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第二课时
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1. 理解垂直、垂线段和点到直线的距离的有关概念。
2. 通过操作实验，加深对“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一结论的理解。
3. 理解“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一结论。
基础知识
知识点 垂直、垂线段和点到直线的距离
1. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是
2. 如图，点 $ P $ 是直线 $ l $ 外一点，$ PO ⊥ l $，垂足为点 $ O $，则线段
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1. 理解垂直、垂线段和点到直线的距离的有关概念。
2. 通过操作实验，加深对“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一结论的理解。
3. 理解“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一结论。
基础知识
知识点 垂直、垂线段和点到直线的距离
1. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是
直角
，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足
。如图，直线 $ AB $ 与直线 $ CD $ 垂直，记作AB⊥CD
。2. 如图，点 $ P $ 是直线 $ l $ 外一点，$ PO ⊥ l $，垂足为点 $ O $，则线段
PO
叫作点 $ P $ 到直线 $ l $ 的垂线段。垂线段PO 的长度
叫作点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离。答案
[基础知识]
知识点 1. 直角 垂足 AB⊥CD
2. PO PO 的长度
知识点 1. 直角 垂足 AB⊥CD
2. PO PO 的长度
解析
【分析】
本题考查垂直、垂线段和点到直线距离的基础概念，解题时需准确回忆课本对应定义：一是两条直线互相垂直的判定、交点名称及符号记法；二是点到直线的垂线段与距离的定义，区分线段本身和其长度的不同。
【解析】
1. 根据垂直的定义：两条直线相交成直角时互相垂直，交点称为垂足，直线AB与CD垂直的符号记法为AB⊥CD；
2. 点P到直线l的垂线段是过P作l的垂线，P与垂足O之间的线段PO；点到直线的距离是垂线段的长度，即PO的长度，而非线段本身。
【答案】
1. 直角；垂足；AB⊥CD
2. PO；PO的长度
【知识点】
垂直的概念，垂线段，点到直线的距离
【点评】
本题为基础概念填空题，紧扣几何入门核心知识点，考查学生对垂直、垂线段及点到直线距离定义的识记，是必须掌握的基础知识，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查垂直、垂线段和点到直线距离的基础概念，解题时需准确回忆课本对应定义：一是两条直线互相垂直的判定、交点名称及符号记法；二是点到直线的垂线段与距离的定义，区分线段本身和其长度的不同。
【解析】
1. 根据垂直的定义：两条直线相交成直角时互相垂直，交点称为垂足，直线AB与CD垂直的符号记法为AB⊥CD；
2. 点P到直线l的垂线段是过P作l的垂线，P与垂足O之间的线段PO；点到直线的距离是垂线段的长度，即PO的长度，而非线段本身。
【答案】
1. 直角；垂足；AB⊥CD
2. PO；PO的长度
【知识点】
垂直的概念，垂线段，点到直线的距离
【点评】
本题为基础概念填空题，紧扣几何入门核心知识点，考查学生对垂直、垂线段及点到直线距离定义的识记，是必须掌握的基础知识，难度较低。
【难度系数】
0.8
例 1 下列图形中，过点 $ B $ 作直线 $ AC $ 的垂线，正确的是(
A
)答案
【点拨】 过点 $ B $ 作直线 $ AC $ 的垂线，垂足应在直线 $ AC $ 上，只有 $ A $ 选项符合题意。
解析
【分析】要判断过点B作直线AC的垂线是否正确，需依据垂线的定义：两条直线相交成直角时，其中一条是另一条的垂线，垂足在直线上（直线AC可无限延伸），需检查过B的直线是否与直线AC垂直，且垂足在直线AC上。
【解析】根据垂线的定义，过点B作直线AC的垂线，需满足所作直线与直线AC垂直，垂足在直线AC（可延伸）上：
选项A：过点B作的直线BE与直线AC垂直，垂足E在直线AC上，符合要求；
选项B：连接BE，BE与AC不垂直，不符合垂线要求；
选项C：是过点A作的垂线，不是过点B，不符合题意；
选项D：所作直线与AC不垂直，错误。
【答案】A
【知识点】垂线的画法
【点评】本题考查垂线的基本画法，核心是掌握垂线的定义，注意直线可无限延伸，垂足可在线段AC外的直线上，区分过点作线段和直线的垂线的区别。
