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10. 先化简，再求值：$[(3ab)^{2}-(1 - 2ab)(-1 - 2ab)-1]÷(-ab)$，其中 $a = \frac{2}{3}$，$b = -\frac{6}{5}$。
答案
解：原式$=(9a^{2}b^{2}+1-4a^{2}b^{2}-1)÷(-ab)$
$=(5a^{2}b^{2})÷(-ab)$
$=-5ab$。
当$a=\frac {2}{3}$，$b=-\frac {6}{5}$时，
原式$=-5×\frac {2}{3}×(-\frac {6}{5})=4$。
$=(5a^{2}b^{2})÷(-ab)$
$=-5ab$。
当$a=\frac {2}{3}$，$b=-\frac {6}{5}$时，
原式$=-5×\frac {2}{3}×(-\frac {6}{5})=4$。
解析
【分析】
要解决这道化简求值题，需分步骤操作：先化简中括号内的整式，分别计算积的乘方、多项式乘法（运用平方差公式简化），再合并同类项；接着计算整式除法得到最简式；最后代入a、b的值计算结果。关键是正确运用平方差公式简化多项式乘法，注意运算中的符号处理。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[(3ab)^2 - (1 - 2ab)(-1 - 2ab) - 1]÷(-ab)\\&=[9a^2b^2 - ((-2ab +1)(-2ab -1)) -1]÷(-ab)\\&=[9a^2b^2 - (4a^2b^2 -1) -1]÷(-ab)\\&=(9a^2b^2 -4a^2b^2 +1 -1)÷(-ab)\\&=5a^2b^2÷(-ab)\\&=-5ab\end{aligned}$
当$a=\frac{2}{3}$，$b=-\frac{6}{5}$时，代入最简式：
$原式=-5×\frac{2}{3}×(-\frac{6}{5})=4$
【答案】
4
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题，核心考查平方差公式的运用和整式运算能力，计算时需注意符号处理，整体难度适中，重点检验学生对整式运算法则的掌握情况。
【难度系数】
0.6
要解决这道化简求值题，需分步骤操作：先化简中括号内的整式，分别计算积的乘方、多项式乘法（运用平方差公式简化），再合并同类项；接着计算整式除法得到最简式；最后代入a、b的值计算结果。关键是正确运用平方差公式简化多项式乘法，注意运算中的符号处理。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[(3ab)^2 - (1 - 2ab)(-1 - 2ab) - 1]÷(-ab)\\&=[9a^2b^2 - ((-2ab +1)(-2ab -1)) -1]÷(-ab)\\&=[9a^2b^2 - (4a^2b^2 -1) -1]÷(-ab)\\&=(9a^2b^2 -4a^2b^2 +1 -1)÷(-ab)\\&=5a^2b^2÷(-ab)\\&=-5ab\end{aligned}$
当$a=\frac{2}{3}$，$b=-\frac{6}{5}$时，代入最简式：
$原式=-5×\frac{2}{3}×(-\frac{6}{5})=4$
【答案】
4
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题，核心考查平方差公式的运用和整式运算能力，计算时需注意符号处理，整体难度适中，重点检验学生对整式运算法则的掌握情况。
【难度系数】
0.6
多项式除以单项式，先把这个
多项式的每一项分别除以单项式
，再把所得的商相加
。答案
多项式的每一项分别除以单项式 相加
解析
【分析】本题考查多项式除以单项式的运算法则，解题时需明确该法则的核心逻辑：多项式可看作几个单项式的和，除以单项式时需将多项式的每一项分别与单项式相除，再把各部分的商相加，这是整式除法的基础规则，需准确识记。
【解析】根据多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
【答案】多项式的每一项分别除以单项式 相加
【知识点】多项式除以单项式，整式运算
【点评】本题为基础概念识记题，直接考查多项式除以单项式的核心法则，属于整式运算的入门知识点，难度较低，旨在巩固整式除法的基本规则。
【难度系数】0.8
【解析】根据多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
【答案】多项式的每一项分别除以单项式 相加
【知识点】多项式除以单项式，整式运算
【点评】本题为基础概念识记题，直接考查多项式除以单项式的核心法则，属于整式运算的入门知识点，难度较低，旨在巩固整式除法的基本规则。
【难度系数】0.8
例 1 计算：
(1) $(\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c - \frac{2}{5}a^{2}bc) ÷ (-\frac{2}{3}a^{2}c)$；
(2) $[(x + y)(x - y) - (x - y)^{2}] ÷ (-2y)$。
(1) $(\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c - \frac{2}{5}a^{2}bc) ÷ (-\frac{2}{3}a^{2}c)$；
(2) $[(x + y)(x - y) - (x - y)^{2}] ÷ (-2y)$。
答案
(1) 原式$=(\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)-(\frac{2}{5}a^{2}bc)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)$
$=-ab^{2}+\frac{3}{5}b$
(2) 原式$=[(x^{2}-y^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})]÷(-2y)$
$=(x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2})÷(-2y)$
$=(2xy-2y^{2})÷(-2y)$
$=-x+y$
$=-ab^{2}+\frac{3}{5}b$
(2) 原式$=[(x^{2}-y^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})]÷(-2y)$
$=(x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2})÷(-2y)$
$=(2xy-2y^{2})÷(-2y)$
$=-x+y$
解析
【分析】
第(1)题是多项式除以单项式，解题思路：利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意符号的处理；第(2)题是整式混合运算，解题思路：先算括号内，利用平方差公式和完全平方公式展开括号内的式子，合并同类项后再除以单项式，同样注意符号运算。
【解析】
