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1. (2025·浙江中考改编) 已知反比例函数 $y = -\dfrac{7}{x}$. 下列选项错误的是（
A.函数图象关于原点中心对称
B.函数图象在第二、四象限
C.图象不可能与坐标轴相交
D.$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D
）A.函数图象关于原点中心对称
B.函数图象在第二、四象限
C.图象不可能与坐标轴相交
D.$y$ 随 $x$ 的增大而增大
答案
D 解析:A. 反比例函数图象关于原点中心对称,说法正确;B. $\because -7＜0,\therefore$ 函数 $y=-\dfrac{7}{x}$ 的图象在第二、四象限,说法正确;C. 反比例函数图象不可能与坐标轴相交,说法正确;D.函数 $y=-\dfrac{7}{x}$ 的图象在各自象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,原说法错误.故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质，再逐一分析每个选项：
1. 对称性：反比例函数图象关于原点中心对称；
2. 象限分布：由$k$的符号决定，$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时在二、四象限；
3. 与坐标轴的关系：因为$x≠0$、$y≠0$，所以图象不会与坐标轴相交；
4. 增减性：增减性仅在“各自象限内”成立，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大。
结合本题$k=-7$，逐一判断选项即可找到错误项。
【解析】
已知反比例函数$y = -\dfrac{7}{x}$，其中$k=-7＜0$，逐一分析选项：
选项A：反比例函数图象关于原点中心对称，该说法正确；
选项B：因为$k=-7＜0$，所以函数图象在第二、四象限，该说法正确；
选项C：由于$x≠0$、$y≠0$，图象不可能与坐标轴相交，该说法正确；
选项D：反比例函数的增减性仅适用于“每个象限内”，并非对所有$x$成立（例如$x_1=-1$时$y_1=7$，$x_2=1$时$y_2=-7$，$x_1＜x_2$但$y_1＞y_2$），原说法错误。
综上，错误的选项是D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，易错点是对增减性的理解：增减性仅在“各自象限内”有效，不能跨象限判断，需明确性质的适用范围。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质，再逐一分析每个选项：
1. 对称性：反比例函数图象关于原点中心对称；
2. 象限分布：由$k$的符号决定，$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时在二、四象限；
3. 与坐标轴的关系：因为$x≠0$、$y≠0$，所以图象不会与坐标轴相交；
4. 增减性：增减性仅在“各自象限内”成立，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大。
结合本题$k=-7$，逐一判断选项即可找到错误项。
【解析】
已知反比例函数$y = -\dfrac{7}{x}$，其中$k=-7＜0$，逐一分析选项：
选项A：反比例函数图象关于原点中心对称，该说法正确；
选项B：因为$k=-7＜0$，所以函数图象在第二、四象限，该说法正确；
选项C：由于$x≠0$、$y≠0$，图象不可能与坐标轴相交，该说法正确；
选项D：反比例函数的增减性仅适用于“每个象限内”，并非对所有$x$成立（例如$x_1=-1$时$y_1=7$，$x_2=1$时$y_2=-7$，$x_1＜x_2$但$y_1＞y_2$），原说法错误。
综上，错误的选项是D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，易错点是对增减性的理解：增减性仅在“各自象限内”有效，不能跨象限判断，需明确性质的适用范围。
【难度系数】
0.7
2. (上海中考)已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$,且在各自象限内,$y$随$x$的增大而增大,则下列点可能在这个函数图象上的为（
A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
B
）A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
答案
B 解析:$\because y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 在各自象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore k＜0$.A. $2× 3=6＞0$,不符合题意;B. $-2× 3=-6＜0$,符合题意;C. $3× 0=0$,不符合题意;D. $-3× 0=0$,不符合题意.故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步，根据反比例函数的增减性确定k的取值范围；第二步，利用反比例函数图象上点的坐标特征（点的横纵坐标乘积等于k），结合反比例函数中x、y均不为0的隐含条件，逐一判断选项。首先回忆反比例函数性质：当$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在各自象限内y随x增大而增大时，k＜0；其次，反比例函数图象上的点(x,y)满足xy=k，因此只需找到xy＜0的点，同时排除y=0的选项（y=0时k=0，不符合k≠0）。
【解析】
1. 确定k的符号：已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在各自象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质，可得$k＜0$。
2. 逐一分析选项：
选项A：点(2,3)，横纵坐标乘积为$2×3=6＞0$，即k=6＞0，与k＜0矛盾，不符合题意；
选项B：点(-2,3)，横纵坐标乘积为$(-2)×3=-6＜0$，即k=-6＜0，符合k＜0的条件，符合题意；
选项C：点(3,0)，y=0，此时横纵坐标乘积为0，即k=0，与反比例函数中k≠0矛盾，不符合要求；
