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一、选择题
1. 7 nm就是0.000 000 007 m，将0. 000 000 007用科学记数法表示为（）
A.$7× 10^{-9}$
B.$7× 10^{-8}$
C.$0.7× 10^{-8}$
D.$7× 10^{-7}$
1. 7 nm就是0.000 000 007 m，将0. 000 000 007用科学记数法表示为（）
A.$7× 10^{-9}$
B.$7× 10^{-8}$
C.$0.7× 10^{-8}$
D.$7× 10^{-7}$
答案
A
解析
绝对值小于1的正数的科学记数法形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数，$n$的值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数。对于0.000000007，左起第一个非零数字是7，它前面共有9个0，因此$a=7$，$n=9$，可得$0.000000007=7×10^{-9}$，对应选项A。
2. 下列各式计算结果为$2x^4$的是 （）
A.$x^4 · x^4$
B.$x^4 + x^4$
C.$2x^2 + x^2$
D.$2x · x^4$
A.$x^4 · x^4$
B.$x^4 + x^4$
C.$2x^2 + x^2$
D.$2x · x^4$
答案
B
解析
分别计算各选项：
A. 根据同底数幂相乘法则：$x^4 · x^4 = x^{4+4}=x^8$，不符合要求；
B. 根据合并同类项法则：$x^4 + x^4 = (1+1)x^4=2x^4$，符合要求；
C. 根据合并同类项法则：$2x^2 + x^2 = 3x^2$，不符合要求；
D. 根据同底数幂相乘法则：$2x · x^4 = 2x^{1+4}=2x^5$，不符合要求。
综上，计算结果为$2x^4$的是选项B。
A. 根据同底数幂相乘法则：$x^4 · x^4 = x^{4+4}=x^8$，不符合要求；
B. 根据合并同类项法则：$x^4 + x^4 = (1+1)x^4=2x^4$，符合要求；
C. 根据合并同类项法则：$2x^2 + x^2 = 3x^2$，不符合要求；
D. 根据同底数幂相乘法则：$2x · x^4 = 2x^{1+4}=2x^5$，不符合要求。
综上，计算结果为$2x^4$的是选项B。
3. 计算$(a^2)^3$的结果是 （）
A.$a^6$
B.$a^5$
C.$a^3$
D.$a^2$
A.$a^6$
B.$a^5$
C.$a^3$
D.$a^2$
答案
A
解析
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$。
4. 下列运算正确的是 （）
A.$(a^2)^3=a^5$
B.$a^4 · a^3=a^7$
C.$a^4+a^2=a^6$
D.$a^6 ÷ a^2=a^3$
A.$(a^2)^3=a^5$
B.$a^4 · a^3=a^7$
C.$a^4+a^2=a^6$
D.$a^6 ÷ a^2=a^3$
答案
B
解析
根据整式幂运算的相关法则逐一判断：
1. A选项：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误。
2. B选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$a^4 · a^3=a^{4+3}=a^7$，运算正确。
3. C选项：$a^4$与$a^2$不是同类项，不能合并，运算错误。
4. D选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$a^6 ÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，运算错误。
综上，正确的是B选项。
1. A选项：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误。
2. B选项：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$a^4 · a^3=a^{4+3}=a^7$，运算正确。
3. C选项：$a^4$与$a^2$不是同类项，不能合并，运算错误。
4. D选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$a^6 ÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，运算错误。
综上，正确的是B选项。
5. 计算：$(-2b^{2})^{3}=$.
答案
$-8b^{6}$
解析
根据积的乘方运算法则：积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；以及幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算过程如下：
$(-2b^{2})^{3}=(-2)^{3}· (b^{2})^{3}=-8· b^{2×3}=-8b^{6}$
$(-2b^{2})^{3}=(-2)^{3}· (b^{2})^{3}=-8· b^{2×3}=-8b^{6}$
6. 计算：$(-0.5)^{2024} × 2^{2025} =$ .
答案
2
解析
本题可利用积的乘方的逆运算（公式：$a^n· b^n=(ab)^n$）简化计算，步骤如下：
1. 先对$2^{2025}$变形：$2^{2025}=2^{2024}×2$
2. 代入原式整理：
$\begin{aligned}(-0.5)^{2024} × 2^{2025}&=(-0.5)^{2024}×2^{2024}×2\\&=(-0.5×2)^{2024}×2\\&=(-1)^{2024}×2\end{aligned}$
3. 因为2024是偶数，$(-1)^{2024}=1$，计算得最终结果为$1×2=2$
1. 先对$2^{2025}$变形：$2^{2025}=2^{2024}×2$
2. 代入原式整理：
$\begin{aligned}(-0.5)^{2024} × 2^{2025}&=(-0.5)^{2024}×2^{2024}×2\\&=(-0.5×2)^{2024}×2\\&=(-1)^{2024}×2\end{aligned}$
3. 因为2024是偶数，$(-1)^{2024}=1$，计算得最终结果为$1×2=2$
7. 若$3x + y - 3 = 0$，则$8^x · 2^y$的结果是________.
