公式的变形计算$m^2+n^2$。具体步骤：1. 将点$P(m,n)$代入直线解析式，得到$m$与$n$的和；2. 将点$P(m,n)$代入双曲线解析式，得到$m$与$n$的积；3. 利用完全平方公式的变形公式$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入已求的和与积计算结果。
【解析】
解：
∵点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上，
∴将$P(m,n)$代入直线解析式得：$n=-m+2$，
移项可得：$m+n=2$；
又
∵点$P(m,n)$在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，
∴将$P(m,n)$代入双曲线解析式得：$n=-\dfrac{1}{m}$，
两边同乘$m$（$m≠0$）得：$mn=-1$；
根据完全平方公式的变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：
$m^2+n^2=2^2 - 2×(-1)=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、完全平方公式
【点评】
本题考查函数图像上点的坐标特征及代数变形能力，核心是利用点在图像上的条件获取$m$、$n$的和与积，结合完全平方公式简化计算，属于基础题型，需熟练掌握函数与代数公式的结合应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的性质，先求出$m+n$和$mn$的值，再通过完全平方公式的变形计算$m^2+n^2$。具体步骤：1. 将点$P(m,n)$代入直线解析式，得到$m$与$n$的和；2. 将点$P(m,n)$代入双曲线解析式，得到$m$与$n$的积；3. 利用完全平方公式的变形公式$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入已求的和与积计算结果。
【解析】
解：
∵点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上，
∴将$P(m,n)$代入直线解析式得：$n=-m+2$，
移项可得：$m+n=2$；
又
∵点$P(m,n)$在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，
∴将$P(m,n)$代入双曲线解析式得：$n=-\dfrac{1}{m}$，
两边同乘$m$（$m≠0$）得：$mn=-1$；
根据完全平方公式的变形：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：
$m^2+n^2=2^2 - 2×(-1)=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、完全平方公式
【点评】
本题考查函数图像上点的坐标特征及代数变形能力，核心是利用点在图像上的条件获取$m$、$n$的和与积，结合完全平方公式简化计算，属于基础题型，需熟练掌握函数与代数公式的结合应用。
【难度系数】
0.6