选项D：点(-3,0)，y=0，同理横纵坐标乘积为0，k=0，不符合要求，排除。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为中考基础题，主要考查反比例函数的核心性质与图象上点的坐标特点，解题关键是明确k的符号与增减性的对应关系，以及反比例函数中x、y不能为0的隐含条件，整体难度较低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分两步思考：第一步，根据反比例函数的增减性确定k的取值范围；第二步，利用反比例函数图象上点的坐标特征（点的横纵坐标乘积等于k），结合反比例函数中x、y均不为0的隐含条件，逐一判断选项。首先回忆反比例函数性质：当$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在各自象限内y随x增大而增大时，k＜0；其次，反比例函数图象上的点(x,y)满足xy=k，因此只需找到xy＜0的点，同时排除y=0的选项（y=0时k=0，不符合k≠0）。
【解析】
1. 确定k的符号：已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在各自象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质，可得$k＜0$。
2. 逐一分析选项：
选项A：点(2,3)，横纵坐标乘积为$2×3=6＞0$，即k=6＞0，与k＜0矛盾，不符合题意；
选项B：点(-2,3)，横纵坐标乘积为$(-2)×3=-6＜0$，即k=-6＜0，符合k＜0的条件，符合题意；
选项C：点(3,0)，y=0，此时横纵坐标乘积为0，即k=0，与反比例函数中k≠0矛盾，不符合要求；
选项D：点(-3,0)，y=0，同理横纵坐标乘积为0，k=0，不符合要求，排除。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为中考基础题，主要考查反比例函数的核心性质与图象上点的坐标特点，解题关键是明确k的符号与增减性的对应关系，以及反比例函数中x、y不能为0的隐含条件，整体难度较低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.7
3. (2025·天津中考)若点$A(-3,y_1),B(1,y_2)$,$C(3,y_3)$都在反比例函数$y = -\dfrac{9}{x}$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
D 解析:$\because y=-\dfrac{9}{x}$,$\therefore$ 反比例函数的图象在第二、四象限,在每一个象限内,$y$ 随着 $x$ 的增大而增大,$\because$ 点 $A(-3,y_1)$,$B(1,y_2)$,$C(3,y_3)$都在反比例函数 $y=-\dfrac{9}{x}$ 的图象上,且$-3＜0＜1＜3$,$\therefore y_1＞0＞y_3＞y_2$.故选 D.
解析
【分析】
要比较反比例函数上点的纵坐标大小，需先明确反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。接下来，根据各点的横坐标判断所在象限，再结合象限和增减性比较纵坐标：点$A$的横坐标为$-3＜0$，在第二象限，纵坐标为正；点$B$、$C$的横坐标$1＞0$、$3＞0$，在第四象限，纵坐标为负。再比较第四象限内两点的横坐标，$1＜3$，结合第四象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_2＜y_3$，最后结合$y_1＞0$，即可得出三者大小关系。
【解析】
已知反比例函数为$y = -\dfrac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，根据反比例函数性质：
1. 图象分布：在第二、四象限；
2. 增减性：在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
分别判断三点所在象限：
点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，故在第二象限，因此$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，故在第四象限，因此$y_2＜0$，$y_3＜0$。
比较第四象限内两点的纵坐标：
因为在第四象限内$y$随$x$增大而增大，且$1＜3$，所以$y_2＜y_3$。
综上，三者大小关系为$y_2＜y_3＜y_1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，属于中考基础题型，需掌握$k$的正负对图象分布和增减性的影响，同时注意不同象限内函数值的正负差异，避免混淆增减性的适用范围。
【难度系数】
0.6
要比较反比例函数上点的纵坐标大小，需先明确反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。接下来，根据各点的横坐标判断所在象限，再结合象限和增减性比较纵坐标：点$A$的横坐标为$-3＜0$，在第二象限，纵坐标为正；点$B$、$C$的横坐标$1＞0$、$3＞0$，在第四象限，纵坐标为负。再比较第四象限内两点的横坐标，$1＜3$，结合第四象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_2＜y_3$，最后结合$y_1＞0$，即可得出三者大小关系。
【解析】
已知反比例函数为$y = -\dfrac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，根据反比例函数性质：
1. 图象分布：在第二、四象限；
2. 增减性：在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
分别判断三点所在象限：
点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，故在第二象限，因此$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，故在第四象限，因此$y_2＜0$，$y_3＜0$。
比较第四象限内两点的纵坐标：
因为在第四象限内$y$随$x$增大而增大，且$1＜3$，所以$y_2＜y_3$。