(1) 原式$=(\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)-(\frac{2}{5}a^{2}bc)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)$
$=-ab^{2}+\frac{3}{5}b$
(2) 原式$=[(x + y)(x - y) - (x - y)^{2}] ÷ (-2y)$
$=(x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2})÷(-2y)$
$=(2xy-2y^{2})÷(-2y)$
$=-x+y$
【答案】
(1) $-ab^{2}+\frac{3}{5}b$；(2) $-x+y$
【知识点】
多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的基础运算，涵盖多项式除以单项式法则、平方差公式与完全平方公式的应用，运算时需注意符号处理和公式的正确展开，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
第(1)题是多项式除以单项式，解题思路：利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意符号的处理；第(2)题是整式混合运算，解题思路：先算括号内，利用平方差公式和完全平方公式展开括号内的式子，合并同类项后再除以单项式，同样注意符号运算。
【解析】
(1) 原式$=(\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)-(\frac{2}{5}a^{2}bc)÷(-\frac{2}{3}a^{2}c)$
$=-ab^{2}+\frac{3}{5}b$
(2) 原式$=[(x + y)(x - y) - (x - y)^{2}] ÷ (-2y)$
$=(x^{2}-y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2})÷(-2y)$
$=(2xy-2y^{2})÷(-2y)$
$=-x+y$
【答案】
(1) $-ab^{2}+\frac{3}{5}b$；(2) $-x+y$
【知识点】
多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的基础运算，涵盖多项式除以单项式法则、平方差公式与完全平方公式的应用，运算时需注意符号处理和公式的正确展开，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
【变式训练 1】计算：
(1) $(-18x^{3}y^{2} + 12x^{2}y^{3} - 6x^{2}y^{2}) ÷ (-3x^{2}y^{2})$；
(2) $[(a - 2b)^{2} + (a - 2b)(2b + a) - 2a(2a - b)] ÷ (2a)$。
(1) $(-18x^{3}y^{2} + 12x^{2}y^{3} - 6x^{2}y^{2}) ÷ (-3x^{2}y^{2})$；
(2) $[(a - 2b)^{2} + (a - 2b)(2b + a) - 2a(2a - b)] ÷ (2a)$。
答案
解：(1)$(-18x^{3}y^{2}+12x^{2}y^{3}-6x^{2}y^{2})÷(-3x^{2}y^{2})=(18x^{3}y^{2})÷(3x^{2}y^{2})-(12x^{2}y^{3})÷(3x^{2}y^{2})+(6x^{2}y^{2})÷(3x^{2}y^{2})=6x-4y+2$。
(2)原式$=[a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-4b^{2}-(4a^{2}-2ab)]÷(2a)=(a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-4b^{2}-4a^{2}+2ab)÷(2a)=(-2a^{2}-2ab)÷(2a)=-a-b$。
(2)原式$=[a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-4b^{2}-(4a^{2}-2ab)]÷(2a)=(a^{2}-4ab+4b^{2}+a^{2}-4b^{2}-4a^{2}+2ab)÷(2a)=(-2a^{2}-2ab)÷(2a)=-a-b$。
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算，第(1)题是多项式除以单项式，解题思路是利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；第(2)题需先化简中括号内的部分，涉及完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式，化简后再用多项式除以单项式法则计算，计算时要注意符号和公式的正确应用。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$\begin{aligned}(-18x^{3}y^{2} + 12x^{2}y^{3} - 6x^{2}y^{2}) ÷ (-3x^{2}y^{2})&= (-18x^{3}y^{2})÷(-3x^{2}y^{2}) + 12x^{2}y^{3}÷(-3x^{2}y^{2}) + (-6x^{2}y^{2})÷(-3x^{2}y^{2})\\&=6x - 4y + 2\end{aligned}$
(2) 先化简中括号内的式子，利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}&[(a - 2b)^{2} + (a - 2b)(2b + a) - 2a(2a - b)] ÷ (2a)\\=&[a^{2} - 4ab + 4b^{2} + a^{2} - 4b^{2} - (4a^{2} - 2ab)] ÷ (2a)\\=&[a^{2} - 4ab + 4b^{2} + a^{2} - 4b^{2} - 4a^{2} + 2ab] ÷ (2a)\\=&(-2a^{2} - 2ab) ÷ (2a)\\=&-2a^{2}÷(2a) - 2ab÷(2a)\\=&-a - b\end{aligned}$
【答案】
(1) $6x - 4y + 2$；(2) $-a - b$
【知识点】
多项式除以单项式、整式的混合运算、乘法公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，涉及多项式除以单项式法则、完全平方公式、平方差公式等，解题时需准确运用公式，注意符号处理，计算过程要细致，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
这两道题属于整式的混合运算，第(1)题是多项式除以单项式，解题思路是利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；第(2)题需先化简中括号内的部分，涉及完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式，化简后再用多项式除以单项式法则计算，计算时要注意符号和公式的正确应用。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$\begin{aligned}(-18x^{3}y^{2} + 12x^{2}y^{3} - 6x^{2}y^{2}) ÷ (-3x^{2}y^{2})&= (-18x^{3}y^{2})÷(-3x^{2}y^{2}) + 12x^{2}y^{3}÷(-3x^{2}y^{2}) + (-6x^{2}y^{2})÷(-3x^{2}y^{2})\\&=6x - 4y + 2\end{aligned}$
