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7. 如图，点 $ D $ 在线段 $ AC $ 上，$ DE ⊥ BC $ 于点 $ E $，$ EF ⊥ AC $ 于点 $ F $，$ ∠ C = ∠ BDE $，那么 $ BD $ 与 $ AC $ 垂直吗？为什么？
答案
7. 解:BD 与 AC 垂直。
理由:因为 DE⊥BC,所以∠C+∠EDC=90°。
因为∠C=∠BDE,
所以∠EDC+∠BDE=90°,
所以∠BDC=90°,即 BD⊥AC。
理由:因为 DE⊥BC,所以∠C+∠EDC=90°。
因为∠C=∠BDE,
所以∠EDC+∠BDE=90°,
所以∠BDC=90°,即 BD⊥AC。
解析
【分析】要判断BD与AC是否垂直，需确定∠BDC是否为90°。已知DE⊥BC，根据直角三角形两锐角互余，可得∠C + ∠EDC = 90°；结合已知∠C=∠BDE，通过等量代换得到∠BDE + ∠EDC=90°，即∠BDC=90°，由此可判断BD与AC垂直。
【解析】因为DE⊥BC（已知），所以∠DEC=90°（垂直的定义），在△DEC中，∠C + ∠EDC=90°（直角三角形两锐角互余）。又因为∠C=∠BDE（已知），所以∠BDE + ∠EDC=90°（等量代换），即∠BDC=90°，因此BD⊥AC（垂直的定义），故BD与AC垂直。
【答案】BD与AC垂直。
【知识点】垂直的定义、直角三角形的性质
【点评】本题通过直角三角形的性质和等量代换推导角的度数，进而判断直线垂直，考查了垂直的定义，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】0.5
【解析】因为DE⊥BC（已知），所以∠DEC=90°（垂直的定义），在△DEC中，∠C + ∠EDC=90°（直角三角形两锐角互余）。又因为∠C=∠BDE（已知），所以∠BDE + ∠EDC=90°（等量代换），即∠BDC=90°，因此BD⊥AC（垂直的定义），故BD与AC垂直。
【答案】BD与AC垂直。
【知识点】垂直的定义、直角三角形的性质
【点评】本题通过直角三角形的性质和等量代换推导角的度数，进而判断直线垂直，考查了垂直的定义，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】0.5
8. 已知 $ ∠ A $ 的两边与 $ ∠ B $ 的两边互相垂直，且 $ ∠ A $ 比 $ ∠ B $ 的 $ 2 $ 倍小 $ 60^{\circ} $，求 $ ∠ A $ 的度数。
答案
8. 解:设∠B=α,则∠A=2α-60°。
有两种情况:
如图①,∠ACB=∠ABD=90°,
所以∠A=∠CBD,
所以 2α-60°=α,
所以 α=60°,
所以∠A=2×60°-60°=60°。
如图②,∠ACB=∠ADB=90°,
所以∠A+∠B=180°,
所以 2α-60°+α=180°,
所以 α=80°,
所以∠A=2×80°-60°=100°。
综上,∠A=60°或 100°。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确：当两个角的两边互相垂直时，这两个角的数量关系有两种情况，要么相等，要么互补（因形成的四边形含两个直角，内角和为360°，剩余两角和为180°）。接下来设∠B为α，用含α的式子表示∠A，再分两种情况列一元一次方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠B = α，则∠A = 2α - 60°，分两种情况讨论：
1. 如图①，∠A的两边与∠B的两边互相垂直，此时四边形中∠ACB=∠ABD=90°，根据同角的余角相等，得∠A = ∠B，因此：
2α - 60° = α
解得α = 60°，则∠A = 2×60° - 60° = 60°。
2. 如图②，∠A的两边与∠B的两边互相垂直，此时四边形中∠ACB=∠ADB=90°，根据四边形内角和为360°，得∠A + ∠B = 180°，因此：
2α - 60° + α = 180°
解得α = 80°，则∠A = 2×80° - 60° = 100°。
【答案】
∠A=60°或100°
【知识点】
垂线的性质、角的计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查两角两边互相垂直时的数量关系，核心是分两种情况讨论，避免漏解，需学生全面考虑几何图形的不同构成场景。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先明确：当两个角的两边互相垂直时，这两个角的数量关系有两种情况，要么相等，要么互补（因形成的四边形含两个直角，内角和为360°，剩余两角和为180°）。接下来设∠B为α，用含α的式子表示∠A，再分两种情况列一元一次方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠B = α，则∠A = 2α - 60°，分两种情况讨论：