综上，三者大小关系为$y_2＜y_3＜y_1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，属于中考基础题型，需掌握$k$的正负对图象分布和增减性的影响，同时注意不同象限内函数值的正负差异，避免混淆增减性的适用范围。
【难度系数】
0.6
4. (2024·遂宁中考)若反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限,则点$(k,-3)$在第
四
象限.答案
四 解析:由题意可得 $k-1＞0$,则 $k＞1$,$\therefore$ 点 $(k,-3)$ 在第四象限.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，利用反比例函数图象所在象限与比例系数的关系，求出k的取值范围；第二步，根据点的横、纵坐标符号，判断该点所在的象限。
【解析】
因为反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质：当$y=\dfrac{a}{x}$的图象在第一、三象限时，比例系数$a＞0$，所以可得$k - 1 ＞ 0$，解得$k ＞ 1$。
对于点$(k, -3)$，由$k ＞ 1$可知，横坐标$k$为正数，纵坐标$-3$为负数。根据平面直角坐标系中点的象限判断规则：横坐标正、纵坐标负的点在第四象限，因此点$(k, -3)$在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题为中考基础题，主要考查反比例函数的性质和象限的判断，难度较低，掌握相关基础知识即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，利用反比例函数图象所在象限与比例系数的关系，求出k的取值范围；第二步，根据点的横、纵坐标符号，判断该点所在的象限。
【解析】
因为反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质：当$y=\dfrac{a}{x}$的图象在第一、三象限时，比例系数$a＞0$，所以可得$k - 1 ＞ 0$，解得$k ＞ 1$。
对于点$(k, -3)$，由$k ＞ 1$可知，横坐标$k$为正数，纵坐标$-3$为负数。根据平面直角坐标系中点的象限判断规则：横坐标正、纵坐标负的点在第四象限，因此点$(k, -3)$在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题为中考基础题，主要考查反比例函数的性质和象限的判断，难度较低，掌握相关基础知识即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知经过原点的直线与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k$为常数,$k＞0)$ 的图象交于 $A(2,m),B(n,-3)$两点,则 $mn$ 的值为
-6
.答案
-6 解析:$\because$ 反比例函数图象关于原点中心对称,$\therefore n=-2$,$m=3$,$\therefore mn=-6$.
解析
【分析】
题目中直线过原点，与反比例函数交于A、B两点，根据反比例函数的性质，其图象关于原点中心对称，因此过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称。关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m和n的值，进而计算mn。
【解析】
因为反比例函数$ y=\dfrac{k}{x}(k＞0) $的图象关于原点中心对称，且过原点的直线与该函数交于$ A(2,m) $、$ B(n,-3) $两点，所以A、B两点关于原点对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：若点$(a,b)$关于原点对称的点为$(-a,-b)$，则可得：
$ n = -2 $，$ m = 3 $。
因此$ mn = 3 × (-2) = -6 $。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的中心对称性及对称点的坐标性质，解题关键是利用反比例函数的中心对称性确定A、B两点的对称关系，进而求出m、n的值，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
题目中直线过原点，与反比例函数交于A、B两点，根据反比例函数的性质，其图象关于原点中心对称，因此过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称。关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m和n的值，进而计算mn。
【解析】
因为反比例函数$ y=\dfrac{k}{x}(k＞0) $的图象关于原点中心对称，且过原点的直线与该函数交于$ A(2,m) $、$ B(n,-3) $两点，所以A、B两点关于原点对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：若点$(a,b)$关于原点对称的点为$(-a,-b)$，则可得：
$ n = -2 $，$ m = 3 $。
因此$ mn = 3 × (-2) = -6 $。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的中心对称性及对称点的坐标性质，解题关键是利用反比例函数的中心对称性确定A、B两点的对称关系，进而求出m、n的值，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. (2025·河北中考改编) 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$中,若 $2＜y＜4$,则 $x$ 的取值范围是
1＜x＜2
;当$y＜1$ 时,$x$ 的取值范围是x＞4或x＜0
.答案
$1＜x＜2$ ；$x＞4$ 或 $x＜0$ 解析:当 $y=2$ 时,$x=2$;当 $y=4$ 时,$x=1$,$\therefore$ 若 $2＜y＜4$,则 $x$ 的取值范围是 $1＜x＜2$;当 $y=1$ 时,$x=4$,且当 $x＜0$ 时,$y＜0$,$\therefore$ 当 $y＜1$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＞4$ 或 $x＜0$.