【难度系数】0.5
【解析】根据垂线的定义，过点B作直线AC的垂线，需满足所作直线与直线AC垂直，垂足在直线AC（可延伸）上：
选项A：过点B作的直线BE与直线AC垂直，垂足E在直线AC上，符合要求；
选项B：连接BE，BE与AC不垂直，不符合垂线要求；
选项C：是过点A作的垂线，不是过点B，不符合题意；
选项D：所作直线与AC不垂直，错误。
【答案】A
【知识点】垂线的画法
【点评】本题考查垂线的基本画法，核心是掌握垂线的定义，注意直线可无限延伸，垂足可在线段AC外的直线上，区分过点作线段和直线的垂线的区别。
【难度系数】0.5
【变式训练 1】 如图，一个牧童在 $ A $ 处放牛，牛吃饱后要到河边饮水。这个牧童牵着牛沿路径 $ AB $ 走最近，其依据是(
A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
B
)A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
答案
变式训练 1 B
解析
【分析】首先观察图形，河边可看作一条直线，点A是直线外一点，路径AB是从A到河边的线段，且AB与河边垂直，属于垂线段。要判断路径最短的依据，需区分线段相关性质的适用场景：本题是点到直线的线段，并非两点间的路径，因此需对应垂线段的性质，排除不相关选项后确定答案。
【解析】本题中，河边为一条直线，点A是直线外一点，AB是点A到河边的线段，且AB垂直于河边（即AB是点A到河边的垂线段）。根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知AB是最短路径。逐一分析选项：A选项是垂线的唯一性，与路径长短无关；C选项“两点之间线段最短”适用于两点间的路径，本题是点到直线的线段，不适用；D选项“两点确定一条直线”与题意无关。因此选B。
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【点评】本题考查垂线段最短的基础几何性质，需区分线段最短的不同应用场景，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】本题中，河边为一条直线，点A是直线外一点，AB是点A到河边的线段，且AB垂直于河边（即AB是点A到河边的垂线段）。根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知AB是最短路径。逐一分析选项：A选项是垂线的唯一性，与路径长短无关；C选项“两点之间线段最短”适用于两点间的路径，本题是点到直线的线段，不适用；D选项“两点确定一条直线”与题意无关。因此选B。
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【点评】本题考查垂线段最短的基础几何性质，需区分线段最短的不同应用场景，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】0.6
例 2 如图，直线 $ AB $ 和 $ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE ⊥ OC $。若 $ ∠ AOC = 40^{\circ} $，则 $ ∠ EOB = $(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
C
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
答案
【答案】 $ C $
解析
【分析】首先根据垂直的定义，由OE⊥OC可得∠COE=90°；再利用平角的定义，直线AB为平角（180°），可知∠AOC、∠COE与∠EOB的和为180°；结合已知∠AOC=40°，代入即可计算出∠EOB的度数。
【解析】
∵ OE ⊥ OC（已知），
∴ ∠COE = 90°（垂直的定义）。
又
∵ 直线AB为平角，即∠AOC + ∠COE + ∠EOB = 180°（平角的定义），且∠AOC = 40°（已知），
∴ ∠EOB = 180° - ∠AOC - ∠COE = 180° - 40° - 90° = 50°。
【答案】C
【知识点】垂直的定义、平角的定义、角度计算
【点评】本题是几何入门的基础角度计算题，利用垂直和平角的基本性质即可求解，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ OE ⊥ OC（已知），
∴ ∠COE = 90°（垂直的定义）。
又
∵ 直线AB为平角，即∠AOC + ∠COE + ∠EOB = 180°（平角的定义），且∠AOC = 40°（已知），
∴ ∠EOB = 180° - ∠AOC - ∠COE = 180° - 40° - 90° = 50°。
【答案】C
【知识点】垂直的定义、平角的定义、角度计算
【点评】本题是几何入门的基础角度计算题，利用垂直和平角的基本性质即可求解，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
