一、填空题
1. 下列各式能用平方差公式计算的是 （）

A.$(2a+b)(2b-a)$
B.$(-m-n)(-m+n)$
C.$(x+1)(-x-1)$
D.$(3x-y)(-3x+y)$

B

平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，适用条件是两个相乘的多项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。逐一判断：A选项不存在完全相同的项，不符合要求；B选项相同项为$-m$，互为相反数的项为$-n$和$n$，符合平方差公式的适用条件；C、D选项所有对应项都互为相反数，没有完全相同的项，不符合要求。因此只有B可以用平方差公式计算。

2. 若$x^2 + 2(m - 3)x + 16$是完全平方式，则$m$的值是（）

A.$-5$或$1$
B.$7$
C.$-1$
D.$7$或$-1$

D

根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知多项式$x^2 + 2(m - 3)x + 16$是完全平方式，可对应为$x^2\pm2· x·4 +4^2$，因此中间项系数满足$2(m-3)=\pm8$。
当$2(m-3)=8$时，解得$m=7$；
当$2(m-3)=-8$时，解得$m=-1$。
即$m$的值为7或-1。

3. 任意两个奇数的平方差总能 （）

A.被3整除
B.被5整除
C.被6整除
D.被8整除

D

设两个奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m,n$均为整数），对两数的平方差因式分解：
$\begin{aligned}(2m+1)^2-(2n+1)^2&=(2m+1-2n-1)(2m+1+2n+1)\\&=2(m-n)·2(m+n+1)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
若$m,n$同奇偶，则$m-n$是偶数，含因数2；若$m,n$奇偶性不同，则$m+n+1$是偶数，含因数2。因此乘积$(m-n)(m+n+1)$一定是2的倍数，原式整体为$4×2× k=8k$（$k$为整数），即结果是8的倍数。
举例验证：取奇数3和1，平方差为$9-1=8$，8不能被3、5、6整除，排除ABC选项。

4. 下列各式计算正确的共有（）
（1）若$a^{m}=3,a^{n}=7$，则$a^{m+n}=21$；（2）$(-0.125)^{2024}×8^{2025}=8$；
（3）$(2a^{2}b - ab)÷ab = 2a$；（4）$(-2a)^{3}=8a^{3}$；（5）$(x - 3)(2x + 1)=2x^{2}-7x - 3$。
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

A

我们逐个判断5个式子的正误：
1. 式子(1)：根据同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，代入$a^m=3$，$a^n=7$，可得$a^{m+n}=3×7=21$，计算正确。
2. 式子(2)：根据积的乘方逆运算变形，$(-0.125)^{2024}×8^{2025}=(-0.125)^{2024}×8^{2024}×8=(-0.125×8)^{2024}×8=(-1)^{2024}×8=8$，计算正确。
3. 式子(3)：根据多项式除以单项式法则计算，原式$=2a^2b÷ ab - ab÷ ab=2a -1$，不等于$2a$，计算错误。
4. 式子(4)：根据积的乘方法则计算，$(-2a)^3=(-2)^3 · a^3=-8a^3$，不等于$8a^3$，计算错误。
5. 式子(5)：根据多项式乘多项式法则展开，$(x-3)(2x+1)=2x^2+x-6x-3=2x^2-5x-3$，不等于$2x^2-7x-3$，计算错误。
综上，计算正确的式子共有2个。

5. 若$(x+a)(x+b)=x^2+4x+3$，则$a+b$的值为________.

4

先根据多项式乘多项式的运算法则将等式左边展开：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2+4x+3$，相等的多项式对应项的系数相等，等式右边的一次项系数为4，因此可得$a+b=4$。

6. 已知$a^2 - 3a + 1 = 0$，则代数式$(a + 1)(2a - 8)$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$-10$

先展开并化简待求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(2a-8)&=2a^2 -8a +2a -8\\&=2a^2 -6a -8\end{aligned}$
由已知$a^2 - 3a +1 =0$，移项可得$a^2 -3a = -1$。
将化简后的代数式变形为含$a^2-3a$的形式：$2a^2 -6a -8=2(a^2 -3a)-8$，把$a^2 -3a=-1$代入计算：
$2×(-1) -8 = -2 -8 = -10$

7. 如图为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如$(a+b)^n$（其中$n$为正整数）展开式的系数,例如:
$(a+b)=a+b,(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$,那么$(a+b)^4$展开式中所有项的系数之和为________.

16

根据杨辉三角的规律，除首尾的数字为1外，其余每个数字都等于它上方相邻两个数字的和。
已知$(a+b)^3$的各项系数为1、3、3、1，由此推出$(a+b)^4$的各项系数依次为：1，$1+3=4$，$3+3=6$，$3+1=4$，1，即系数为1、4、6、4、1。
将所有系数相加：$1+4+6+4+1=16$。
也可通过代入特殊值验证：令$a=1,b=1$，直接计算得$(1+1)^4=2^4=16$，即展开式所有项的系数和为16。

8. 如图,现有甲、乙、丙三种不同的纸片.贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,她先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,则她还需取丙纸片的块数为.

4

首先分别计算三种纸片的单块面积：
1. 甲是边长为$a$的正方形，单块面积为$a^2$；
2. 乙是边长为$b$的正方形，单块面积为$b^2$；
3. 丙是长为$a$、宽为$b$的长方形，单块面积为$ab$。
已知取1块甲、4块乙，现有纸片的总面积为：$1× a^2 + 4× b^2 = a^2 +4b^2$。
要拼接成完整的大正方形，大正方形的面积需符合完全平方公式，观察可得完全平方式$(a+2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2$，对比现有总面积，还差的面积为$4ab$，因此需要丙纸片的数量为$4ab ÷ ab = 4$块。