解析
【分析】
要解决反比例函数中自变量的取值范围问题，需先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的性质：$k=4＞0$，图像在一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小。对于$2＜y＜4$，代入$y$的端点值求对应$x$，结合单调性确定范围；对于$y＜1$，代入$y=1$求$x$，同时注意第三象限内$x＜0$时$y$为负数，必然满足$y＜1$，需避免漏解。
【解析】
1. 求$2＜y＜4$时$x$的范围：
当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$；
因$k=4＞0$，第一象限内$y$随$x$增大而减小，故$2＜y＜4$时，$x$的范围是$1＜x＜2$。
2. 求$y＜1$时$x$的范围：
当$y=1$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$1=\frac{4}{x}$，解得$x=4$；
第一象限内$y$随$x$增大而减小，故$y＜1$时，$x＞4$；
第三象限内$x＜0$时，$y=\frac{4}{x}＜0$，满足$y＜1$，故$x＜0$也符合条件；
综上，$y＜1$时$x$的范围是$x＞4$或$x＜0$。
【答案】
$1＜x＜2$；$x＞4$或$x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是利用$k＞0$时函数在各象限的单调性求解自变量范围，需分象限讨论避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决反比例函数中自变量的取值范围问题，需先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的性质：$k=4＞0$，图像在一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小。对于$2＜y＜4$，代入$y$的端点值求对应$x$，结合单调性确定范围；对于$y＜1$，代入$y=1$求$x$，同时注意第三象限内$x＜0$时$y$为负数，必然满足$y＜1$，需避免漏解。
【解析】
1. 求$2＜y＜4$时$x$的范围：
当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$；
因$k=4＞0$，第一象限内$y$随$x$增大而减小，故$2＜y＜4$时，$x$的范围是$1＜x＜2$。
2. 求$y＜1$时$x$的范围：
当$y=1$时，代入$y=\frac{4}{x}$，得$1=\frac{4}{x}$，解得$x=4$；
第一象限内$y$随$x$增大而减小，故$y＜1$时，$x＞4$；
第三象限内$x＜0$时，$y=\frac{4}{x}＜0$，满足$y＜1$，故$x＜0$也符合条件；
综上，$y＜1$时$x$的范围是$x＞4$或$x＜0$。
【答案】
$1＜x＜2$；$x＞4$或$x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是利用$k＞0$时函数在各象限的单调性求解自变量范围，需分象限讨论避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
7. 如图是反比例函数$y=\dfrac{5-2m}{x}$的图象的一支.
(1)图象的另一支位于第
(2)若点$A(m-3,b_1)$和点$B(m-4,b_2)$是该反比例函数图象上的两点,请判断点$A,B$所在象限及$b_1$与$b_2$的大小,并说明判断理由.
(1)图象的另一支位于第
三
象限,$m$的取值范围是$m＜\dfrac{5}{2}$
.(2)若点$A(m-3,b_1)$和点$B(m-4,b_2)$是该反比例函数图象上的两点,请判断点$A,B$所在象限及$b_1$与$b_2$的大小,并说明判断理由.
答案
(1)三 $m＜\dfrac{5}{2}$ 解析:由反比例函数的性质可得另一支位于第三象限.$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{5-2m}{x}$ 的图象的一支在第一象限,$\therefore 5-2m＞0$,解得 $m＜\dfrac{5}{2}$.
(2)点$A$,$B$都在第三象限,$b_1＜b_2$.理由如下:由(1)知,$m＜\dfrac{5}{2}$,$\therefore m-3＜-\dfrac{1}{2}$,$m-4＜-\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $A(m-3,b_1)$ 和点 $B(m-4,b_2)$都在第三象限的图象上.$\because$ 在第三象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,且 $m-3＞m-4$,$\therefore b_1＜b_2$.
(2)点$A$,$B$都在第三象限,$b_1＜b_2$.理由如下:由(1)知,$m＜\dfrac{5}{2}$,$\therefore m-3＜-\dfrac{1}{2}$,$m-4＜-\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $A(m-3,b_1)$ 和点 $B(m-4,b_2)$都在第三象限的图象上.$\because$ 在第三象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,且 $m-3＞m-4$,$\therefore b_1＜b_2$.