(2) 先化简中括号内的式子，利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}&[(a - 2b)^{2} + (a - 2b)(2b + a) - 2a(2a - b)] ÷ (2a)\\=&[a^{2} - 4ab + 4b^{2} + a^{2} - 4b^{2} - (4a^{2} - 2ab)] ÷ (2a)\\=&[a^{2} - 4ab + 4b^{2} + a^{2} - 4b^{2} - 4a^{2} + 2ab] ÷ (2a)\\=&(-2a^{2} - 2ab) ÷ (2a)\\=&-2a^{2}÷(2a) - 2ab÷(2a)\\=&-a - b\end{aligned}$
【答案】
(1) $6x - 4y + 2$；(2) $-a - b$
【知识点】
多项式除以单项式、整式的混合运算、乘法公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，涉及多项式除以单项式法则、完全平方公式、平方差公式等，解题时需准确运用公式，注意符号处理，计算过程要细致，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
例 2 已知 $2x - y = 10$，求代数式 $[(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2} + 2y(x - y)] ÷ (4y)$的值。
答案
$[(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2} + 2y(x - y)] ÷ (4y)$
$=(x^{2} + y^{2} - (x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=(x^{2} + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} + 2xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=(4xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=4xy÷4y - 2y^{2}÷4y$
$=x - \frac{1}{2}y$
$=\frac{1}{2}(2x - y)$
因为$2x - y = 10$，
所以原式$=\frac{1}{2}×10 = 5$。
答案：5
$=(x^{2} + y^{2} - (x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=(x^{2} + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} + 2xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=(4xy - 2y^{2}) ÷ (4y)$
$=4xy÷4y - 2y^{2}÷4y$
$=x - \frac{1}{2}y$
$=\frac{1}{2}(2x - y)$
因为$2x - y = 10$，
所以原式$=\frac{1}{2}×10 = 5$。
答案：5
解析
【分析】
本题是代数式的化简求值问题，已知条件为$2x - y = 10$，无法直接求出$x$、$y$的具体值，因此解题思路是先对所求代数式进行整式的混合运算化简，将其转化为含有$(2x - y)$的形式，再利用整体代入法，把$2x - y = 10$代入化简后的式子计算结果，简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&[(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2} + 2y(x - y)] ÷ (4y)\\=&[x^{2} + y^{2} - (x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy - 2y^{2}] ÷ (4y)\\=&[x^{2} + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} + 2xy - 2y^{2}] ÷ (4y)\\=&(4xy - 2y^{2}) ÷ (4y)\\=&4xy÷4y - 2y^{2}÷4y\\=&x - \frac{1}{2}y\\=&\frac{1}{2}(2x - y)\end{aligned}$
将$2x - y = 10$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{1}{2}×10 = 5$
【答案】
5
【知识点】
整式的混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是通过整式运算化简代数式，运用整体代入的数学思想简化计算，避免了单独求解$x$、$y$的复杂过程，是代数式求值的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是代数式的化简求值问题，已知条件为$2x - y = 10$，无法直接求出$x$、$y$的具体值，因此解题思路是先对所求代数式进行整式的混合运算化简，将其转化为含有$(2x - y)$的形式，再利用整体代入法，把$2x - y = 10$代入化简后的式子计算结果，简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&[(x^{2} + y^{2}) - (x - y)^{2} + 2y(x - y)] ÷ (4y)\\=&[x^{2} + y^{2} - (x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy - 2y^{2}] ÷ (4y)\\=&[x^{2} + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2} + 2xy - 2y^{2}] ÷ (4y)\\=&(4xy - 2y^{2}) ÷ (4y)\\=&4xy÷4y - 2y^{2}÷4y\\=&x - \frac{1}{2}y\\=&\frac{1}{2}(2x - y)\end{aligned}$
将$2x - y = 10$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{1}{2}×10 = 5$
【答案】
5
【知识点】
整式的混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是通过整式运算化简代数式，运用整体代入的数学思想简化计算，避免了单独求解$x$、$y$的复杂过程，是代数式求值的典型题型。
【难度系数】
0.6
