9. 若$(x^2 + nx + 3)(x^2 - 3x + m)$的展开式中不含$x^2$和$x^3$项，则$m + n =$.

9

先将多项式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 + nx + 3)(x^2 - 3x + m)\\=&x^4 - 3x^3 + mx^2 + nx^3 - 3nx^2 + mnx + 3x^2 -9x + 3m\\=&x^4 + (n-3)x^3 + (m - 3n + 3)x^2 + (mn -9)x + 3m\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^2$和$x^3$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}n-3=0\\m-3n+3=0\end{cases}$
解得$n=3$，$m=6$，因此$m+n=6+3=9$。

三、解答题
10. 计算：
(1) $(-\dfrac{1}{2}m - 1)(1 - \dfrac{1}{2}m)$；
(2) $(2m - 3n)^2(2m + 3n)^2$。

(1) $\dfrac{1}{4}m^2 -1$；(2) $16m^4 -72m^2n^2 +81n^4$

(1) 先将原式变形为平方差公式的标准形式：
原式$=(-\dfrac{1}{2}m -1)(-\dfrac{1}{2}m +1)$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=-\dfrac{1}{2}m$，$b=1$计算：
$=(-\dfrac{1}{2}m)^2 - 1^2$
$=\dfrac{1}{4}m^2 -1$
(2) 逆用积的乘方公式$a^2b^2=(ab)^2$对原式变形：
原式$=[(2m-3n)(2m+3n)]^2$
先对中括号内的部分用平方差公式计算：
$=(4m^2 -9n^2)^2$
再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$=(4m^2)^2 - 2×4m^2×9n^2 + (9n^2)^2$
$=16m^4 -72m^2n^2 +81n^4$

11. 先化简,再求值:$(x+2)^2-(x+1)(x-1)-(2x-1)(x+2)$,其中$2x^2 - x - 2 = 0.$

5

我们先利用整式乘法公式和运算法则对原式展开化简：
1. 分别展开各项：
完全平方公式展开：$(x+2)^2 = x^2 +4x +4$
平方差公式展开：$(x+1)(x-1) = x^2 -1$
多项式乘多项式展开：$(2x-1)(x+2) = 2x^2 +4x -x -2 = 2x^2 +3x -2$
2. 去括号、合并同类项：
原式$= x^2 +4x +4 - (x^2 -1) - (2x^2 +3x -2)$
$= x^2 +4x +4 -x^2 +1 -2x^2 -3x +2$
$= -2x^2 +x +7$
3. 结合已知条件变形代入：
由$2x^2 -x -2 = 0$，移项得$2x^2 -x = 2$，进一步变形得$-2x^2 +x = -(2x^2 -x) = -2$
将$-2x^2 +x = -2$代入化简后的式子，可得原式$= -2 +7 = 5$

12. 在数学中,有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决.例如:试比较 20 262 027×20 262 024 与 20 262 026×20 252 025的大小.
解:设$a=20\ 262\ 026,x=20\ 262\ 027×20\ 262\ 024,y=20\ 262\ 026×20\ 262\ 025$,那么$x=(a+1)(a-2),y=a(a-1)$.因为$x-y=$ ,所以$x$(填“＞”“＜”或“=”)$y$.
请尝试解决下面的问题:计算$(m+22.202\ 5)(m+14.202\ 5)-(m+18.202\ 5)(m+17.202\ 5)$.

$-2$；$-2＜0$；$＜$；$m+2.2025$

1. 计算x-y的值：
将$x=(a+1)(a-2)$展开得$x=a^2 -a -2$，将$y=a(a-1)$展开得$y=a^2 -a$，因此$x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2$，可得$x-y=-2＜0$，据此判断x和y的大小关系。
2. 用换元法计算所求式子：
设$t=m+18.2025$，则$m+22.2025=t+4$，$m+14.2025=t-4$，$m+17.2025=t-1$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(t+4)(t-4) - t(t-1)\\&=t^2 - 16 - t^2 + t\\&=t - 16\end{aligned}$
把$t=m+18.2025$代回，得最终结果为$m+18.2025-16=m+2.2025$。