解析
【分析】
首先，根据反比例函数的图像性质：当比例系数$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，结合已知图像的一支在第一象限，可确定另一支所在象限，同时由$k＞0$求解$m$的范围；对于第二问，先根据$m$的范围判断点$A、B$横坐标的正负，确定所在象限，再利用反比例函数在该象限内的单调性比较函数值大小。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图像是双曲线，当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。已知该函数图像的一支在第一象限，因此另一支位于第三象限。
因为反比例函数$y=\dfrac{5-2m}{x}$的图像在第一象限，所以比例系数$5-2m＞0$，解不等式：
$5-2m＞0$，移项得$-2m＞-5$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$m＜\dfrac{5}{2}$。
(2) 由(1)知$m＜\dfrac{5}{2}$，则：
$m-3＜\dfrac{5}{2}-3=-\dfrac{1}{2}＜0$，
$m-4＜\dfrac{5}{2}-4=-\dfrac{3}{2}＜0$，
所以点$A(m-3,b_1)$和点$B(m-4,b_2)$的横坐标均为负数，因此点$A、B$都在第三象限。
又因为该反比例函数的比例系数$5-2m＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
由于$m-3＞m-4$（不等式两边同时加$m$，不等号方向不变），所以对应的函数值$b_1＜b_2$。
【答案】
(1) 三；$m＜\dfrac{5}{2}$
(2) 点$A、B$都在第三象限，$b_1＜b_2$，理由见解析。
【知识点】
反比例函数图像；反比例函数单调性
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是掌握比例系数与图像象限的关系，以及同一象限内函数的增减性，属于基础应用题型，需熟练掌握相关性质即可解答。
【难度系数】
0.3
首先，根据反比例函数的图像性质：当比例系数$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，结合已知图像的一支在第一象限，可确定另一支所在象限，同时由$k＞0$求解$m$的范围；对于第二问，先根据$m$的范围判断点$A、B$横坐标的正负，确定所在象限，再利用反比例函数在该象限内的单调性比较函数值大小。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图像是双曲线，当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。已知该函数图像的一支在第一象限，因此另一支位于第三象限。
因为反比例函数$y=\dfrac{5-2m}{x}$的图像在第一象限，所以比例系数$5-2m＞0$，解不等式：
$5-2m＞0$，移项得$-2m＞-5$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$m＜\dfrac{5}{2}$。
(2) 由(1)知$m＜\dfrac{5}{2}$，则：
$m-3＜\dfrac{5}{2}-3=-\dfrac{1}{2}＜0$，
$m-4＜\dfrac{5}{2}-4=-\dfrac{3}{2}＜0$，
所以点$A(m-3,b_1)$和点$B(m-4,b_2)$的横坐标均为负数，因此点$A、B$都在第三象限。
又因为该反比例函数的比例系数$5-2m＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
由于$m-3＞m-4$（不等式两边同时加$m$，不等号方向不变），所以对应的函数值$b_1＜b_2$。
【答案】
(1) 三；$m＜\dfrac{5}{2}$
(2) 点$A、B$都在第三象限，$b_1＜b_2$，理由见解析。
【知识点】
反比例函数图像；反比例函数单调性
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是掌握比例系数与图像象限的关系，以及同一象限内函数的增减性，属于基础应用题型，需熟练掌握相关性质即可解答。
【难度系数】
0.3
8. (2025·杭州校级月考)已知$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$为反比例函数$y=-\dfrac{k^{2}+1}{x}$图象上的两个不同的点,且$x_{1}x_{2}＞0$,则$\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$的值为（
A.0
B.正数
C.负数
D.正数或负数
B
）A.0
B.正数
C.负数
D.正数或负数
答案
B 解析:$\because k^2+1＞0$,$\therefore -(k^2+1)＜0$,$\therefore$ 反比例函数 $y=-\dfrac{k^2+1}{x}$的图象位于第二、四象限,在第二、四象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,又$\because x_1x_2＞0$,即 $x_1$ 与 $x_2$ 同号,当 $x_1＜x_2＜0$ 时,$y_2＞y_1＞0$,此时 $x_2-x_1＞0$,$y_2-y_1＞0$,$\therefore \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}＞0$;当 $x_2＜x_1＜0$ 时,$y_1＞y_2＞0$,此时 $x_2-x_1＜0$,$y_2-y_1＜0$,$\therefore \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}＞0$;同理,当 $0＜x_1＜x_2$ 与 $0＜x_2＜x_1$ 时,仍有 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}＞0$.综上所述,$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 的值恒为正数.故选 B.
