【变式训练 2】 如图，已知 $ AB ⊥ CD $，垂足为点 $ O $，直线 $ EF $ 经过 $ O $ 点。如果 $ ∠ 1 = 55^{\circ} $，那么 $ ∠ 2 = $。

变式训练 2 35°

解：因为$AB ⊥ CD$，所以$∠ BOC = 90^{\circ}$。
因为$∠ 1 = 55^{\circ}$，且$∠ 1 + ∠ BOF = ∠ BOC$，所以$∠ BOF = ∠ BOC - ∠ 1 = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$。
又因为$∠ 2$与$∠ BOF$是对顶角，所以$∠ 2 = ∠ BOF = 35^{\circ}$。
$35^{\circ}$

1. 下列说法正确的是()

A.过线段外一点不一定能作出它的垂线
B.过直线 $ m $ 外一点 $ A $ 和直线 $ m $ 上一点 $ B $ 可画一条直线与 $ m $ 垂直
C.只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D.过任意一点均可作一条直线的垂线

1. D

【分析】
这道题考查垂线的基本性质，核心思路是依据“在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质，逐一分析每个选项的正误，找出正确答案。
【解析】
A选项：根据垂线的性质，过线段外一点一定能作出它的垂线（线段的垂线等价于其所在直线的垂线），故A错误；
B选项：过直线外一点A和直线m上一点B画直线与m垂直，只有当直线AB与m垂直时才能实现，并非一定可以，故B错误；
C选项：不仅直线外一点，直线上任意一点也能画一条直线和已知直线垂直，故C错误；
D选项：符合垂线的基本性质，过任意一点均可作一条直线的垂线，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对垂线性质的准确理解，易错点是混淆“点的位置（直线上/外）”对作垂线的影响，需牢记“过任意一点都能作已知直线的垂线”这一关键结论。
【难度系数】
0.5

2. 下列选项中，能用“垂线段最短”来解释的是()


A.测量跳远成绩
B.在木板上弹墨线
C.弯曲的河道改直
D.两钉子固定木条

2. A

【分析】要判断哪个选项能用“垂线段最短”解释，需逐一分析各选项对应的几何原理：A选项测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用垂线段最短；B选项弹墨线利用两点确定一条直线；C选项河道改直利用两点之间线段最短；D选项两钉子固定木条利用两点确定一条直线，据此可得出答案。
【解析】逐一分析各选项：
选项A：测量跳远成绩时，成绩是运动员落地点到起跳线的垂直距离，依据“垂线段最短”，这样测量的是最短距离，符合题意；
选项B：在木板上弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”，使墨线成为直线，不符合题意；
选项C：弯曲河道改直，目的是缩短河道长度，依据“两点之间线段最短”，不符合题意；
选项D：两钉子固定木条，利用“两点确定一条直线”，固定木条的位置，不符合题意。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短
【点评】本题结合实际生活场景考查几何基本性质，需要学生区分不同几何原理的应用，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.6

3. 如图，这是光的反射规律示意图，其中 $ CO $ 是入射光线，$ OD $ 是反射光线，$ OE $ 是法线，$ EO ⊥ AB $，$ ∠ COE $ 为入射角，$ ∠ EOD $ 为反射角，且 $ ∠ COE = ∠ EOD $。若 $ ∠ AOC = 2∠ EOD $，则 $ ∠ COE $ 的度数为()


A.$ 30^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

3. A

解：设$∠COE = x$，
因为$∠COE = ∠EOD$，所以$∠EOD = x$。
由$∠AOC = 2∠EOD$，得$∠AOC = 2x$。
因为$EO⊥AB$，所以$∠AOE = 90^{\circ}$。
又因为$∠AOC + ∠COE = ∠AOE$，
所以$2x + x = 90^{\circ}$，
解得$x = 30^{\circ}$，即$∠COE = 30^{\circ}$。
A

4. 如图，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE ⊥ AB $ 于点 $ O $，且 $ ∠ AOC : ∠ AOE = 1 : 3 $，则 $ ∠ EOD $ 的度数为。

4. 60°

解：
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°。
∵∠AOC:∠AOE=1:3，
∴∠AOC=90°×(1/3)=30°。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°。
∵∠BOE=90°，
∴∠EOD=∠BOE - ∠BOD=90° - 30°=60°。
故∠EOD的度数为60°。

5. 如图，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ EO ⊥ AB $，垂足为点 $ O $。若 $ ∠ AOC : ∠ 2 = 3 : 2 $，则 $ ∠ 1 $ 的度数为。

5. 18°

解：设$∠AOC = 3x$，$∠2 = 2x$。
因为直线$AB$与$CD$相交于点$O$，所以$∠AOC + ∠2 = 180°$，
即$3x + 2x = 180°$，解得$x = 36°$。
所以$∠AOC = 3×36° = 108°$。
因为$EO⊥AB$，所以$∠AOE = 90°$。
又因为$∠AOC = ∠AOE + ∠1$，
所以$∠1 = ∠AOC - ∠AOE = 108° - 90° = 18°$。
18°

6. 如图，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OF ⊥ OC $，$ ∠ BOC : ∠ BOE = 1 : 3 $，$ ∠ AOF = 2∠ COE $，则 $ ∠ AOD = $。

6. 18°

解：设$∠BOC = x$，则$∠BOE = 3x$，$∠COE = ∠BOE - ∠BOC = 2x$。
因为$OF⊥OC$，所以$∠COF = 90°$。
$∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - x$，$∠AOF = ∠AOC - ∠COF = (180° - x) - 90° = 90° - x$。
由$∠AOF = 2∠COE$，得$90° - x = 2×2x$，解得$x = 18°$。
$∠AOD = ∠BOC = x = 18°$。
18°