8. 如图，∠ACB = 90°，∠ADC = 90°。
(1)写出图中∠1的余角；
(2)写出图中相等的角(除直角外)，并选择一组相等的角说明理由。

1. （1）
因为$∠ ACB = 90^{\circ}$，所以$∠1+∠2 = 90^{\circ}$；
又因为$∠ ADC = 90^{\circ}$，在$△ ADC$中，$∠ A+∠1 = 90^{\circ}$。
所以$∠1$的余角是$∠2$和$∠ A$。
2. （2）
相等的角（除直角外）：$∠1=∠ B$，$∠2=∠ A$。
选择$∠1=∠ B$说明理由：
解：在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ ACB = 180^{\circ}$（三角形内角和定理：A + B + C=180^{\circ}，这里$∠ ACB = 90^{\circ}$，所以$∠ A+∠ B=90^{\circ}$；
在$△ ADC$中，$∠ A+∠1+∠ ADC = 180^{\circ}$，因为$∠ ADC = 90^{\circ}$，所以$∠ A+∠1 = 90^{\circ}$；
根据同角的余角相等（如果A + B = 90^{\circ}，A + C = 90^{\circ}，那么B = C），因为$∠ A+∠ B = 90^{\circ}$，$∠ A+∠1 = 90^{\circ}$，所以$∠1=∠ B$。
综上，（1）$∠1$的余角是$∠2$和$∠ A$；（2）相等的角（除直角外）：$∠1=∠ B$，$∠2=∠ A$（理由如上述）。

【分析】要解决本题，需先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；再结合三角形内角和定理，利用已知的直角条件，找出与∠1相加为90°的角，即为∠1的余角；对于相等的角，根据“同角的余角相等”的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，即可找出相等的角并完成证明。
【解析】
（1）求∠1的余角：
已知∠ACB=90°，因此∠1 + ∠2 = 90°，即∠2是∠1的余角；
又∠ADC=90°，在△ADC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠1 + ∠ADC = 180°，代入∠ADC=90°得∠A + ∠1 = 90°，即∠A也是∠1的余角；
故∠1的余角是∠A和∠2。
（2）找相等的角（除直角外）并证明：
相等的角为：∠1=∠B，∠2=∠A；
选择证明∠1=∠B：
在△ABC中，∠ACB=90°，由三角形内角和定理得∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，因此∠A + ∠B = 90°；
在△ADC中，∠ADC=90°，同理得∠A + ∠1 = 90°；
根据“同角的余角相等”，因为∠A + ∠B = 90°，∠A + ∠1 = 90°，所以∠1=∠B。
【答案】（1）∠1的余角是∠A和∠2；（2）相等的角（除直角外）为∠1=∠B，∠2=∠A，理由见解析。
【知识点】余角的性质，三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形中余角的相关知识，核心是利用同角的余角相等判断角的关系，属于几何基础题型，需熟练掌握余角定义和三角形内角和的应用。
【难度系数】0.7

9. 如图，已知∠AOC = 2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°。
(1)求∠AOC的度数；
(2)如果过点O作射线OD，使∠AOC = 5∠AOD，请你求出∠COD的度数。

9. 解：(1)设∠BOC = x°，则∠AOC = 2x°。
根据题意，得 90 - 2x = x - 30。
解这个方程，得 x = 40。
因此，∠AOC = 40°×2 = 80°。
(2)由(1)知，∠AOC = 80°。
因为∠AOC = 5∠AOD，
所以∠AOD = 80°÷5 = 16°。
①当射线 OD 在∠AOC 内部时，
∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 80° - 16° = 64°；
②当射线 OD 在∠AOC 外部时，
∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 80° + 16° = 96°。
综上，∠COD = 64°或 96°。

【分析】
第(1)问通过设未知数，利用∠AOC与∠BOC的倍数关系，结合“∠AOC的余角比∠BOC小30°”的等量关系列一元一次方程，求解得到∠AOC的度数；第(2)问先求出∠AOD的度数，再分射线OD在∠AOC内部和外部两种情况，根据角的和差关系计算∠COD的度数，需注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 设∠BOC = x°，由∠AOC = 2∠BOC得∠AOC = 2x°。
根据题意，∠AOC的余角为(90 - 2x)°，且该余角比∠BOC小30°，因此列方程：
90 - 2x = x - 30
解得：3x = 120 → x = 40
所以∠AOC = 2×40° = 80°。
(2) 由(1)知∠AOC = 80°，又∠AOC = 5∠AOD，故∠AOD = 80°÷5 = 16°。
分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOC内部时，∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 80° - 16° = 64°；
② 当射线OD在∠AOC外部时，∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 80° + 16° = 96°。
综上，∠COD的度数为64°或96°。
【答案】
(1)∠AOC=80°；(2)∠COD=64°或96°
【知识点】
余角的概念、角的和差计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合角的关系考查一元一次方程的应用，解题时需注意第(2)问中射线OD的位置存在两种情况，分类讨论是避免漏解的关键，整体难度适中，侧重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.5

10. 已知∠AOB = ∠COD，射线OC在∠AOB内部。
(1)【尝试探究】如图①，∠AOB = 90°，则∠AOD + ∠BOC的度数为；
(2)【初步应用】如图②，∠AOB = 45°，求∠AOD + ∠BOC的度数；
(3)【拓展提升】如图③，若∠AOB = α(0° ＜ α ＜ 180°)，试探究∠AOD + ∠BOC与α之间的数量关系。

10. 解：(1)180°
(2)因为∠AOB = ∠COD = 45°，
所以∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠BOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = 45° + 45° = 90°。
(3)因为∠AOB = ∠COD = α，
所以∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠BOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = α + α = 2α。

【分析】
本题需利用角的和差关系，将所求的∠AOD和∠BOC拆分转化。观察图形可知，∠AOD可表示为∠AOB + ∠BOD，结合已知∠COD = ∠BOC + ∠BOD，将两者相加时中间的∠BOD会抵消，再利用∠AOB=∠COD的条件即可计算结果。
【解析】
(1) 已知∠AOB=90°，且∠AOB=∠COD，故∠COD=90°。
根据角的和差：∠AOD + ∠BOC = (∠AOB + ∠BOD) + ∠BOC = ∠AOB + (∠BOD + ∠BOC) = ∠AOB + ∠COD = 90° + 90° = 180°。
(2) 已知∠AOB=45°，且∠AOB=∠COD，故∠COD=45°。
同理可得：∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = 45° + 45° = 90°。
(3) 已知∠AOB=α，且∠AOB=∠COD，故∠COD=α。
因此∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD = α + α = 2α，即∠AOD + ∠BOC=2α。
【答案】
(1)180°；(2)90°；(3)∠AOD + ∠BOC=2α
【知识点】
角的和差，角的计算
【点评】
本题通过角的和差关系将所求角转化为已知角的和，核心是分析角的拆分与合并规律，考查学生对图形中角的关系的分析能力，属于基础角计算题型。
【难度系数】
0.5