答案
8
解析
我们利用七年级所学的幂的运算性质对所求式子逐步变形计算：
1. 先将底数8转化为以2为底的形式：$8=2^3$，根据幂的乘方性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；
2. 根据同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m+n}$，可得$8^x · 2^y = 2^{3x} · 2^y = 2^{3x+y}$；
3. 对已知方程$3x + y - 3 = 0$移项，得到$3x + y = 3$；
4. 将$3x+y=3$代入$2^{3x+y}$，计算得$2^3=8$。
1. 先将底数8转化为以2为底的形式：$8=2^3$，根据幂的乘方性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；
2. 根据同底数幂的乘法性质$a^m · a^n = a^{m+n}$，可得$8^x · 2^y = 2^{3x} · 2^y = 2^{3x+y}$；
3. 对已知方程$3x + y - 3 = 0$移项，得到$3x + y = 3$；
4. 将$3x+y=3$代入$2^{3x+y}$，计算得$2^3=8$。
8. 已知$a+\dfrac{1}{a}=7$，则$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}$的值是________。
答案
47
解析
本题可利用完全平方公式的变形进行求解，步骤如下：
1. 回忆完全平方和公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
2. 将已知条件$a+\dfrac{1}{a}=7$的两边同时平方，可得：
$(a+\dfrac{1}{a})^2 = 7^2$
3. 展开等式左侧：$a^2 + 2· a· \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 49$
4. 化简后得到：$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 49$
5. 移项计算可得：$a^2+\dfrac{1}{a^2}=49-2=47$
1. 回忆完全平方和公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
2. 将已知条件$a+\dfrac{1}{a}=7$的两边同时平方，可得：
$(a+\dfrac{1}{a})^2 = 7^2$
3. 展开等式左侧：$a^2 + 2· a· \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 49$
4. 化简后得到：$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 49$
5. 移项计算可得：$a^2+\dfrac{1}{a^2}=49-2=47$
9. 已知$2^a=10,2^b=6.4,2^c=2$，则$a+b+c$的值是________.
答案
7
解析
根据七年级所学的同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^a × 2^b × 2^c = 2^{a+b+c}$。
将已知条件代入计算等式左侧的乘积：$2^a × 2^b × 2^c = 10 × 6.4 × 2 = 128$，又因为$128=2^7$，因此可得$2^{a+b+c}=2^7$，底数相同时幂相等则指数相等，所以$a+b+c=7$。
将已知条件代入计算等式左侧的乘积：$2^a × 2^b × 2^c = 10 × 6.4 × 2 = 128$，又因为$128=2^7$，因此可得$2^{a+b+c}=2^7$，底数相同时幂相等则指数相等，所以$a+b+c=7$。
三、解答题
10. 计算：
(1) $(-a^{2})^{3} ÷ (-a^{3})^{2} · (-a)^{2}$；
(2) $(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}) × |-6| + (\dfrac{1}{2})^{-3} - (π - 3)^{0}$。
10. 计算：
(1) $(-a^{2})^{3} ÷ (-a^{3})^{2} · (-a)^{2}$；
(2) $(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}) × |-6| + (\dfrac{1}{2})^{-3} - (π - 3)^{0}$。
答案
(1) $-a^2$；(2) $6$
解析
(1) 利用幂的乘方法则先化简各项：
根据$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(-a^{2})^{3} = -a^{2×3}=-a^6$，
$(-a^{3})^{2} = a^{3×2}=a^6$，
$(-a)^{2}=a^2$，
再按照从左到右的顺序依次计算乘除：
原式$=-a^6 ÷ a^6 · a^2 = -1 · a^2 = -a^2$。
(2) 分步计算各部分：
① 计算括号内减法和绝对值：$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$，$|-6|=6$，相乘得$-\dfrac{1}{6}×6=-1$；
② 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\dfrac{1}{2})^{-3}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^3}=8$；
③ 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$(π-3)^0=1$；
合并计算得：原式$=-1 + 8 -1 =6$。
根据$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(-a^{2})^{3} = -a^{2×3}=-a^6$，
$(-a^{3})^{2} = a^{3×2}=a^6$，
$(-a)^{2}=a^2$，
再按照从左到右的顺序依次计算乘除：
原式$=-a^6 ÷ a^6 · a^2 = -1 · a^2 = -a^2$。
(2) 分步计算各部分：
① 计算括号内减法和绝对值：$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$，$|-6|=6$，相乘得$-\dfrac{1}{6}×6=-1$；
② 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\dfrac{1}{2})^{-3}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^3}=8$；
③ 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$(π-3)^0=1$；
合并计算得：原式$=-1 + 8 -1 =6$。
