13. 已知$A=(2x+1)(x-2),B=x(m-x)$，且$A+2B$的值与$x$的取值无关，求$m$的值.

$m=\frac{3}{2}$

我们先将A、B的表达式代入A+2B，展开并合并同类项：
1. 展开A的表达式：
$A=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$
2. 计算2B的表达式：
$2B=2· x(m-x)=2mx-2x^2$
3. 合并A+2B的同类项：
$A+2B=2x^2-3x-2+2mx-2x^2=(2m-3)x-2$
因为A+2B的值与x的取值无关，说明含x的一次项的系数为0，即$2m-3=0$，解得$m=\frac{3}{2}$。

数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性；形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观的方法和面积法获取结论.
探究一:如图1，大正方形的边长是$(a+b)$，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.根据等积法，我们可以得出结论:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.


探究二:请你根据探究一所使用的等积法，从图2中探究出$(a+b+c)^2$的结果.
（1）探究二中$(a+b+c)^2=$；
（2）利用(1)问所得到的结论求解:已知$a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=4$，求$ab+bc+ca$的值；
（3）在(2)问的条件下，求$\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2+ab+b^2}$的值.

(1) $\boldsymbol{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}$
(2) $\boldsymbol{ab+bc+ca=-2}$
(3) $\boldsymbol{2}$

(1) 图2中大正方形边长为$(a+b+c)$，根据等积法，大正方形面积等于所有小图形的面积之和：3个小正方形面积分别为$a^2、b^2、c^2$，6个长方形面积分别为$ab、ac、ba、bc、ca、cb$，求和可得完全平方展开式。
(2) 代入(1)得到的公式，将已知条件$a+b+c=0$、$a^2+b^2+c^2=4$代入，直接变形计算即可求出$ab+bc+ca$的值。
(3) 先将$ab+bc+ca=-2$两边平方，结合$a+b+c=0$消去含$abc$的项，求出分子$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$的值；再利用$a+b=-c$，结合已知条件变形化简，求出分母$a^2+ab+b^2$的值，最终代入分式计算得到结果。
具体步骤如下：
1. 由等积法得：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
2. 把$a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=4$代入公式：
$0^2=4+2(ab+bc+ca)$
整理得$2(ab+bc+ca)=-4$，解得$ab+bc+ca=-2$
3. 对$ab+bc+ca=-2$两边平方：
$(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$
因为$a+b+c=0$，所以$2abc(a+b+c)=0$，得$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(-2)^2=4$
又因为$a+b+c=0$，即$a+b=-c$，平方得$a^2+2ab+b^2=c^2$；结合$a^2+b^2+c^2=4$得$a^2+b^2=4-c^2$，结合$ab + c(a+b)=-2$得$ab=c^2-2$，因此$a^2+ab+b^2=(4-c^2)+(c^2-2)=2$
代入分式得原式$=\frac{4}{2}=2$