解析
【分析】
首先确定反比例函数的比例系数符号，判断函数所在象限及同一象限内的增减性；再根据$x_1x_2＞0$得出两点在同一象限，分情况讨论两点的横坐标大小关系，结合函数增减性得到纵坐标的变化，最终分析分式$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$的符号，即可得出结论。
【解析】
1. 分析反比例函数性质：
因为$k^2≥0$，所以$k^2+1＞0$，则反比例函数$y=-\frac{k^2+1}{x}$的比例系数为$-(k^2+1)＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 判断两点所在象限：
由$x_1x_2＞0$可知，$x_1$与$x_2$同号，故两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$要么都在第二象限，要么都在第四象限，属于同一象限。
3. 分情况讨论分式符号：
若两点在第二象限（$x_1＜x_2＜0$）：因同一象限内$y$随$x$增大而增大，故$y_2＞y_1$，即$y_2 - y_1＞0$；又$x_2 - x_1＞0$，则$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}＞0$。
若两点在第二象限（$x_2＜x_1＜0$）：同理，$y_1＞y_2$，即$y_2 - y_1＜0$；而$x_2 - x_1＜0$，则$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{负数}{负数}=正数$。
若两点在第四象限（$0＜x_1＜x_2$）：$y_2＞y_1$，$y_2 - y_1＞0$，$x_2 - x_1＞0$，分式值为正数。
若两点在第四象限（$0＜x_2＜x_1$）：$y_1＞y_2$，$y_2 - y_1＜0$，$x_2 - x_1＜0$，分式值仍为正数。
综上，$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$的值恒为正数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；分式的符号判断
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是利用比例系数确定函数的象限分布和增减性，结合两点横坐标同号的条件分析分式符号，属于中等难度的基础题型，需熟练掌握反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.6
首先确定反比例函数的比例系数符号，判断函数所在象限及同一象限内的增减性；再根据$x_1x_2＞0$得出两点在同一象限，分情况讨论两点的横坐标大小关系，结合函数增减性得到纵坐标的变化，最终分析分式$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$的符号，即可得出结论。
【解析】
1. 分析反比例函数性质：
因为$k^2≥0$，所以$k^2+1＞0$，则反比例函数$y=-\frac{k^2+1}{x}$的比例系数为$-(k^2+1)＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 判断两点所在象限：
由$x_1x_2＞0$可知，$x_1$与$x_2$同号，故两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$要么都在第二象限，要么都在第四象限，属于同一象限。
3. 分情况讨论分式符号：
若两点在第二象限（$x_1＜x_2＜0$）：因同一象限内$y$随$x$增大而增大，故$y_2＞y_1$，即$y_2 - y_1＞0$；又$x_2 - x_1＞0$，则$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}＞0$。
若两点在第二象限（$x_2＜x_1＜0$）：同理，$y_1＞y_2$，即$y_2 - y_1＜0$；而$x_2 - x_1＜0$，则$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{负数}{负数}=正数$。
若两点在第四象限（$0＜x_1＜x_2$）：$y_2＞y_1$，$y_2 - y_1＞0$，$x_2 - x_1＞0$，分式值为正数。
若两点在第四象限（$0＜x_2＜x_1$）：$y_1＞y_2$，$y_2 - y_1＜0$，$x_2 - x_1＜0$，分式值仍为正数。
综上，$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$的值恒为正数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；分式的符号判断
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是利用比例系数确定函数的象限分布和增减性，结合两点横坐标同号的条件分析分式符号，属于中等难度的基础题型，需熟练掌握反比例函数的核心性质。
【难度系数】
0.6
9. (2024·大庆中考)在同一平面直角坐标系中，
函数 $y=kx-k(k ≠ 0)$ 与 $y=\dfrac{k}{|x|}$ 的大致图象为
（
函数 $y=kx-k(k ≠ 0)$ 与 $y=\dfrac{k}{|x|}$ 的大致图象为
（
C
）答案
C 解析:①当 $k＞0$ 时,一次函数 $y=kx-k(k ≠ 0)$ 的图象经过第一、三、四象限.对于函数 $y=\dfrac{k}{|x|}$,当 $x＞0$ 时,函数为 $y=\dfrac{k}{x}$,图象经过第一象限,当 $x＜0$ 时,函数为 $y=-\dfrac{k}{x}$,图象经过第二象限,故当 $k＞0$ 时,函数 $y=\dfrac{k}{|x|}$ 的图象经过第一、二象限,C选项符合.②当 $k＜0$ 时,一次函数 $y=kx-k(k ≠ 0)$ 的图象经过第一、二、四象限.对于函数 $y=\dfrac{k}{|x|}$,当 $x＞0$ 时,函数为 $y=\dfrac{k}{x}$,图象经过第四象限,当 $x＜0$ 时,函数为 $y=-\dfrac{k}{x}$,图象经过第三象限,故当 $k＜0$ 时,函数 $y=\dfrac{k}{|x|}$ 的图象经过第三、四象限,没有满足的选项.故选 C.
