11. 设 $A,B,C,D$ 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形 $ABCD$ 可以是平行四边形;
②四边形 $ABCD$ 可以是菱形;
③四边形 $ABCD$ 不可能是矩形;
④四边形 $ABCD$ 不可能是正方形.
其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

①④ 解析:如图,过点 $O$ 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 $A$,$C$,$B$,$D$,得到四边形 $ABCD$.由对称性可知,$OA=OC$,$OB=OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.当 $OA=OC=OB=OD$ 时,四边形 $ABCD$ 是矩形.$\because$ 反比例函数的图象在第一、三象限,$\therefore$ 直线 $AC$ 与直线 $BD$ 不可能垂直.同理,反比例函数的图象在第二、四象限时,直线 $AC$ 与直线 $BD$ 也不可能垂直,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 不可能是菱形或正方形.故结论①④正确.

【分析】
要判断四边形ABCD的形状，需利用反比例函数的中心对称性，结合特殊四边形的判定定理分析：反比例函数图象关于原点中心对称，过原点作两条直线与双曲线相交，可得到OA=OC、OB=OD，由此先判断四边形的基础形状，再结合特殊四边形的对角线性质进一步分析。
【解析】
1. 分析结论①：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象关于原点$O$中心对称，过点$O$作任意两条直线，分别交反比例函数图象于$A,C$和$B,D$，则$OA=OC$，$OB=OD$。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABCD$是平行四边形，故①正确。
2. 分析结论②：
菱形的判定条件是“平行四边形的对角线互相垂直”。若四边形$ABCD$是菱形，则需$AC⊥ BD$。但反比例函数的图象在一、三象限（或二、四象限），不存在两条过原点且互相垂直的直线与双曲线相交，因此$AC$与$BD$不可能垂直，四边形$ABCD$不可能是菱形，故②错误。
3. 分析结论③：
矩形的判定条件是“平行四边形的对角线相等”。当$OA=OB$时，$AC=2OA$，$BD=2OB$，则$AC=BD$，此时平行四边形$ABCD$是矩形，故③错误。
4. 分析结论④：
正方形需要同时满足“对角线相等且垂直”，结合上述分析，四边形$ABCD$不可能是菱形（即对角线无法垂直），因此不可能是正方形，故④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形判定、特殊四边形判定
【点评】
本题结合反比例函数的中心对称性，考查特殊四边形的判定，需熟练掌握反比例函数的图象性质和各类特殊四边形的判定条件，逻辑分析要求较高，是一道综合性较强的题目。
【难度系数】
0.5

12. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(3,5)$与点$C$关于原点$O$对称,分别过点$A,C$作$y$轴的平行线,与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(0＜k＜15)$的图象交于点$B,D$,连接$AD,BC,AD$与$x$轴交于点$E(-2,0)$.
(1)求直线$AD$对应的函数表达式;
(2)求$k$的值;
(3)直接写出阴影部分图形的面积之和.

(1)设直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=ax+b$.$\because$ 直线 $AD$ 过点 $A(3,5)$,$E(-2,0)$,$\therefore \begin{cases} 3a+b=5,\\ -2a+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=1,\\ b=2, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AD$ 对应的函数表达式为 $y=x+2$.
(2)$\because$ 点 $A(3,5)$ 关于原点 $O$ 的对称点为点 $C$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(-3,-5)$.$\because CD// y$ 轴,$\therefore$ 设点 $D$ 的坐标为 $(-3,a)$,$\therefore a=-3+2=-1$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(-3,-1)$.$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $D$,$\therefore k=-3×(-1)=3$.
(3)12 解析:设 $AD$,$BC$ 分别与 $y$ 轴交于点 $G$,$F$.$\because$ 点 $A$ 和点 $C$ 关于原点对称,$\therefore$ 阴影部分的面积等于平行四边形 $CDGF$ 的面积,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=4× 3=12$.