1. 如图①，∠A的两边与∠B的两边互相垂直，此时四边形中∠ACB=∠ABD=90°，根据同角的余角相等，得∠A = ∠B，因此：
2α - 60° = α
解得α = 60°，则∠A = 2×60° - 60° = 60°。
2. 如图②，∠A的两边与∠B的两边互相垂直，此时四边形中∠ACB=∠ADB=90°，根据四边形内角和为360°，得∠A + ∠B = 180°，因此：
2α - 60° + α = 180°
解得α = 80°，则∠A = 2×80° - 60° = 100°。
【答案】
∠A=60°或100°
【知识点】
垂线的性质、角的计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查两角两边互相垂直时的数量关系，核心是分两种情况讨论，避免漏解，需学生全面考虑几何图形的不同构成场景。
【难度系数】
0.5
9. 如图，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OM ⊥ AB $，垂足为点 $ O $。
(1)若 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，判断 $ ON $ 与 $ CD $ 的位置关系，并说明理由；
(2)若 $ ∠ 1 = \frac{1}{4}∠ BOC $，求 $ ∠ MOD $ 的度数。
(1)若 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，判断 $ ON $ 与 $ CD $ 的位置关系，并说明理由；
(2)若 $ ∠ 1 = \frac{1}{4}∠ BOC $，求 $ ∠ MOD $ 的度数。
答案
9. 解:(1)ON⊥CD。
理由:因为 OM⊥AB,
所以∠AOM=90°,所以∠1+∠AOC=90°。
又因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,所以 ON⊥CD。
(2)因为 OM⊥AB,∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC,
所以∠1=30°,∠BOC=120°。
又因为∠1+∠MOD=180°,
所以∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°。
理由:因为 OM⊥AB,
所以∠AOM=90°,所以∠1+∠AOC=90°。
又因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,所以 ON⊥CD。
(2)因为 OM⊥AB,∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC,
所以∠1=30°,∠BOC=120°。
又因为∠1+∠MOD=180°,
所以∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°。
解析
【分析】
本题分为两小问，均围绕直线垂直、相交的角度关系展开。第(1)问需利用垂直的性质，结合已知角度相等的条件，通过等量代换推导垂直关系；第(2)问需利用垂直得到直角，结合角度倍数关系求出未知角，再利用邻补角的性质计算目标角度。
【解析】
(1) ON⊥CD，理由如下：
∵ OM⊥AB（已知），
∴ ∠AOM=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠AOC = 90°（角的和的关系）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠2 + ∠AOC = 90°（等量代换），
即∠CON=90°，
∴ ON⊥CD（垂直的定义）。
(2)
∵ OM⊥AB（已知），
∴ ∠BOM=90°（垂直的定义），
又
∵ ∠BOC = ∠1 + ∠BOM = ∠1 + 90°，且∠1=1/4∠BOC（已知），
∴ ∠1 = 1/4(∠1 + 90°)，
解得：3∠1=90° → ∠1=30°。
∵ ∠1与∠MOD组成平角（平角的定义），
∴ ∠MOD=180° - ∠1 = 180° - 30°=150°。
【答案】
(1) ON⊥CD；(2) ∠MOD=150°
【知识点】
垂直的定义，邻补角，角的和差
【点评】