解析
【分析】
要判断一次函数与含绝对值的反比例函数的图象，需分k＞0和k＜0两种情况讨论：先根据一次函数的斜率和截距确定其所在象限，再将含绝对值的反比例函数转化为分段的反比例函数，结合k的符号确定其所在象限，最后匹配选项。
【解析】
分两种情况分析：
① 当k＞0时：
一次函数y=kx-k：斜率k＞0，截距为-k＜0，因此图象经过第一、三、四象限；
函数y=k/|x|：当x＞0时，y=k/x，k＞0，图象在第一象限；当x＜0时，y=k/(-x)，k＞0，-x＞0，故y＞0，图象在第二象限，即该函数图象经过第一、二象限；
此时观察选项，C选项中一次函数过第一、三、四象限，反比例函数过第一、二象限，符合该情况。
② 当k＜0时：
一次函数y=kx-k：斜率k＜0，截距为-k＞0，因此图象经过第一、二、四象限；
函数y=k/|x|：当x＞0时，y=k/x，k＜0，图象在第四象限；当x＜0时，y=k/(-x)，k＜0，-x＞0，故y＜0，图象在第三象限，即该函数图象经过第三、四象限；
此时无选项符合该情况。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象、反比例函数图象、含绝对值的函数
【点评】
本题综合考查一次函数与含绝对值的反比例函数的图象性质，需通过分类讨论k的正负性，分别分析两个函数的图象特征，再匹配选项，体现了函数图象的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
要判断一次函数与含绝对值的反比例函数的图象，需分k＞0和k＜0两种情况讨论：先根据一次函数的斜率和截距确定其所在象限，再将含绝对值的反比例函数转化为分段的反比例函数，结合k的符号确定其所在象限，最后匹配选项。
【解析】
分两种情况分析：
① 当k＞0时：
一次函数y=kx-k：斜率k＞0，截距为-k＜0，因此图象经过第一、三、四象限；
函数y=k/|x|：当x＞0时，y=k/x，k＞0，图象在第一象限；当x＜0时，y=k/(-x)，k＞0，-x＞0，故y＞0，图象在第二象限，即该函数图象经过第一、二象限；
此时观察选项，C选项中一次函数过第一、三、四象限，反比例函数过第一、二象限，符合该情况。
② 当k＜0时：
一次函数y=kx-k：斜率k＜0，截距为-k＞0，因此图象经过第一、二、四象限；
函数y=k/|x|：当x＞0时，y=k/x，k＜0，图象在第四象限；当x＜0时，y=k/(-x)，k＜0，-x＞0，故y＜0，图象在第三象限，即该函数图象经过第三、四象限；
此时无选项符合该情况。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象、反比例函数图象、含绝对值的函数
【点评】
本题综合考查一次函数与含绝对值的反比例函数的图象性质，需通过分类讨论k的正负性，分别分析两个函数的图象特征，再匹配选项，体现了函数图象的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
10. (1) (2025·镇江中考) 已知点 $A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，若$y_2＞y_1$，则 $a$ 的取值范围是
(2) (武汉中考) 已知点 $A(a,y_1),B(a+1,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{m^2+1}{x}$（$m$ 是常数）的图象上，且$y_1＜y_2$，则 $a$ 的取值范围是
a＜-1或a＞0
；(2) (武汉中考) 已知点 $A(a,y_1),B(a+1,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{m^2+1}{x}$（$m$ 是常数）的图象上，且$y_1＜y_2$，则 $a$ 的取值范围是
-1＜a＜0
.答案
(1)$a＜-1$ 或 $a＞0$ 解析:$\because$ 点 $A(-1,y_1)$,$B(a,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上,$\therefore y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$,$y_2=\dfrac{1}{a}$.$\because y_2＞y_1$,$\therefore \dfrac{1}{a}＞-1$,$\therefore$ 当 $a＞0$ 时,解得 $a＞-1$,$\therefore a＞0$;当 $a＜0$ 时,解得 $a＜-1$.综上所述,$a$ 的取值范围是 $a＜-1$ 或 $a＞0$.