【分析】
第(1)问，求直线AD的函数表达式，已知直线上两点A(3,5)和E(-2,0)，采用待定系数法，设表达式为y=ax+b，代入两点坐标解方程组即可求出a、b的值；第(2)问，先利用关于原点对称的点的坐标特征得到点C的坐标，再结合CD平行y轴的特点，求出点D的横坐标，将横坐标代入直线AD的表达式得点D的纵坐标，最后把点D坐标代入反比例函数解析式求出k；第(3)问，利用中心对称的性质，将阴影部分面积转化为平行四边形的面积，进而计算结果。
【解析】
(1) 设直线AD对应的函数表达式为$y=ax+b$。
∵直线AD过点$A(3,5)$和$E(-2,0)$，
∴$\begin{cases}3a + b = 5 \\ -2a + b = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=1 \\ b=2\end{cases}$，
∴直线AD的函数表达式为$y=x+2$。
(2)
∵点$A(3,5)$与点$C$关于原点$O$对称，
∴点$C$的坐标为$(-3,-5)$。
∵$CD// y$轴，
∴点$D$的横坐标为$-3$，
又
∵点$D$在直线$AD$上，将$x=-3$代入$y=x+2$，得$y=-3+2=-1$，
∴点$D$的坐标为$(-3,-1)$。
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$D(-3,-1)$，
∴$k=(-3)×(-1)=3$。
(3) 设$AD$与$y$轴交于点$G$，$BC$与$y$轴交于点$F$。
∵点$A$和点$C$关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形$CDGF$的面积，
平行四边形的底为$3$，高为$4$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=3×4=12$。
【答案】
(1)$y=x+2$；(2)$k=3$；(3)$12$
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数性质、中心对称与图形面积
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数及中心对称的应用，需熟练运用待定系数法求函数表达式，结合坐标特征分析点的位置，利用对称性转化面积，考查学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6

13. 设函数 $y_{1}=\dfrac{k}{x},y_{2}=\dfrac{k+2}{x}(k ≠ 0,$ $k ≠ -2)$ ,当 $1 ≤ x ≤ 4$ 时,函数 $y_{1}$ 的最大值为 $m$, 函数 $y_{2}$ 的最小值为 $m-4$,则 $m+k$ 的值为.
第1章
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12 或 -10 解析:①当 $k＞0$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$,$y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 的图象在第一、三象限,根据题意,当 $x=1$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$ 有最大值 $m$,当 $x=4$ 时,函数 $y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 有最小值 $m-4$,$\therefore \begin{cases} k=m,\\ \dfrac{k+2}{4}=m-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=6,\\ k=6, \end{cases}$ 则 $m+k=12$.
②当 $k＜-2$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$,$y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 的图象在第二、四象限,根据题意,当 $x=4$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$ 有最大值 $m$,当 $x=1$ 时,函数 $y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 有最小值 $m-4$,$\therefore \begin{cases} \dfrac{k}{4}=m,\\ k+2=m-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2,\\ k=-8, \end{cases}$ 则 $m+k=-10$.
③当 $-2＜k＜0$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$ 的图象在第二、四象限,函数 $y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 的图象在第一、三象限,根据题意,当 $x=4$ 时,函数 $y_1=\dfrac{k}{x}$ 有最大值 $m$,当 $x=4$ 时,函数 $y_2=\dfrac{k+2}{x}$ 有最小值 $m-4$,$\therefore \begin{cases} \dfrac{k}{4}=m,\\ \dfrac{k+2}{4}=m-4, \end{cases}$ 无解,不符合题意.故 $m+k$ 的值为 12 或 -10.

【分析】
要解决这道题，需利用反比例函数的单调性分析最值：反比例函数$y=\frac{a}{x}$，当$a＞0$时，在$x＞0$区间内$y$随$x$增大而减小；当$a＜0$时，在$x＞0$区间内$y$随$x$增大而增大。由于$y_1=\frac{k}{x}$和$y_2=\frac{k+2}{x}$的$k$符号不同时，函数所在象限和单调性不同，因此需分三种情况讨论$k$的取值范围（$k＞0$、$-2＜k＜0$、$k＜-2$），结合题目中“$y_1$最大值为$m$，$y_2$最小值为$m-4$”的条件列方程，求解后计算$m+k$的值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
$y_1=\frac{k}{x}$和$y_2=\frac{k+2}{x}$均在第一、三象限，在$1≤x≤4$（$x＞0$）区间内，$y$随$x$增大而减小。
$y_1$的最大值$m$在$x=1$时取得：$m=\frac{k}{1}=k$；
$y_2$的最小值在$x=4$时取得：$m-4=\frac{k+2}{4}$；
将$m=k$代入第二个方程：$k-4=\frac{k+2}{4}$，两边乘4得$4k-16=k+2$，解得$k=6$，则$m=6$，$m+k=6+6=12$。
2. 当$k＜-2$时：
$k＜0$且$k+2＜0$，故$y_1$和$y_2$均在第二、四象限，在$1≤x≤4$（$x＞0$）区间内，$y$随$x$增大而增大。
$y_1$的最大值$m$在$x=4$时取得：$m=\frac{k}{4}$；
$y_2$的最小值在$x=1$时取得：$m-4=\frac{k+2}{1}=k+2$；
将$m=\frac{k}{4}$代入第二个方程：$\frac{k}{4}-4=k+2$，两边乘4得$k-16=4k+8$，解得$k=-8$，则$m=\frac{-8}{4}=-2$，$m+k=-8+(-2)=-10$。
3. 当$-2＜k＜0$时：
$k＜0$，$k+2＞0$，故$y_1$在第二、四象限，$y_2$在第一、三象限。
$y_1$在$1≤x≤4$的最大值$m=\frac{k}{4}$（$x=4$时，$y$随$x$增大而增大）；
$y_2$在$1≤x≤4$的最小值$m-4=\frac{k+2}{4}$（$x=4$时，$y$随$x$增大而减小）；
联立方程得$\frac{k}{4}-4=\frac{k+2}{4}$，化简后矛盾，无解，不符合题意，舍去。
综上，$m+k$的值为12或-10。
【答案】
12或-10
【知识点】
反比例函数的性质，函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数性质的综合应用，核心是利用反比例函数在不同象限的单调性分析最值，需通过分类讨论$k$的取值范围避免漏解，考查学生的逻辑分析能力和分类思想，是中考常见的中档题型。
【难度系数】
0.4