本题为基础几何题，核心考查垂直的性质、角的和差及邻补角的性质，解题关键是利用垂直得到直角，结合已知条件进行等量代换，难度适中。
【难度系数】
0.3
本题分为两小问，均围绕直线垂直、相交的角度关系展开。第(1)问需利用垂直的性质，结合已知角度相等的条件，通过等量代换推导垂直关系；第(2)问需利用垂直得到直角，结合角度倍数关系求出未知角，再利用邻补角的性质计算目标角度。
【解析】
(1) ON⊥CD，理由如下：
∵ OM⊥AB（已知），
∴ ∠AOM=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠AOC = 90°（角的和的关系）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠2 + ∠AOC = 90°（等量代换），
即∠CON=90°，
∴ ON⊥CD（垂直的定义）。
(2)
∵ OM⊥AB（已知），
∴ ∠BOM=90°（垂直的定义），
又
∵ ∠BOC = ∠1 + ∠BOM = ∠1 + 90°，且∠1=1/4∠BOC（已知），
∴ ∠1 = 1/4(∠1 + 90°)，
解得：3∠1=90° → ∠1=30°。
∵ ∠1与∠MOD组成平角（平角的定义），
∴ ∠MOD=180° - ∠1 = 180° - 30°=150°。
【答案】
(1) ON⊥CD；(2) ∠MOD=150°
【知识点】
垂直的定义，邻补角，角的和差
【点评】
本题为基础几何题，核心考查垂直的性质、角的和差及邻补角的性质，解题关键是利用垂直得到直角，结合已知条件进行等量代换，难度适中。
【难度系数】
0.3
10. 如图，已知点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，过点 $ O $ 作射线 $ OC $，使 $ ∠ BOC = 135^{\circ} $。将三角板 $ MON $ 绕点 $ O $ 旋转一周，当直线 $ OM $ 与直线 $ OC $ 互相垂直时，求 $ ∠ AOM $ 的度数。
答案
10. 解:因为∠BOC=135°,
所以∠AOC=180°-135°=45°。
当 OM 在直线 OC 的右侧时,如图①所示。
因为 OM⊥OC,所以∠COM=90°,
所以∠AOM=∠AOC+∠COM
=45°+90°=135°。
当 OM 在直线 OC 的左侧时,如图②所示。
因为 OM⊥OC,所以∠COM=90°,
所以∠AOM=∠COM-∠AOC
=90°-45°=45°。
综上,∠AOM=135°或 45°。
解析
【分析】
首先根据点O在直线AB上，利用平角的定义求出∠AOC的度数；由于三角板MON绕点O旋转时，OM与OC垂直的位置有两种情况（在OC右侧、在OC左侧），需分类讨论，结合角的和差关系分别计算∠AOM，避免漏解。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180°-135°=45°。
情况1：当OM在直线OC的右侧时（如图①），
∵OM⊥OC，
∴∠COM=90°，
∴∠AOM=∠AOC + ∠COM=45°+90°=135°。
情况2：当OM在直线OC的左侧时（如图②），
∵OM⊥OC，
∴∠COM=90°，
∴∠AOM=∠COM - ∠AOC=90°-45°=45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角定义、垂直定义、角度计算
【点评】
本题考查角度的计算，核心是利用平角和垂直的性质，需注意OM的位置存在两种情况，分类讨论是解题关键，易因漏解出错，是角度问题中常见的易错题。
【难度系数】
0.5
首先根据点O在直线AB上，利用平角的定义求出∠AOC的度数；由于三角板MON绕点O旋转时，OM与OC垂直的位置有两种情况（在OC右侧、在OC左侧），需分类讨论，结合角的和差关系分别计算∠AOM，避免漏解。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180°-135°=45°。
情况1：当OM在直线OC的右侧时（如图①），
∵OM⊥OC，
∴∠COM=90°，
∴∠AOM=∠AOC + ∠COM=45°+90°=135°。
情况2：当OM在直线OC的左侧时（如图②），
∵OM⊥OC，
∴∠COM=90°，
∴∠AOM=∠COM - ∠AOC=90°-45°=45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角定义、垂直定义、角度计算
【点评】
本题考查角度的计算，核心是利用平角和垂直的性质，需注意OM的位置存在两种情况，分类讨论是解题关键，易因漏解出错，是角度问题中常见的易错题。
【难度系数】
0.5