(2)$-1＜a＜0$ 解析:$\because k=m^2+1＞0$,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{m^2+1}{x}$($m$ 是常数)的图象在第一、三象限,在第一、三象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.①当 $A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$ 在同一象限时,$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＞a+1$,此时不等式无解;②当点 $A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$ 在不同象限时,$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＜0$,$a+1＞0$,解得 $-1＜a＜0$.
(2)$-1＜a＜0$ 解析:$\because k=m^2+1＞0$,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{m^2+1}{x}$($m$ 是常数)的图象在第一、三象限,在第一、三象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.①当 $A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$ 在同一象限时,$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＞a+1$,此时不等式无解;②当点 $A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$ 在不同象限时,$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＜0$,$a+1＞0$,解得 $-1＜a＜0$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的性质应用，解题思路为：先确定反比例函数的比例系数$k$的正负，判断图像所在象限及增减性；再针对每一问，结合点的坐标代入函数表达式，根据$y$的大小关系分情况讨论点所在象限，列出不等式求解，同时注意排除使反比例函数无意义的情况（分母不为0）。
【解析】
(1) 求$a$的取值范围
已知点$A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，
则$y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$，$y_2=\dfrac{1}{a}$（$a≠0$，分母不为0）。
由$y_2＞y_1$得$\dfrac{1}{a}＞-1$，分两种情况讨论：
当$a＞0$时，不等式两边同乘正数$a$，不等号方向不变，得$1＞-a$，解得$a＞-1$，结合前提$a＞0$，得$a＞0$；
当$a＜0$时，不等式两边同乘负数$a$，不等号方向改变，得$1＜-a$，解得$a＜-1$，结合前提$a＜0$，得$a＜-1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$。
(2) 求$a$的取值范围
反比例函数$y=\dfrac{m^2+1}{x}$中，$k=m^2+1$，因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+1＞0$，其图象在第一、三象限，且每个象限内$y$随$x$增大而减小。
已知$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$，分两种情况讨论：
若两点在同一象限：由$y_1＜y_2$，结合$y$随$x$增大而减小，得$a＞a+1$，即$0＞1$，此不等式无解；
若两点在不同象限：因$k＞0$，第三象限$x＜0$、第一象限$x＞0$，故$A$在第三象限、$B$在第一象限，即$\begin{cases}a＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$，解得$-1＜a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$a＜-1$或$a＞0$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
反比例函数的性质，不等式的应用
【点评】
本题为中考常规题型，核心考查反比例函数的图像与性质，需分情况讨论点所在象限，避免漏解，需注意反比例函数在不同象限的增减性差异，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题考查反比例函数的性质应用，解题思路为：先确定反比例函数的比例系数$k$的正负，判断图像所在象限及增减性；再针对每一问，结合点的坐标代入函数表达式，根据$y$的大小关系分情况讨论点所在象限，列出不等式求解，同时注意排除使反比例函数无意义的情况（分母不为0）。
【解析】
(1) 求$a$的取值范围
已知点$A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，
则$y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$，$y_2=\dfrac{1}{a}$（$a≠0$，分母不为0）。
由$y_2＞y_1$得$\dfrac{1}{a}＞-1$，分两种情况讨论：
当$a＞0$时，不等式两边同乘正数$a$，不等号方向不变，得$1＞-a$，解得$a＞-1$，结合前提$a＞0$，得$a＞0$；
当$a＜0$时，不等式两边同乘负数$a$，不等号方向改变，得$1＜-a$，解得$a＜-1$，结合前提$a＜0$，得$a＜-1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$。
(2) 求$a$的取值范围
反比例函数$y=\dfrac{m^2+1}{x}$中，$k=m^2+1$，因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+1＞0$，其图象在第一、三象限，且每个象限内$y$随$x$增大而减小。
已知$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$，分两种情况讨论：
若两点在同一象限：由$y_1＜y_2$，结合$y$随$x$增大而减小，得$a＞a+1$，即$0＞1$，此不等式无解；
若两点在不同象限：因$k＞0$，第三象限$x＜0$、第一象限$x＞0$，故$A$在第三象限、$B$在第一象限，即$\begin{cases}a＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$，解得$-1＜a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)$a＜-1$或$a＞0$；(2)$-1＜a＜0$
【知识点】
反比例函数的性质，不等式的应用
【点评】
本题为中考常规题型，核心考查反比例函数的图像与性质，需分情况讨论点所在象限，避免漏解，需注意反比例函数在不同象限的增减性差异，难度适中。
【难度系数】
0.5