14. (2026·达州期末)参照学习函数的过程与方法,探究函数$y=\dfrac{x-2}{x}(x ≠ 0)$的图象与性质.
因为$y=\dfrac{x-2}{x}=1-\dfrac{2}{x}$,即$y=-\dfrac{2}{x}+1$,所以我们对比函数$y=-\dfrac{2}{x}$来探究.列表如下:

描点:在平面直角坐标系中,描出函数$y=\dfrac{x-2}{x}$相应的点,如图所示.
(1)请把$y$轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来.
(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:
①当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;(填“增大”或“减小”)
②$y=\dfrac{x-2}{x}$的图象是由$y=-\dfrac{2}{x}$的图象向平移个单位而得到的;
③图象关于点中心对称.(填点的坐标)
(3)设$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$是函数$y=\dfrac{x-2}{x}$的图象上的两点,且$x_1+x_2=0$,试求$y_1+y_2+3$的值.

4 星学霸 005

(1)函数图象如图所示.

(2)①增大 ②上 1 ③$(0,1)$
解析:由图象可得,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,且函数 $y=\dfrac{x-2}{x}$ 的中心坐标为 $(0,1)$,$\therefore$ 其是由 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象向上平移 1 个单位而得到的,图象关于点 $(0,1)$ 中心对称.
(3)$\because x_1+x_2=0$,$\therefore x_1=-x_2$,$\therefore A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 关于点 $(0,1)$ 对称,$\therefore y_1+y_2=2$,$\therefore y_1+y_2+3=5$.

【分析】
首先将函数$y=\dfrac{x-2}{x}$变形为$y=-\dfrac{2}{x}+1$，转化为熟悉的反比例函数形式，结合反比例函数的性质探究新函数的图像与性质：(1)根据已描点，分别连接y轴左右两侧的点得到函数图像；(2)通过观察图像分析增减性、平移规律、对称中心；(3)利用$x_1+x_2=0$得出两点关于对称中心对称，进而计算$y_1+y_2$的值。
【解析】
(1) 描点连线：根据图中给出的函数对应点，将y轴左侧（$x＜0$）的点用光滑曲线顺次连接，y轴右侧（$x＞0$）的点用光滑曲线顺次连接，得到函数图像（与题目所给图像一致）。
(2) ①观察图像，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；②函数$y=\dfrac{x-2}{x}=1-\dfrac{2}{x}$，对比$y=-\dfrac{2}{x}$，可知其图像是由$y=-\dfrac{2}{x}$的图像向上平移1个单位得到；③反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向上平移1个单位后，对称中心变为$(0,1)$，故该函数图像关于点$(0,1)$中心对称。
(3) 已知$x_1+x_2=0$，则$x_2=-x_1$。因为函数图像关于点$(0,1)$中心对称，所以点$A(x_1,y_1)$与$B(x_2,y_2)$关于$(0,1)$对称，因此$\dfrac{y_1+y_2}{2}=1$，即$y_1+y_2=2$，所以$y_1+y_2+3=2+3=5$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示；(2) ①增大；②上，1；③$(0,1)$；(3) $5$
【知识点】
反比例函数的图像与性质，函数图像的平移，中心对称
【点评】
本题通过变形将陌生函数转化为熟悉的反比例函数，利用数形结合思想探究函数的图像与性质，考查了函数平移、增减性、中心对称等核心知识点，解题关键是合理转化函数形式，借助反比例函数性质推导新函数的性质。
【难度系数】
0.5