11. 已知 $ m $ 为正整数，且 $ 4 × 8^m × 16^m = 4^8 $，求 $ m $ 的值.

$m=2$

我们可以利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则求解，步骤如下：
1. 把等式两边的所有项统一转化为以2为底的幂：
$4=2^2$，$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$，$4^8=(2^2)^8=2^{16}$
2. 代入原式计算左边：根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，可得
左边$=2^2 × 2^{3m} × 2^{4m}=2^{2+3m+4m}=2^{7m+2}$
3. 等式左右两边底数相同、数值相等，因此对应指数相等，列得方程：
$7m+2=16$
4. 解一元一次方程：移项得$7m=14$，解得$m=2$，符合m为正整数的条件。

12. 若$x=3a^n$，$y=-\dfrac{1}{2}a^{2n-1}$，当$a=2,n=3$时，求$a^n x - ay$的值.

224

我们可以先通过代入化简代数式，再代入数值计算，步骤如下：
1. 将已知条件$x=3a^n$，$y=-\dfrac{1}{2}a^{2n-1}$代入待求式$a^n x - ay$：
$a^n x - ay = a^n · 3a^n - a · (-\dfrac{1}{2}a^{2n-1})$
2. 根据七年级所学同底数幂乘法法则$a^m · a^k = a^{m+k}$运算化简：
原式$=3a^{n+n} + \dfrac{1}{2}a^{1+2n-1} = 3a^{2n} + \dfrac{1}{2}a^{2n} = \dfrac{7}{2}a^{2n}$
3. 代入$a=2$，$n=3$计算：
先得$2n=6$，$a^{2n}=2^6=64$，因此原式$=\dfrac{7}{2} × 64 = 224$。
也可直接代入所有数值验证：$a^n=2^3=8$，$x=3×8=24$，$y=-\dfrac{1}{2}×2^5=-16$，代入得$8×24 - 2×(-16)=224$，结果一致。

13. 若$2^{x}=4^{y+1},27^{y}=3^{x-1}$，求$x-y$的值.

3

我们先利用幂的乘方运算法则，将两个等式的左右两边转化为同底数幂，再根据同底数幂相等时对应指数相等的性质，构造二元一次方程组求解：
1. 处理第一个等式：
因为$4=2^2$，所以$2^x=4^{y+1}=(2^2)^{y+1}=2^{2y+2}$，对比指数可得：
$x=2y+2$ ①
2. 处理第二个等式：
因为$27=3^3$，所以$27^y=(3^3)^y=3^{3y}=3^{x-1}$，对比指数可得：
$3y=x-1$ ②
3. 联立①②解方程组：
把①代入②，得$3y=2y+2-1$，解得$y=1$；
将$y=1$代入①，得$x=2×1+2=4$。
4. 计算$x-y$：
代入$x=4$，$y=1$，得$x-y=4-1=3$。

如果 $10^b = n$，那么 $b$ 为 $n$ 的“劳格数”，记为 $b = d(n)$。由定义可知：$10^b = n$ 与 $b = d(n)$ 表示 $b, n$ 两个量之间的同一关系。如 $10^2 = 100$，则 $d(100) = 2$。
（1）根据“劳格数”的定义，填空：$d(10^{-3}) = \_\_\_\_\_\_$，$d(1) = \_\_\_\_\_\_$；
（2）“劳格数”有如下运算性质：若 $m, n$ 为正数，则 $d(mn) = d(m) + d(n)$，$d(\frac{m}{n}) = d(m) - d(n)$；根据运算性质，填空：$\frac{d(a^3)}{d(a)} = \_\_\_\_\_\_$（$a$ 为正数）；
（3）若 $d(2) = 0.3010$，计算：$d(4)$ 和 $d(5)$ 的值；
（4）若 $d(2) = 2m + n$，$d(4) = 3m + 2n + p$，$d(8) = 6m + 2n + p$，请证明 $m = n = p$。

（1）$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{0}$；
（2）$\boldsymbol{3}$；
（3）$d(4)=0.6020$，$d(5)=0.6990$；
（4）证明过程如上，可证得$m=n=p$。

（1）根据“劳格数”定义：若$10^b=n$，则$b=d(n)$。
因为$10^{-3}=10^{-3}$，对应$b=-3$，因此$d(10^{-3})=-3$；
因为$10^0=1$，对应$b=0$，因此$d(1)=0$。
（2）根据题给运算性质$d(mn)=d(m)+d(n)$，可得：
$d(a^3)=d(a· a· a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)$，
因此$\frac{d(a^3)}{d(a)}=\frac{3d(a)}{d(a)}=3$（$a＞0$，$d(a)≠0$）。
（3）计算$d(4)$：
$4=2×2$，因此$d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=2d(2)$，代入$d(2)=0.3010$，得$d(4)=2×0.3010=0.6020$；
计算$d(5)$：
$5=\frac{10}{2}$，因此$d(5)=d(\frac{10}{2})=d(10)-d(2)$，由定义得$d(10)=1$，代入得$d(5)=1-0.3010=0.6990$。
（4）证明：
① 因为$4=2×2$，根据运算性质得$d(4)=2d(2)$，将$d(2)=2m+n$代入得$d(4)=2(2m+n)=4m+2n$，结合题设$d(4)=3m+2n+p$，可得等式$4m+2n=3m+2n+p$，化简得$m=p$；
② 因为$8=2×2×2$，根据运算性质得$d(8)=3d(2)$，将$d(2)=2m+n$代入得$d(8)=3(2m+n)=6m+3n$，结合题设$d(8)=6m+2n+p$，可得等式$6m+3n=6m+2n+p$，化简得$n=p$；
结合$m=p$、$n=p$，即可推出$m=n=p$，得证。